2020版数学新攻略总复习课标通用课件：第九章 -第六节 双曲线

mn
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 . 2( √ )
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2.若双曲线E:
x2 -
9
1y62=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|
PF1|=3,则|PF2|等于 ( B )
A.11 B.9
C.5 D.3
答案 B |PF1|=3<a+c=8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得| PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF2|=9,故选B.
易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以双曲线
x a
2 2
-
y2 2
=1的焦点为(2,
0),则a2+2=22,即a= 2 ,所以双曲线的离心率e= c = 2 = 2 .
a2
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双曲线的定义
典例1 已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|
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3.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)双曲线
渐近线方程为 ( A )
-ax22 =by122 (a>0,b>0)的离心率为
,则其3
A.y=± 2x B.y=± 3x
C.y=± 2x
2
D.y=± 3x
2
答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质.
∵e= 3,∴ b = e2 1= 3 1= 2 ,
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2-1 (2018河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为
y=± 3x,则该双曲线的标准方程是 ( C )
A.
7x2-
y
2
=1
16 12
C.x2- y2 =1
3
B. y-2 x=21
32
D. 3y-2 x=21
23 23
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵
b2 a2
=3,∴渐近线方程为y=±
3 x,
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则点A与点B到直线 x3-y=0的距离分别为d1= | 2 3a 3a=| 2 3 a3,d2=
2
2
| 2 3a 3a |= 2 3 3a,又∵d1+d2=6,∴ 2 3 3a+ 2 3 3a=6,解得a= ,3∴b2
c
4bc
则有3(c2-a2)=4c2-6a2,
解得 c = 3(负值舍去),
a
即e= 3.故选C.
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方法技巧
求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a,b,c的值,由c2 a=2 b2 =1+b2 直接求e.
a2
a2
a2
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化
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1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的① 距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1
F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做
② 双曲线的焦点 ,两焦点间的距离叫做③ 双曲线的焦距 .
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A. 5 B.2 C. 3 D. 2
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解析 本题考查双曲线的几何性质.
bc 0
点F2(c,0)到渐近线y=
b a
x的距离|PF2|=
a
1
b a
2
=b(b>0),而|OF2|=c,所以在
Rt△OPF2中,由勾股定理可得|OP|= c2 b2 =a,所以|PF1|= 6 |OP|= 6 a.
根据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程.
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易错警示 (1)双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的,必须结合其他已知条 件综合判断.(2)判断清楚所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支.若是
双曲线的一支,则需确定是哪一支.
(2)若双曲线的渐近线方程为y=± x,n则双曲线方程可设为 - x2=λy(2λ≠
m
m2 n2
0)或n2x2-m2y2=λ(λ≠0).
(3)与双曲线 x2 - y2 =1共焦点的双曲线方程可设为 x2 - y2 =1(-b2<k<
a2 b2
a2 k b2 k
a2).
(4)过两个已知点的双曲线的方程可设为mx2+ny2=1(mn<0).
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双
曲线. ( ✕ )
(2)椭圆的离心率e∈(0,1),双曲线的离心率e∈(1,+∞). ( √ ) (3)方程 x2 - y2=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线. ( ✕ )
答案 C 因为双曲线的渐近线方程为y=± 3 x,所以可设双曲线的方程
是x2- y2 =λ(λ≠0),将点(2,3)代入,得λ=1,所以该双曲线的标准方程为x2- y2
3
3
=1,故选C.
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2-2 已知圆C:(x-3)2+y2=4,定点A(-3,0),则过定点A且和圆C外切的动圆
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第六节 双曲线
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教 1.双曲线的定义
材
2.双曲线的标准方程和几何性质
研
读
3.双曲线方程的四种常见设法
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考 考点一 双曲线的定义
点
突
考点二 双曲线的标准方程
破 考点三 双曲线的几何性质
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成关于e的方程(或不等式)求解.
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命题方向二 双曲线的渐近线问题
典例4
(2018湖北八校联考)已知a>b>0,椭圆C1的方程为
+
x a
22=1,by双22 曲
线C2的方程为
x2-
a2
by22=1,C1与C2的离心率之积为
,2则3 C2的渐近线方程为
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1-1
若双曲线
x2
-
y
2
=1上的点P到点(5,0)的距离是15,则点P到点(-5,0)
16 9
的距离是 ( D )
A.7
C.5或25
B.23
D.7或23
答案 D 设F1(-5,0),F2(5,0),则|PF2|=15.若点P在双曲线的左支上,则|PF 2|-|PF1|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|-8=15-8=7;若点P在双曲线的右支上,则|PF1| -|PF2|=2a=8,所以|PF1|=|PF2|+8=15+8=23.故点P到点(-5,0)的距离是7或2 3.故选D.
