海明码校验知识讲解
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前述的简单奇偶校验相比要保险多了。
海明校验码
海明码是一种可以纠正一位差错的编 码。它是利用在信息位为k位，增加r位冗 余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r 个监督关系式产生的r个校正因子来区分 无错和在码字中的n个不同位置的一位错。 它必需满足以下关系式：
2r ≥ k+r+1 或 2r ≥ n+1
海明校验码
• 由err≠0可知接收码字有错， • 3)码字的错误位置就是错误累加器
(err)的值3。 • 4)纠错--对码字的第3位值取反得正确
码字：
• "1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0" • 5)把位于2的k次方位的冗余码删除得
信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"
上例中构建了一个码字 011100101010， 假定实际接收到的数据 011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进 行更正。方法就是验证每一个校验位。记 下所有出错的校验位，可以发现校验位2 和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有 校验位进行检查, 将所有出错的校验位置 相加, 得到的就是错误信息所在的位置.
奇偶校验规律
校验位的取值（0或1）将使整个校 验码中“1”的个数为奇数或偶数，所以有 两种可供选择的校验规律：
奇校验──整个校验码（有效信息位 和校验位）中“1”的个数为奇数。
偶校验──整个校验码中“1”的个数 为偶数。
2.简单奇偶校验 简单奇偶校验仅实现横向的奇偶校验，
下表给出几个字节的奇偶校验码的编码结 果。最高一位为校验位，其余8位为信息 位。在实际应用中，多采用奇校验，因为 奇校验中不存在全“0”代码，在某些场合 下更便于判别。
•
位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳
过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
•
位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳
过8位(8-15,24-31,40-47,…)
•
…
海明校验码
采用偶校验，如果全部校验的位置中 有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果 全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶 校验位置为0.
此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0 • 位置8检查8,9,10,11,12: • 0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因
此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
• 因此码字为: 011100101010.
海明校验码
•
11 1 0 1 1
•
12 1 1 0 0
•
根据上面表格得到 A B C D
海明校验码
• 需要说明的是公式中参与计算的是表格中 出现"1"的那个位 右边是数据位的二进制 数,公式中的"+"表示异或
• 故此有如下表达式：
• A->1,3,5,7,9,11；(这里的1 3 5 7 9 11 均为A那一列出现1的位)
海明校验码
• 举例说明： • 一个字节的数据：10011010 • 构造数据字(Data Word),对应的校验
位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0 • 计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置
的比特位):
海明校验码
• 位置1检查1,3,5,7,9,11: • ? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因
海明校验码
• 例2.已知：接收的码字为： • "1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(r=4代表冗余位数，
即校验码位数) • 求：发送端的信息码。
海明校验码
• 解：1)设错误累加器(err)初值=0 • 2)求出冗余码的偶校验和，并按码位
累加到err中： • A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+2^0=1 • B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+2^1=3 • C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3 • D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3
(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。
海明校验码
• 2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)
•
监督关系式的推导：
•
DCBA
•
1 0001
•
2 0010
•
3 0011
•
4 0100
•
5 0101
•
6 0110
•
7
9 1001
•
10 1 0 1 0
有效信息（8位） 奇校验码（9位） 偶校验码（9位）
00000000
100000000
000000000
01010100
001010100
101010100
01111111
001111111
101111111
11111111
111111111
011111111
2.简单奇偶校验（续）
⑴ 校验位形成
当要把一个字节的代码D7～D0写入 主存时，就同时将它们送往奇偶校验逻辑 电路，该电路产生的“奇形成”信号就是 校验位。它将与8位代码一起作为奇校验 码写入主存。
海明校验码
• 例1.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (r=4代表冗余位数，即校验码位数)
• 求：海明码码字。
海明校验码
• 解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入 信息码中，得海明码
• 码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 " • 码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 • 其中A,B,C,D分别插于2的k次方位
⑵校验检测
