【数学】2019届一轮复习人教B版第48讲曲线与方程学案

第48讲 曲线与方程
考纲要求 考情分析 命题趋势
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关
系.
2016·全国卷Ⅰ，20(1) 2016·全国卷Ⅲ，20(2) 2015·湖北卷，20(1) 求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍．
分值：3～5分
1．曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．
2．求曲线方程的基本步骤
1．思维辨析(
在括号内打“√”或“
”)．
(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × )
解析 (1)正确．由f (x 0，y 0)＝0可知点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲
线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0.所以f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．
(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，所以x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.
(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确． (4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示的曲线的一部分，故其不正确． 2．到点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c (c ≠0)的点的轨迹方程为__2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0__.
解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知
((x －0)2＋(y －0)2)2＋((x －c )2＋(y －0)2)2＝c ， 即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ， 即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.
3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角的动点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2＝1(x ≠±1)__.
解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．
4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →
，则动点C 的轨迹方程为__y 2＝8x (x ≠0)__.
解析 AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →
＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2， 由AB →⊥BC →，得AB →·BC →
＝0， 即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y
2
＝0，即y 2＝8x . 若x ＝0，则y ＝0，则A ，B ，C 三点都在x 轴上，此时不存在A B →⊥BC →
.
∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．
5．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__ x 24＋y 2
3
＝1(y ≠0) __.
解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O (O 为坐标原点)作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA 1＋||BB 1＝2||OO 1＝4，由抛物线定义得||AA 1＋||BB 1＝||F A ＋||FB ，∴||F A ＋||FB ＝4，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
一 定义法求轨迹方程
应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．
解析 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2
＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以||PM ＋
||PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2＝||MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、
右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2
3
＝1(x ≠－2)．
二 直接法求轨迹方程
直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略
(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 【例2】 已知定点A ，B ，且|AB |＝2a .如果动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为2∶1，求点P 的轨迹．
解析 取AB 所在的直线为x 轴，从A 到B 为正方向，以AB 的中点O 为原点，以AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)．设P (x ，y )，∵||P A ||PB ＝21，即
(x ＋a )2＋y 2(x －a )2＋y 2＝2，化简整理得3x 2＋3y 2－10ax ＋3a 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x －53a 2＋y 2＝16
9a 2.动点P 的轨迹是以C ⎝⎛⎭⎫53a ，0为圆心，4
3
a 为半径的圆．
三 相关点法求轨迹方程
相关点法求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)．
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝f (x ，y )，
y 1＝g (x ，y ).
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
【例3】 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于A ，B 两点(a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解析 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消y 并整理，
得x 2－12ax ＋16a 2＝0，
∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . ∵G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴⎩⎨⎧
x ＝x 0
＋x 1
＋x 2
3＝x 0
＋12a
3
，y ＝y 0
＋y 1
＋y 2
3＝y 0
＋4a
3
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝3x －12a ，
y 0
＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程，得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )，即⎝⎛⎭⎫y －4a 32＝4a
3
(x －4a )． 又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ，即3x －12a ≠(6±25)a ，即x ≠⎝⎛⎭⎫
6±253a ，
∴△ABC 的重心的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫y －4a 32＝4a 3(x －4a )⎝⎛⎭
⎫x ≠⎝⎛⎭⎫6±253a .
1．已知点A (－4,4)，B (4,4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的轨迹方程为__x 2＝4y (x ≠±4)__.
解析 设M (x ，y )，由已知得k AM －k BM ＝
y －4x ＋4－y －4
x －4
＝－2，化简得x 2＝4y (x ≠±4)． 2．已知圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝100，点A 的坐标为(－3,0)，M 为圆C 上任一点，线段AM 的垂直平分线交CM 于点P ，则点P 的轨迹方程为__ x 225＋y 2
16
＝1 __.
解析 由题可知C (3,0)，r ＝10，由中垂线性质知||P A ＝||PM ，故||P A ＋||PC ＝||PM ＋||PC ＝||CM ＝10，即点P 的轨迹为以原点为中心，点A ，C 为焦点的椭圆，2a ＝10，c ＝3，b ＝4，故点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16
＝1.
3．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且||O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解析 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
由||O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有||MO 1＝r －1，
由动圆M 与圆O 2外切， 有||MO 2＝r ＋2， ∴||MO 2－||MO 1＝3，
∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支， ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74，
∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27
＝1⎝⎛
⎭⎫x ≤－32. 4．设点F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →
，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．
解析 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )． ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →
＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0.∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →
，得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －x 0＝－2x 0，
y ＝2y 0，即⎩
⎪
⎨⎪⎧
x 0＝－x ，
y 0＝12
y .
