房山区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

房山区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数，则要得到其导函数的图象，只需将函数()cos()3
f x x π
=+'()y f x =()
y f x =的图象（ ）
A ．向右平移
个单位 B ．向左平移
个单位
2π
2π
C. 向右平移个单位
D ．左平移个单位
23
π
23
π
2． 在△ABC 中，，则这个三角形一定是（
）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角
D ．等腰或直角三角形
3． 已知集合A={x|x 是平行四边形}，B={x|x 是矩形}，C={x|x 是正方形}，D={x|x 是菱形}，则（ ）
A ．A ⊆
B B ．
C ⊆B C ．
D ⊆C D ．A ⊆D
4． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件5． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（
）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
6． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（
）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7． 对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A1B-1C0D
8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16163π-
32163π-1683π-3283
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．
9． 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆M ：（x ﹣8）2+y 2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心
率为（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．
10．在等差数列{a n }中，a 3=5，a 4+a 8=22，则{}的前20项和为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[0，3]
C ．（﹣3，0]
D ．（﹣3，+∞）
12．已知均为正实数，且，，，则（ ）
,,x y z 22log x x =-22log y y -=-22log z
z -=A ．
B ．
C ．
D ．x y z <<z x y <<z y z <<y x z
<<二、填空题
13．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．
14．设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若复数z=3﹣i ，则z •= ．15．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．
16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X的值为2，则输出的结果是 ．
17．已知函数f（x）=，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是 ．
（写出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．
③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．
18．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ．
三、解答题
19．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的
最小值和最大值．
20．（本小题12分）在多面体中，四边形与是边长均为正方形，平面
ABCDEFG ABCD CDEF a CF ⊥，平面，且．
ABCD BG ⊥ABCD 24AB BG BH ==（1）求证：平面平面；AGH ⊥EFG （2）若，求三棱锥的体积．
4a =G ADE -
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
21．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）
（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分）
（3）g（x）=（1﹣a）x，若使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.
22．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=
成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．
23．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
24．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
房山区第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数，所以函数()cos ,3f x x π⎛⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以将函数函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到
()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭()y f x =2π，故选B.
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭考点：函数的图象变换.
()sin y A x ωϕ=+2． 【答案】A
【解析】解：∵，又∵cosC=，
∴
=
，整理可得：b 2=c 2，
∴解得：b=c ．即三角形一定为等腰三角形．故选：A ．　
3． 【答案】B
【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ，正方形是矩形，所以C ⊆B ．故选B ．　
4． 【答案】A
【解析】解：由奇函数的定义可知：若f （x ）为奇函数，则任意x 都有f （﹣x ）=﹣f （x ），取x=0，可得f （0）=0；而仅由f （0）=0不能推得f （x ）为奇函数，比如f （x ）=x 2，显然满足f （0）=0，但f （x ）为偶函数．
由充要条件的定义可得：“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0””的充分不必要条件．故选：A ．　
5．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
6．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n＜i，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为4，有n=4时，不满足条件n ＜i ，退出循环，输出s 的值为19．故选：B ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．　
7． 【答案】B 【解析】由题意，可取，所以
8． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为，故选D ．21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-9． 【答案】D 【解析】解：双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵渐近线被圆M ：（x ﹣8）2+y 2=25截得的弦长为6，∴=4，
∴a 2=3b 2，∴c 2=4b 2，
∴e==．故选：D ．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
10．【答案】B
【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 4+a 8=22，得2a 6=22，a 6=11．又a 3=5，得d=，∴a 1=a 3﹣2d=5﹣4=1．
{}的前20项和为：
=
=
．
故选：B ．　
11．【答案】 D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
12．【答案】A
【解析】
考点：对数函数，指数函数性质．
二、填空题
13．【答案】　180　
【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r
可知r=2，所以系数为C102×4=180，
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
14．【答案】　10　．
【解析】解：由z=3﹣i，得
z•=．
故答案为：10．
【点评】本题考查公式，考查了复数模的求法，是基础题．
15．【答案】　4　
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
16．【答案】　﹣3　．
【解析】解：分析如图执行框图，
可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．
当x=2时，f（x）=1﹣2×2=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．
17．【答案】　②④　
【解析】解：
①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时
f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：，满足；
（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，
可得：x=，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=
＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．
18．【答案】　12　．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
于是f（θ）===2
（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
因为P∈Ω，所以0≤θ≤，
∴f（θ）==，
且，
故当，即时，f（θ）取得最大值2；
当，即θ=0时，f （θ）取得最小值1．
【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．　
20．【答案】
【解析】（1）连接，由题意，知，，∴平面．FH CD BC ⊥CD CF ⊥CD ⊥BCFG 又∵平面，∴．GH ⊂BCFG CD ⊥GH 又∵，∴……………………………2分
EF
CD A EF GH ⊥由题意，得，，，∴，14BH a =
34CH a =12BG a =22225
16
GH BG BH a =+=，，
22225()4FG CF BG BC a =-+=222225
16
FH CF CH a =+=则，∴．……………………………4分
222
FH FG GH =+GH FG ⊥又∵，平面．……………………………5分
EF FG F = GH ⊥EFG ∵平面，∴平面平面．……………………………6分
GH ⊂AGH AGH ⊥EFG
21．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），
∴…（2分）
，解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，1），
函数是减函数．…（4分）
（2）∴，∴，
当1＜a＜e时，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，
∴
综上…（9分）
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解
即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，
∵当时，lnx≤0＜x，
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，
∴在区间上有解．
令…（10分）
∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
x∈（1，e]，h（x）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a的取值范围为…（14分）
22．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]====
==，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]==，
令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]===，
∵f（x﹣2）==，
∴f（x﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，
设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，
则f（x﹣2）=，即f（x）=﹣＜0，
设2≤x1≤x2≤3，
则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=，
∴f（x1）＞f（x2），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
23．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y2﹣x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41，
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，
等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，
而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，
其最大值是g（4）=4，
∴a≥4，
若p为真命题，则a≥4；
f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a≤1，
若q为真命题，则a≤1；
由题意知p、q一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．。