A.
x2-
y

2
=1
4 12
C. x2 - y2 =1
39
B. x-2 y=21
12 4
D.
x
2
-
y=2 1
93
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解析
∵双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,
∴e2=1+
b2 a2
=4,∴
b2 a2
=3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2,
a
∴双曲线的渐近线方程为y=±b x=± 2 x.故选A.
a
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4.已知双曲线
x2
a-2
by=22 1(a>0,b>0)的实轴长为4,离心率为
标准方程为
.
,则5双曲线的
答案 x2 - y2 =1
4 16
解析
因为双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的实轴长为4,所以a=2,由离心率为
2
2
2
2
=9.∴双曲线的方程为 x-2 y=21,故选C.
39
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方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定
2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程.
(2)待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后
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双曲线的标准方程
典例2 (2018天津,7,5分)已知双曲线 -ax22 =by122(a>0,b>0)的离心率为2,过 右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同
一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为 ( C )
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集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a>0,c>0. (1)当④ 2a<|F1F2| 时,P点的轨迹是双曲线;
(2)当⑤ 2a=|F1F2| 时,P点的轨迹是两条射线;
(3)当⑥ 2a>|F1F2| 时,P点不存在.
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(A)
A.x± 2y=0 B. 2x±y=0
C.x±2y=0
D.2x±y=0
PF2|,则cos∠F1PF2= ( C )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 4
4
5
4
5
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解析 双曲线方程可化为 x2 - y2 =1,∴a=b= 2 ,c=2.
22
由| PF1 | | PF2 | 2
| PF1 | 2 | PF2 |
2,得|PF1|=4
60°=2
3.
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方法技巧
(1)利用双曲线的定义判断平面内动点与两定点的轨迹是不是为双曲
线,进而根据要求可求出双曲线方程;(2)在“焦点三角形”中,常利
用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法, 建立与|PF1|·|PF2|的关系.
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命题方向一 与双曲线有关的离心率问题
典例3
(2018课标全国Ⅲ,11,5分)设F1,F2是双曲线C:
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)
的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|
PF1|= 6 |OP|,则C的离心率为 ( C )
2 ,|PF2|=2
2,
由余弦定理得cos∠F1PF2=|
PF1
|2 | PF2 2 | PF1 |
|2 | | PF2
F1F2 |
|2
=
3 4
.
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◆探究(变条件) 若将本例中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=6 0°”,则△F1PF2的面积是多少?
2.双曲线的标准方程和几何性质
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第七页，编辑于星期日：一点 二十一分。
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3.双曲线方程的四种常见设法
(1)与双曲线 ax-22 by=22 1有共同渐近线的双曲线方程可设为 - ax22=λb(yλ22≠0).
解析 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2 ,
在△F1PF2中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2=
|
PF1
|2 2
| PF2 | PF1 |
|2 | | PF2
F1F2 |
|2
=
1 2
,
所以|PF1|·|PF2|=8,
所以S
F1PF2
=
1 2
|PF1|·|PF2|sin
5
,可得
c a
=
5 ,c=2
5 ,所以b=
c2 a2 =
20 4 =4,则双曲线的标准方程为
x2 - y2 =1.
4 16
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5.已知双曲线
x2 a2
-
y 2 =1(a>0)和抛物线y2=8x有相同的焦点,则双曲线的离
2
心率为
.
答案 2
解析
在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=
| |
PF2 OF2
| |
=
b c
,
在△F1F2P中,
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cos∠PF2O=
| PF2 |2 | F1F2 |2 | PF1 |2=
2 | PF2 | | F1F2 |
b2
4c2
6a
2
,
2b 2c
所以 b = b2 4c2 6a2 ⇒3b2=4c2-6a2,
圆心M的轨迹方程为
.
答案 x2- y2 =1(x≤-1)
8
解析 设动圆M的半径为R,则|MC|=2+R,|MA|=R,所以|MC|-|MA|=2,由双 曲线的定义知,M点的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=3, 所以b2=8,则动圆圆心M的轨迹方程为x2- y2 =1(x≤-1).
8