2021_2022学年新教材高中数学第2章平面向量及其应用§1从位移速度力到向量学案含解析北师大版必

§1 从位移、速度、力到向量
学习任务核心素养
1．理解向量的有关概念与向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．
(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．
(2)民航每天都有从飞往某某、某某、某某、某某等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不一样，因此，它们是不同的位移．
阅读教材，结合上述情境回答如下问题：
问题1：上述情境涉与哪些物理量？其特点是什么？
问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？
问题3：平行向量一定是相等向量吗？
数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).
两个数量可以比拟大小，那么两个向量能比拟大小吗？ [提示] 数量之间可以比拟大小，而两个向量不能比拟大小． 知识点2 向量的表示方法
(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →
，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作⎪⎪⎪
⎪AB →. (2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．
知识点3 零向量与单位向量
(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→
； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．
1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，如此终点构成的图形是
________；假如这些向量是单位向量，如此终点构成的图形是________．
[答案]一条直线 两个点 知识点4 向量的根本关系
(1)相等向量：长度相等且方向一样的向量，叫作相等向量，记作a ＝b .
(2)平行向量：方向一样或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．
(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ； 规定零向量的相反向量是零向量．
2.如下说法错误的答案是( )
A ．假如a ＝0，如此||
a ＝0 B ．零向量是没有方向的 C ．零向量与任意向量平行 D ．零向量与任意向量垂直
B[零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B是错误的．] 知识点5 向量的夹角
(1)定义：两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，如此∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角；
(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：
θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直．
△ABC中，AB→与AC→的夹角是________，AB→与BC→的夹角是________．[答案]60°120°
类型1 向量的有关概念
【例1】判断如下命题是否正确，并说明理由．
(1)a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
(2)假如AB→＝DC→，如此A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
(3)在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；
(4)假如向量a与任一向量b平行，如此a＝0.
[解](1)当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．
(2)AB→＝DC→，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确．
(3)在平行四边形ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向一样，故AB→＝DC→，(3)正确．
(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．
1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．
2.熟知向量的根本概念，弄清根本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的根底．
[跟进训练]
1．O 是△ABC 的外心，如此AO →，BO →，CO →
是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点一样的向量 C [⎪⎪⎪⎪AO →＝⎪⎪⎪⎪BO →＝⎪⎪⎪
⎪
CO →＝r .] 类型2 向量的表示
【例2】(教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．
(1)在如下列图的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量． [解](1)向量AD →，DC →，CB →，AB →
，如下列图． (2)由题意知AD →＝BC →
， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，
∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米〞．
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确
定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
[跟进训练]
2．在如图的方格纸中，画出如下向量．(每个小正方形的边长为1).
(1)|OA →
|＝4，点A 在点O 正北方向； (2)|OB →
|＝2
2，点B 在点O 东偏南45°方向；
(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？
[解](1)(2)(3)的图象如下列图．
(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆．
类型3 共线向量与夹角
【例3】(教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，
(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →
相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →
的夹角的大小．
[解](1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →
. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →
的夹角的大小为60°.
1．例3中与OA →
模相等的向量有多少？ [解]由图知与OA →
的模相等的向量有23个． 2．例3中向量OA →
的相反向量有哪些？
[解]与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →
. 3．例3中与向量OA →
共线的向量有哪些？
[解]与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →
. 4．求出例3中AB →与OA →
的夹角的大小 [解]AB →与OA →
的夹角的大小为120°.
判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向一样，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，如此只要判断它们是否同向或反向即可．
[跟进训练]
3.如下列图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与AF →、AE →
相等的向量； (2)写出与AD →
模相等的向量； (3)求AE →与CD →
夹角的度数． [解](1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →
. (2)DA →，CF →，FC →.
(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →
夹角为∠EAF ＝45°.
1．如下结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，如此a 与b 都是非零向量； ③假如|a |＞|b |，如此a ＞b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比拟大小，故③错；②假如
a ，
b 中有一个为零向量，如此a 与b 必共线，故a 与b 不共线，如此应均为非零向量，故②
对．]
2．(多项选择题)如下说法错误的答案是( ) A ．假如|a |＝|b |，如此a ＝±b B ．零向量的长度是0
C ．长度相等的向量称为相等向量
D ．共线向量是在同一条直线上的向量
ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定一样，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定一样，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．应当选ACD.]
3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →
|，如此这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AD →|＝|AB →|，
所以平行四边形ABCD 为菱形．应当选D.]
4．设O 是正方形ABCD 的中心，如此OA →，BO →，AC →，BD →
中，模相等的向量是________．
[答案]OA →与BO →，AC →与BD →
ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，如此DA →与CA →
的夹角为________；DA →
与BC →
的夹角为________．
30° 180° [由图知，DA →与CA →
的夹角与∠DAO 是对顶角，
又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →
与BC →为相反向量，故DA →与BC →
的夹角为180°.]
回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？
[提示] 用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．
“平行〞与平面几何中的“平行〞含义是否一样？
[提示] 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向一样或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行〞的含义不同于平面几何中“平行〞的含义．。