单调性(讲课课件)

证明： 设 1 x1 x2 5 , 则
减：[1,2] 增：[2,5]
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ),
(2)若 2 x1 x2 5, 则4 x1 x2 25, x1 x2 -4 0
f ( x1 ) f ( x2 ) 0,即 f ( x1 ) f ( x2 ),
f(x1) x2 x o x1
y y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1
f(x2)
1 反比例函数 y ： x
减 函数 在(-∞,0)上是____ 减 函数 在(0,+∞)上是____
-2 -1
y
1
O
1 f ( x) x
-1 1 2 x
1 y 问:能否说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数? x
例2.利用定义： 证明函数 f ( x) 2 x 3 在R上是减函数.
证明：设
x1 , x 2 是R上任意两个值，且 x1 x2，
设值 判断差符号
则 f ( x1) f ( x2 ) (2 x1 3) (2 x2 3)
2( x1 x 2 ) ∵ x1 x2 , ∴ x1 x 2 0,
y
1 函数 y ： x
减 函数 在(-∞,0)上是____
减 函数 在(0,+∞)上是____
f ( x1)
f ( x2 )
O
1 f ( x) x
x
x1 x2
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2)
y
取自变量－1< 1，
-1
1
O
1 f ( x) x
枚
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5
中国在近七届奥运 会上获得的金牌数
51
28
15
32
情 景 引 入
16 16
5
23 24 25 26 27 28 29
届
德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 … 记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …
-1 1
而 f(－1) < f(1)
x
1 ∴不能说 y 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 x 因为 x1、x2 不具有任意性.
y
定义
y=f(x) f(x1) x2 x o x1 f(x2)
一般地，设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
作差变形
2( x1 x2 ) 0 , ∴ f ( x1) f ( x2 ) 0 , 即 f ( x1 ) f ( x2 ).
∴函数 f ( x) 2 x 3在R上是减函数．
下结论
骤
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
1 2 3 4 5 6 7 8
x
4 f ( x ) x , 确定函数 x
x[1 ， 5]的单调区间.
4 )(x 4 ) ( x f ( x1) f ( x2 ) 1 x 2 x2 1 x 1 x2 0 4( x2 x1 ) ( x1 x2 )( x x 4) 1 2 ( x1 x2 ) , 显然 x1x2 x1 x2 x1 x2 0 (1)若 1 x1 x2 2, 则 1 x1 x2 4, x1 x2 -4 0
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量 （百分数）
100 80 60
40
20 O
2
3
4
5
6
天数
学习新课
观察下列函数的图象，回答当自变量 x 的值增大时,函数值 f ( x) 是如何变化的？
(1) f ( x) x 1
y
(2) f ( x) x
y
4
2
o
1
x
-2 -1
1
0
1 2
x
(1) f ( x) x 1 y
3 2
-3 - 2 -1 -5 -4 -1 -2 y
y f ( x)
1 2 3 4 5
1
O
x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数. 说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
f(x1) x2 x o x1
y y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1
f ( x2 )
课堂小结
1. 增函数、减函数的定义；
2.图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号
下结论
布置作业 作业:课本39页A组第1、2、3题
结
课堂练习
k 证明函数 f ( x) (k为负的常数) x 在区间（0,+∞）上是增函数.
结
k 证明函数 y (k 0)在区间(0,+∞)上是增函数 x 证:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上任意两个值且 x1 x2 ,
x k k 2 x1 f ( x1 ) f ( x2 ) k 设值 x1 x2 x1 x2 ∵ 0 x1 x2 , 且 k 0 作差变形 ∴ x2 x1 0 , x1 x 2 0 判断差符号 ∴ f ( x1) f ( x2 ) 0 , 即 f ( x1) f ( x2 ). 下结论 k ∴ f ( x ) 在区间(0,+∞)上是增函数． xFra bibliotek课堂小结
1.增函数、减函数的定义:
定义
y
y=f(x)
一般地，设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
y
y=f(x)
f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x) 的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一 单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
f ( x) x 4 ,x[1,5]的减区间为[1,2],增区间为[2,5]. x
4 如何确定函数 f ( x) x , x x[1,5]的单调区间？
思考题：
感谢各位评委、 老师和同学们!
分析和函数 f ( x) x 4 ( x 0) 的图象
8
y
4 y x x
x
yx
猜测：
6 4 2
O
单调递减区间： [1，2]
[2，5] 单调递增区间：
4 y x
0
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
则f(x1)= x12 , f(x2)= x22
x1 x2
x
任意 x1 x2 ,都有
x1 x2
2
2
任意 x1 x2 ,都有 f ( x1) f ( x2 )
∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.
定义
y
y=f(x)
一般地，设函数 f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间 某个区间D上的 任意 任意两个自变量的值 x1 、 x2 ， 当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间 某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、 x2 ， 当 任意 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数. x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小: 通常规定 x1＜x2
(2) f ( x) x
2
y
4
o
x
-2 -1
1
O
x
1 2
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小 当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数 函数在(0,+∞)上是增函数
函数
2 f(x)=x :
y
f (x2)
f (x1)