读出时，将读出的9位代码（8位信 息位和1位校验位）同时送入奇偶校验电 路检测。若读出代码无错，则“奇校验出 错”=0；若读出代码中的某一位上出现 错误，则“奇校验出错”=1，从而指示 这个9位代码中一定有某一位出现了错误， 但具体的错误位置是不能确定的。
3.交叉奇偶校验
计算机在进行大量字节（数据块）传 送时，不仅每一个字节有一个奇偶校验 位做横向校验，而且全部字节的同一位 也设置一个奇偶校验位做纵向校验，这 种横向、纵向同时校验的方法称为交叉 校验。
海明校验码
• 海明码(Hamming Code )编码的关键是使 用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
• 码字(Code Word) 按如下方法构建：
• 1、把所有2的幂次方的数据位标记为 奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等 的位置)
• 2、其他数据位用于待编码数据. (编 号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
第1字节 1 1 0 0 1 0 1 1 → 1 第2字节 0 1 0 1 1 1 0 0 → 0 第3字节 1 0 0 1 1 0 1 0 → 0 第4字节 1 0 0 1 0 1 0 1 → 0
↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓↓ 10011000
3.交叉奇偶校验（续）
交叉校验可以发现两位同时出错的
情况，假设第2字节的A6、A4两位均出错， 横向校验位无法检出错误，但是第A6、A4 位所在列的纵向校验位会显示出错，这与
此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
• 位置2检查2,3,6,7,10,11: • 0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因
此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
海明校验码
• 位置4检查4,5,6,7,12: • 0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因
• B->2,3,6,7,10,11；
• C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2； 7=4+2+1；12=8+4)
• D->8,9,10,11,12。
海明校验码
• 3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的 值(设冗余码初值为0)：
• A=∑(0,1,1,0,1,0)=1 • B=∑(0,1,0,0,1,0)=0 • C=∑(0,1,0,0,0) =1 • D=∑(0,1,1,0,0) =0 • 4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
海明校验码
• 3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数
据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳 过的比特位顺序。
•
位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳
过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
•
位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳
过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
若D7～D0中有偶数个“1”，则“奇 形成”=1，
若D7～D0中有奇数个“1”，则“奇 形成”=0。
奇偶校验位的形成及校验电路
偶校验 奇校验
奇形成 偶形成 出错 出错
A
B
1 =1
1
=1
=1 =1
=1 =1 =1 =1
D7D6 D5D4 D3D2 D1D0 D校
图2-2 奇偶校验位的形成及校验电路
2.简单奇偶校验（续）
海明校验码
海明码是一种可以纠正一位差错的编 码。它是利用在信息位为k位，增加r位冗 余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r 个监督关系式产生的r个校正因子来区分 无错和在码字中的n个不同位置的一位错。 它必需满足以下关系式：
2r ≥ k+r+1 或 2r ≥ n+1
海明校验码
• 由err≠0可知接收码字有错， • 3)码字的错误位置就是错误累加器
(err)的值3。 • 4)纠错--对码字的第3位值取反得正确
码字：
• "1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0" • 5)把位于2的k次方位的冗余码删除得
信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"
上例中构建了一个码字 011100101010， 假定实际接收到的数据 011100101110. 则接收方可以计算出哪一位出错并对其进 行更正。方法就是验证每一个校验位。记 下所有出错的校验位，可以发现校验位2 和8的数据不正确. 错误校验位 2 + 8 = 10, 则位置10的数据出错。一般说来，对所有 校验位进行检查, 将所有出错的校验位置 相加, 得到的就是错误信息所在的位置.
奇偶校验规律
校验位的取值（0或1）将使整个校 验码中“1”的个数为奇数或偶数，所以有 两种可供选择的校验规律：
奇校验──整个校验码（有效信息位 和校验位）中“1”的个数为奇数。
偶校验──整个校验码中“1”的个数 为偶数。
2.简单奇偶校验 简单奇偶校验仅实现横向的奇偶校验，
下表给出几个字节的奇偶校验码的编码结 果。最高一位为校验位，其余8位为信息 位。在实际应用中，多采用奇校验，因为 奇校验中不存在全“0”代码，在某些场合 下更便于判别。
•
位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳
过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
•
位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳
过8位(8-15,24-31,40-47,…)
•
…
海明校验码
采用偶校验，如果全部校验的位置中 有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；如果 全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶 校验位置为0.
此位置4设为1，即: 0 1 1 1 0 0 1 _ 1 0 1 0 • 位置8检查8,9,10,11,12: • 0 1 1 1 0 0 1 ? 1 0 1 0. 偶数个1，因
此位置8设为0，即: 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
• 因此码字为: 011100101010.
