高中数学一轮复习课件：第十章 统计、统计案例(必修3、选修1-2)10-3

2．(必修 3P94A 组 T3 改编)相关变量 x，y 的样本数据如下表： x12345 y22356
经回归分析可得 y 与 x 线性相关，并由最小二乘法求得回归 直线方程为y^＝1.1x＋a^，则a^＝( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
[解析] －x ＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，－y ＝15×(2＋2＋3＋5 ＋6)＝3.6，回归直线经过点(－x ，－y )，所以 3.6＝1.1×3＋a^，得a^ ＝0.3.故选 C．
[解析] 由题意知，[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝ 0.254.
[答案] 0.254
核心考点突破 H
精研考题 突破重难
考点一 相关关系的判断 【例 1】 (1)下列两变量中不存在相关关系的是( ) ①人的身高与视力；②曲线上的点与该点的坐标之间的关 系；③某农田的水稻产量与施肥量；④某同学考试成绩与复习时 间的投入量；⑤匀速行驶的汽车的行驶距离与时间；⑥商品的销 售额与广告费 A．①②⑤ B．①③⑥ C．④⑤⑥ D．②⑥
[解析] 由相关系数的定义及散点图所表达的含义，可知 r2<r4<0<r3<r1，故选 A．
[答案] A
考点二 线性回归分析 【例 2】 (2018·全国卷Ⅱ)如图是某地区 2000 年至 2016 年 环境基础设施投资额 y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 2000 年至 2016 年的数 据(时间变量 t 的值依次为 1,2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋ 13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.
[答案] B
5．调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食 支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性 相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程：y^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮 食支出平均增加________万元．
(2)对变量 x，y 有观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5)，得表 1；对 变量 u，v 有观测数据(ui，vi)(i＝1,2,3,4,5)，得表 2.由这两个表可 以判断( )
表 1： x 1 2 34 5 y 2.9 3.3 3.6 4.4 5.1
表 2： u1 2 3 4 5 v 25 20 21 15 13
这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增 长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y^＝99＋ 17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化 趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而 利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到 的预测值更可靠．
＝
n

xi－－x 2
i＝1
n xiyi－n－x －y
i＝1
，a^＝－y －b^－x ，其中b^是回归方程的
n x2i －n－x 2
i＝1
斜率
在 y 轴上的 截距 ， (－x ，－y ) 称为样本点的中心．
，a^是
(3)样本相关系数
n

xi－－x yi－－y
i＝1
r＝
，用它来衡量两个变量间的
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 D．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关
[解析] (1)人的视力不受身高的影响，故①不存在相关关系； ②⑤是函数关系；③④是相关关系，故选 A．
2．回归直线方程的两个关注点 (1)样本数据点不一定在回归直线上，回归直线必过(－x ，－y ) 点． (2)在回归直线方程y^＝b^x＋a^中，b^>0 时，两个变量呈正相关 关系；b^<0 时，两个变量呈负相关关系．
[双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水 平成正相关关系．( ) (2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和 变化趋势．( ) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所 以没有必要进行相关性检验．( ) (4)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 K2 的观 测值越大．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
x2
c
d
c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
K2＝a＋ban＋adc－bb＋cd2 c＋d(其中 n＝ a＋b＋c＋d 为样本
容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X 与 Y 的关系”．
[辨识巧记] 1．两种关系——函数关系与相关关系 (1)函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关 系． (2)对线性相关关系求回归方程后，可以通过确定的函数关系 对两个变量间的取值进行估计．
(以上给出了 2 种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均 可．)
线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程： ①利用公式，求出回归系数b^，a^. ②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数． (2)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数， 求函数值． (3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的 是系数b^.
2．两个变量线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线 附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． (2)回归方程 ①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和 最小的方法叫最小二乘法．
n

xi－－x yi－－y
i＝1
② 回 归 方 程 为 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ， 则 b^ ＝
[解析] 依题意，注意到题中相关的点均集中在某条直线的 附近，且该直线的斜率小于 1，结合各选项知，故选 B．
[答案] B
4．(选修 1－2P16 习题 1.2T1 改编)为考察某种药物预防疾病的 效果，对 100 只某种动物进行试验，得到如下的列联表：
患病 未患病 合计
服用药 10
40
50
没服用药 20
[对点训练]
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区
城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 2012 2013 2014 2015 2016
时间代号 t 1 2 3 4
5
储蓄存款 5 6 7 8 10
y(千亿元)
(1)求 y 关于 t 的回归方程y^＝b^t＋a^； (2)用所求回归方程预测该地区 2017 年(t＝6)的人民币储蓄存 款．
30
50
合计
30
70 100
附表：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010
k0
2.706 3.841 5.024 6.635
经计算，统计量 K2≈4.762，则有________把握认为药物有
效．( )
A．99.5% B．95% C．99% D．97.5%
[解析] 因为 k2>3.841，所以有 95%的把握认为药物有效．故 选 B．
n tiyi－n－t －y
附：回归方程y^＝b^t＋a^中，b^＝i＝1
，a^＝－y －b^－t .
n t2i －n－t 2
i＝1
[解] (1)列表计算如下：
这里 n＝5，－t ＝1ni＝n1ti＝155＝3，－y ＝1ni＝n1yi＝356＝7.2.
又 ltt＝n t2i －n－t 2＝55－5×32＝10，lty＝n tiyi－n－t －y ＝120
[对点训练] 1．已知变量 x 和 y 满足关系 y＝－0.1x＋1，变量 y 与 z 正相 关．下列结论中正确的是( ) A．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关 C．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关 D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关
n

xi－－x 2
n

yi－－y 2
i＝1
i＝1
线性相关关系的强弱．
①当 r>0 时，表明两个变量 正相关 ； ②当 r<0 时，表明两个变量 负相关 ； ③r 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性 越强 ； r 的绝对值越接近 0，表明两个变量的线性相关性 越弱 ．通常
当|r|>0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
[知识梳理] 1．变量间相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一 类是 相关关系 ；与函数关系不同， 相关关系 是一种非确定性 关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，称 这两个变量为 正相关 ． 点散布在从左上角到右下角的区域内，则称这两个变量 负相关 ．
3．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别， 像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设 有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1， y2}，其样本频数列联表为
2×2 列联表
y1
y2
Байду номын сангаас
总计
x1
a
b
a＋b
(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施 投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
[解] (1)利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额 的预测值为y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值 为y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下： (ⅰ)从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没 有随机散布在直线 y＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施 投资额的趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显 增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，
(2)分别作出两组数据的散点图，如图所示，由散点图可知变 量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关，故选 D．
[答案] (1)A (2)D
判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关； 点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2)相关系数：r>0 时，正相关；r<0 时，负相关． (3)线性回归方程中：b^>0 时，正相关；b^<0 时，负相关．
[解析] 因为 y＝－0.1x＋1，x 的系数为负，故 x 与 y 负相关； 而 y 与 z 正相关，故 x 与 z 负相关．故选 C．
[答案] C
2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系 数的比较，正确的是( )
A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3 C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3
[答案] C
3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系， 统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)， 用回归直线y^＝b^x＋a^近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结 论最有可能成立的是( )
A．线性相关关系较强，b^的值为 3.25 B．线性相关关系较强，b^的值为 0.83 C．线性相关关系较强，b^的值为－0.87 D．线性相关关系太弱，无研究价值
第
统计、统计案例
十
章
(必修 3、选修 1－2)
第三节
变量间的相关关系、统计案例
高考概览：1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用 散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；3.了解独立 性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4. 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．