安徽省合肥市届高三第一次教学质量检测数学理

安徽省合肥市2018 届高三第一次教课质量检测
数学理试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分, 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .
1.已知 i 为虚数单位，则2 i34i
（）
2 i
A． 5B． 5i C．712
D
712 5
i．i
555
2.已知等差数a n，若 a210, a51，则 a n的前 7 项的和是（）
A． 112B． 51C． 28D． 18
3.已知会合 M 是函数y1的定义域，会合N 是函数 y x2 4 的值域，则 M N（）
1 2 x
A．
1
B．x 4x
1 x x
2 2
C．x, y x 1
且 y4D．2
4.若双曲线 x2y2
1 a0,b0 的一条渐近线方程为y
2 x ，该双曲线的离心率是（）
a2b2
A．
5
B．3C． 5D． 2 3 2
5.履行如图程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（）
A． 2B． 3C．1D．
1
23
6.已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)听从正态散布N 100,4 . 现从该产品的生产线上随机抽取10000 件产品，此中质量在98,104内的产品预计有（）
（附：若 X 听从 N, 2，则 P X， P2X2）A．3413 件B．4772件C．6826件D．8185件
7. 将函数 y cosx sin x 的图像先向右平移 0 个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变成本来的
a 倍，
获得 y
cos2 x sin 2x 的图像，则
,a 的可能取值为（
）
A ．
,a 2 B ．
3 C
．
3
1 ．
1
, a 2
, a
D
, a
2
8
8 2 2
2
8. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，若 3S n 2a n 3n ，则 a 2018
（
）
2018
2018 A ． 22018
1
B
． 32018 6
C
． 1
7 D
．
1
10
2 2
3
3
9. 如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A ．5
18
B
．6
18
C
．8
6
D
．10
6
10. 已知直线 2x
y 1 0 与曲线 y ae x x 相切 ( 此中 e 为自然对数的底数 ) ，则实数 a 的值是（
）
A ．
1
B
．1
C
． 2
D ． e
2
11. 某公司生产甲、乙两种产品，销售收益分别为
2 千元 / 件、 1 千元 / 件 . 甲、乙两种产品都需要在 A 、B 两种设
备上加工，生产一件甲产品需用
A 设施 2小时，
B 设施 6 小时；生产一件乙产品需用 A 设施 3小时， B 设施 1
小时 . A 、 B 两种设施每个月可使用时间数分别为 480 小时、 960 小时，若生产的产品都能实时售出，则该公司每
月收益的最大值为（
）
A ． 320 千元
B ．360 千元
C ．400 千元
D ． 440 千元
12. 已知函数 f
x
2 x
x 2 , g x
e x ( 此中 e 为自然对数的底数） ，若函数 h x
f
g xk 有 4 个零点， 则
x 2
k 的取值范围为（ ）
A ．
1,0
B
． 0,1
C 2 1
D
2 1
．
e e 2 ,1
． 0,
2
e
e
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
r r r
r r r r r
．
13. 若平面向量 a, b 知足 a
b 2, a b 6 ，则 a b
14.已知
m 是常数，
mx 1
5
5
4
3
2
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 5 33 ， 则
5
4
3
2
10
a x a x a x a x a x a ， 且
m
．
15. 抛物线 E : y2的焦点为 F ，准线l与x轴交于点 A ，过抛物线 E 上一点 P (第一象限内)作l的垂线PQ ,
4x
．．．．．
垂足为 Q . 若四边形 AFPQ 的周长为16，则点P的坐标为．
16. 在四周体 ABCD 中，AB AD 2, BAD 60 , BCD 90 ，二面角 A BD C 的大小为150 , 则四周体ABCD 外接球的半径为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
17.已知ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b,c ，a2b cos C ccos A0 .
（1）求角 C ；
（ 2）若 c 2 3 ，求ABC 的周长的最大值.
年 9 月，国务院公布了《对于深入考试招生制度改革的实行建议》. 某地作为高考改革试点地域，从当年秋天新
入学的高一学生开始实行，高考不再分文理科. 每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考. 物理、化学、生物为自然科目，政治、历史、地理为社会科目 . 假定某位考生选考这六个科目的可能性相等.
（ 1）求他所选考的三个科目中，起码有一个自然科目的概率；
（ 2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科目，两个科目属于自然科目. 若该考生所选的社会科目
考试的成绩获 A 等的概率都是，所选的自然科目考试的成绩获 A 等的概率都是,且所选考的各个科目考试的成绩
互相独立 . 用随机变量X 表示他所选考的三个科目中考试成绩获 A 等的科目数，求X 的散布列和数学希望. 19. 如图，在多面体ABCDEF 中， ABCD 是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BF DE ，点 M 为棱 AE的中点.