海明校验码
•
11 1 0 1 1
•
12 1 1 0 0
•
根据上面表格得到 A B C D
海明校验码
• 需要说明的是公式中参与计算的是表格中 出现"1"的那个位 右边是数据位的二进制 数,公式中的"+"表示异或
• 故此有如下表达式：
• A->1,3,5,7,9,11；(这里的1 3 5 7 9 11 均为A那一列出现1的位)
海明校验码
• 举例说明： • 一个字节的数据：10011010 • 构造数据字(Data Word),对应的校验
位留空_ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0 • 计算每个校验位的奇偶性 ( ?代表要设置
的比特位):
海明校验码
• 位置1检查1,3,5,7,9,11: • ? _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 偶数个1，因
海明校验码
• 例2.已知：接收的码字为： • "1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(r=4代表冗余位数，
即校验码位数) • 求：发送端的信息码。
海明校验码
• 解：1)设错误累加器(err)初值=0 • 2)求出冗余码的偶校验和，并按码位
累加到err中： • A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+2^0=1 • B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+2^1=3 • C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3 • D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3
(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。
海明校验码
• 2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)
•
监督关系式的推导：
•
DCBA
•
1 0001
•
2 0010
•
3 0011
•
4 0100
•
5 0101
•
6 0110
•
7
9 1001
•
10 1 0 1 0
有效信息（8位） 奇校验码（9位） 偶校验码（9位）
00000000
100000000
000000000
01010100
001010100
101010100
01111111
001111111
101111111
11111111
111111111
011111111
2.简单奇偶校验（续）
⑴ 校验位形成
当要把一个字节的代码D7～D0写入 主存时，就同时将它们送往奇偶校验逻辑 电路，该电路产生的“奇形成”信号就是 校验位。它将与8位代码一起作为奇校验 码写入主存。
海明校验码
• 例1.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (r=4代表冗余位数，即校验码位数)
• 求：海明码码字。
海明校验码
• 解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入 信息码中，得海明码
• 码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 " • 码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 • 其中A,B,C,D分别插于2的k次方位
⑵校验检测
读出时，将读出的9位代码（8位信 息位和1位校验位）同时送入奇偶校验电 路检测。若读出代码无错，则“奇校验出 错”=0；若读出代码中的某一位上出现 错误，则“奇校验出错”=1，从而指示 这个9位代码中一定有某一位出现了错误， 但具体的错误位置是不能确定的。
3.交叉奇偶校验
计算机在进行大量字节（数据块）传 送时，不仅每一个字节有一个奇偶校验 位做横向校验，而且全部字节的同一位 也设置一个奇偶校验位做纵向校验，这 种横向、纵向同时校验的方法称为交叉 校验。
海明校验码
• 海明码(Hamming Code )编码的关键是使 用多余的奇偶校验位来识别一位错误。
• 码字(Code Word) 按如下方法构建：
• 1、把所有2的幂次方的数据位标记为 奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等 的位置)
• 2、其他数据位用于待编码数据. (编 号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
第1字节 1 1 0 0 1 0 1 1 → 1 第2字节 0 1 0 1 1 1 0 0 → 0 第3字节 1 0 0 1 1 0 1 0 → 0 第4字节 1 0 0 1 0 1 0 1 → 0
↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓↓ 10011000
3.交叉奇偶校验（续）
交叉校验可以发现两位同时出错的
情况，假设第2字节的A6、A4两位均出错， 横向校验位无法检出错误，但是第A6、A4 位所在列的纵向校验位会显示出错，这与
此位置1设为0，即: 0 _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
• 位置2检查2,3,6,7,10,11: • 0 ? 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因
此位置2设为1，即: 0 1 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
海明校验码
• 位置4检查4,5,6,7,12: • 0 1 1 ? 0 0 1 _ 1 0 1 0. 奇数个1，因
• B->2,3,6,7,10,11；
• C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2； 7=4+2+1；12=8+4)
• D->8,9,10,11,12。
海明校验码
• 3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的 值(设冗余码初值为0)：
• A=∑(0,1,1,0,1,0)=1 • B=∑(0,1,0,0,1,0)=0 • C=∑(0,1,0,0,0) =1 • D=∑(0,1,1,0,0) =0 • 4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
海明校验码
• 3、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数
据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳 过的比特位顺序。
•
位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳
过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
•
位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳
过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
若D7～D0中有偶数个“1”，则“奇 形成”=1，
若D7～D0中有奇数个“1”，则“奇 形成”=0。
奇偶校验位的形成及校验电路
偶校验 奇校验
奇形成 偶形成 出错 出错
A
B
1 =1
1
=1
=1 =1
=1 =1 =1 =1
D7D6 D5D4 D3D2 D1D0 D校
图2-2 奇偶校验位的形成及校验电路
2.简单奇偶校验（续）