（1）求证：平面 BMD / / 平面 EFC ；
（2）若DE 2AB，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值 .
20. 在平面直角坐标系中，圆
O 交 x 轴于点，交 y 轴于点B , B.以 B,B为极点， F ,F分别为左、右焦点的
F , F
12121212
椭圆 E ，恰巧经过点2
1,. 2
（ 1）求椭圆E的标准方程；
（ 2）设经过点2,0的直线l与椭圆E交于M , N两点，求F2 MN 面积的最大值 .
21. 已知 f x ln 2 x 1a a R .
x
（1）议论 f x 的单一性；
（2）若 f x ax 恒成立，求a的值 .
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1
x3cos
:( 为参数 ) ，在以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲y2sin
线 C2 :2cos0 .
（1）求曲线 C2的一般方程；
（2）若曲线 C1上有一动点M，曲线 C2上有一动点 N ，求 MN 的最小值 .
23.选修 4-5 ：不等式选讲
已知函数 f x 2x 1 .
（ 1）解对于x的不等式 f x f x 1 1 ；
（ 2）若对于x的不等式 f x m f x 1 的解集不是空集，求m 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: ACBCC6-10: DDACB 11、12：BD
二、填空题
13.114. 315.4,416.21 3
三、解答题
17.解：（1）依据正弦定理，由已知得：sin A 2sin B cos C sin C cos A0 ，即 sin A cosC sin C cos A 2sin B cosC ，
∴ sin A C2sin B cosC ，
∵ A C B ，∴ sin A C sin B sin B 0 ，
∴ sin B2sin B cos C ，进而cos C 1
. 2
∵ C0,，∴ C.
3
（ 2）由（ 1）和余弦定理得cosC a2b2c21
，即 a
2b212 ab ，
2ab2
∴ a b123ab3a b2
，
2
2
2
即 a b48 ( 当且仅当 a b 2 3 时等号成立）.
因此，ABC 周长的最大值为 4 3 c 6 3 .
18.（1）记“某位考生选考的三个科目中起码有一个科目是自然科目”为事件M ，
则PM 1C33
1
119 C6320
，
20
因此该位考生选考的三个科目中，起码有一个自然科目的概率为19
. 20
（ 2）随机变量X 的全部可能取值有0, 1 ， 2， 3.
2
因为PX 011 1 ,
5480
2
P X 1411C2113 1 ，
545448
2
P X 24C21 1 31333 ，
5445480
432
9 ，
P X 3
5420因此 X 的散布列为
因此EX
1
1
103336
023 2.3 . 80808080
19.（ 1）证明：连接 AC ，交BD于点 N ，
∴ N为 AC的中点，∴ MN //EC .
∵MN平面EFC，EC平面EFC，
∴MN // 平面 EFC .
∵ BF ,DE 都垂直底面ABCD ，
∴BF //DE.
∵BF DE，
∴ BDEF 为平行四边形，∴BD / / EF .
∵BD平面EFC，EF平面EFC，
∴BD//平面 EFC .
又∵ MN BD N ，∴平面 BDM / / 平面 EFC .
（ 2）由已知，DE平面ABCD，ABCD是正方形.
∴ DA,DC , DE 两两垂直，如图，成立空间直角坐标系D xyz .
设 AB 2 ，则 DE 4 ，进而 B 2,2,0 , M 1,0,2 , A 2,0,0 , E 0,0,4，
uuur
∴ DB2,2,0
uuuur
, DM1,0,2，
r
x, y, z ，
设平面 BDM 的一个法向量为n r uuur
0 2 x 2 y0
n DB
由r uuuur得
x2z .
n DM00
令 x
2 ，则 y
r
2, z 1 ，进而 n 2, 2, 1 .
uuur ∵ AE
2,0,4 ，设 AE 与平面 BDM 所成的角为
，则
r uuur
r uuur 4 5 sin cos
n AE
n
AE r
uuur
，
n
AE
15
因此，直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为
4 5 .
15
20. （ 1）由已知可得，椭圆
E 的焦点在 x 轴上 .
2
2
设椭圆 E 的标准方程为
x
y
1 a b 0
，焦距为 2c ，则 b c ，
a 2
b 2
∴ a 2
2
c 2
2
，∴椭圆
E 的标准方程为 x 2 y 2
1 .
b
2b
2b 2
2
b
2
1
1
又∵椭圆
E 过点 1,
，∴
2 1，解得 b 2
1 .
2
2b 2
b 2
∴椭圆 E 的标准方程为
x 2
y 2
1 .
2
（ 2）因为点
2,0 在椭圆 E 外，因此直线 l 的斜率存在 .
设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l : y
k x 2 ，设 M
x 1 , y 1 , N x 2 , y 2 .
y
k x
2
2 2
2
2
由 x
2
2
消去 y 得，（1 2k ) x
8k x 8k
2 0 .
2
y
1
1
2
2
由
0 得 0
k 2 ，进而 x 1 x 2
8k
, x 1 x 2
8k 2 ， 2 1
2k 2 1 2k 2
∴ MN
1 k
2 x 1 x 2 2 1 k 2
2 4k 2 2 .
1 2k 2
3 k ∵点 F 2 1,0 到直线 l 的距离 d
，
1 k 2
2
2 4k
2
∴ F 2 MN 的面积为 S
1
MN d
k
.
3
2k 2
2
1 2
令
1 2k 2
1,2 ，
t ，则 t
t 1 2 t
t
2
3t 2
2
3 213 1 ，
∴ S 33
3 1 3 2
t2t 2t t 2t48
当1
3即 t441,2时，S 有最大值， S max 3 2，此时 k 6 . t43346
因此，当直线 l 的斜率为6 时，可使
F2 MN 的面积最大，其最大值3 2 . 64
1，
2
a .
21. （Ⅰ） f x的定义域为， f x2
1a 2 x2ax
22x x22x 1 x2
∵ 2 x 1 0, x20.
令 g x 2 x22ax a ，则
（ 1）若0，即当0a 2 时，对随意 x 1 ,， g x0 恒成立，即当 x 1 ,时， f x0 恒成立
22
（仅在孤立点处等号成立） .
∴ f x在1
,上单一递加 . 2
（ 2）若0 ，即当 a 2 或 a0 时， g x的对称轴为
a x.
2
①当 a 0 时，a
0 ，且 g
1
10 . 222
如图，随意 x 1
， g x0恒成立，即随意 x
1
时， f x0 恒成立，,,
22
∴ f x在1
,上单一递加 . 2
②当 a 2 时，a
1，且 g110 . 222
如图，记 g x0 的两根为 x11a a22a , x21a a 22a
22
∴当 x 1
x2 ,时， g x0 ；, x1
2
当 1,
1
a
a 2 2a 时， g x 0 .
2 2
∴当 x
1
, x 1
x 2 ,
时， f x
0 ，
2
当 x x 1 , x 2
时， f x 0 .
∴ f
x 在
1
, x 1 和 x 2 ,
上单一递加，在 x 1 , x 2 上单一递减 .
2
综上，当 a
2 时， f x 在
1
,
上单一递加；
2
当 a
2 时， f x 在 1 , 1
a
a
2
2a 和 1
a
a 2 2a ,上单一递加，
2 2
2
在 1
a
a 2 2a ,
1 aa
2 2a 上单一递减 .
2
2
（Ⅱ） f
x
ax 恒成立等价于 x
1 ， f
x ax 0 恒成立 .
,
2
令 h x
f x
ax ln 2 x 1
a ax ，则 f x
ax 恒成立等价于 x
1 ， h x 0 h 1 * .
x ,
2
要知足 * 式，即 h x 在 x
1 时获得最大值 .
2ax 3
2 a x 2 2ax a
∵ h x
x 2 2 x
1 .
由 h 1
0 解得 a 1.
1 x
2
x 1
2 x
当 a
1 时， h x
2
，
x
2x 1
∴当 x
1
,1 时， h x
0 ；当 x 1,
时， h x 0 .
2
∴当 a
1 时， h x 在
1 ,1 上单一递加，在 1,
上单一递减，进而 h x
h 1 0 ，切合题意 .
2
因此， a
1 .
22. （ 1）由 2cos0 得：
2
2 cos0 .
因为2x2y2 , cos x ，因此 x2y2 2 x 0 ，
2
1 .
即曲线 C2的一般方程为 x 1y2
（ 2）由（ 1）可知，圆C2的圆心为 C2 1,0 ，半径为 1.设曲线 C1上的动点 M 3cos ,2sin，
由动点 N 在圆 C2上可得：MN min MC 2min 1 .
∵ MC23cos
222
6cos 5 14sin5cos
当 cos 3
4 5时， MC 2min，55
∴
MN min MC 2145
.
min51
23. （ 1） f x f x 112x 1 2x11，
x 11
x
1
x
1 2或22或2
2x 1 2 x 1 1 1 2x 2 x 1 1 1 2x 2 x 1 1
x 11
x
1
x
1
，或
424
2
因此，原不等式的解集为1
. ,
4
（ 2）由条件知，不等式2x 1 2x 1 m 有解，则 m 2 x 1 2 x 1 min即可 .因为 2x 1 2x 1 1 2 x 2 x 1 1 2x 2x 1 2 ，
当且仅当 1 2x 2x 10 ，即当 x 1 , 1时等号成立，故 m 2 .
22
因此， m 的取值范围是2,.。