∴－x ＋y 2
4
＝0，即y 2＝4x .
故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .
易错点 轨迹方程与实际的轨迹不对应
错因分析：①要注意参数的取值影响x ，y 的取值范围；②曲线的方程与方程的曲线要对应．
【例1】 如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *，1≤i ≤9)．求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求P 的轨迹方程．
解析 依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，
所以直线OB i 的方程为y ＝i
10x .
设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝i ，y ＝i
10x ， 得y ＝1
10
x 2，即x 2＝10y .
所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 由于i ∈[1,9]，所以x ∈[0,10]，y ∈[0,10]，从而点P 的轨迹方程为x 2＝10y (x ∈[0,10])． 【跟踪训练1】 已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)__.
解析 设A (x ，y )，则D ⎝⎛⎭⎫
x 2，y 2，∴|CD |＝
⎝⎛⎭⎫x 2－52＋y 2
4
＝3，化简得(x －10)2＋y 2＝36.
由于A ，B ，C 三点构成三角形，∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.
课时达标 第48讲
[解密考纲]求曲线的轨迹方程，要注意定义法或直接法，这类题型一般在解答题的第(1)问中出现．
一、选择题
1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( D ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线
D ．抛物线
解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．
2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆
D ．双曲线
解析 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＝0，
又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆．
3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，点Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( D )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得点Q 的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.
4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，点A (1,0)是圆内一定点，点Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为( D )
A ．4x 221－4y 2
25＝1
B ．4x 221＋4y 2
25＝1
C ．4x 225－4y 2
21
＝1
D ．4x 225＋4y 2
21
＝1
解析 ∵M 为AQ 的垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，
故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，
∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2
21
＝1.
5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →
＝1，则点P 的轨迹方程是( A )
A ．3
2x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)
B.3
2
x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－3
2
y 2＝1(x >0，y >0)
D ．3x 2＋3
2
y 2＝1(x >0，y >0)
解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2P A →
，
得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →
＝1，得
(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为3
2x 2＋3y 2
＝1(x >0，y >0)．
6．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的
圆锥曲线的个数为( B )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析 ∵e 是方程
2x 2－5x ＋2＝0
的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2
m
＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有
4－m 2＝1
2
，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m ＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2
－m ＝1，
有
4－m
2
＝2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个．故选B. 二、填空题
7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B →
－O A →
)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是__2x －y －2＝0__.
解析 设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →
)＝(1＋t,2t )，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去
参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.
8．(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心
的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°__.
解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1,0)，所以AC →＝(－1,0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与A F →
的夹角为120°，得cos 120°＝
－11×1＋a 2＝－1
2
，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.
9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动
点Q 满足O Q →
＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是__ x 24a 2＋y 24b
2＝1 __.
解析 作P 关于O 的对称点M ，连结F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形，
所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →.
又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，所以OP →
＝－12OQ →.
设Q (x ，y )，则OP →
＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 在椭圆上，
则有
⎝⎛⎭⎫－x 22a 2
＋
⎝⎛⎭
⎫－y 22
b 2
＝1，即x 24a 2＋y 2
4b
2＝1.
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)，点B 在直线l 1：y ＝－1上，点M 满足 MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →
，求点M 的轨迹方程．
解析 设M (x ，y )，由MB →∥OA →得B (x ，－1)．又A (0,1)，则MA →＝(－x ，1－y )，MB →
＝(0，－1－y )，AB →＝(x ，－2)．由MA →·AB →＝MB →·BA →，得(MA →＋MB →)·AB →
＝0，代入坐标即(－x ，－2y )·(x ，－2)＝0⇒x 2＝4y ，所以点M 的轨迹方程为x 2＝4y .
11．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2
的外角平分线的垂线，求垂足Q 的轨迹方程．
解析 从焦点F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线段，延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，则|PF 1|＝|AP |，在椭圆中，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即|AP |＋|PF 2|＝|AF 2|＝2a ，则|OQ |＝1
2|AF 2|
＝a .因为|OQ |＝a ，满足圆的定义，所以Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.
12．从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．
解析 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，由线段QN 的中点为P ，得点N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．
又点N 在直线x ＋y ＝2上，则2x －x 1＋2y －y 1＝2. ① 又因为PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，所以y －y 1
x －x 1＝1，
即x －y ＋y 1－x 1＝0.②
由①②两式联立解得⎩⎨⎧
x 1＝32x ＋1
2
y －1，
y 1
＝12x ＋3
2y －1.
③
又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，所以x 21－y 2
1＝1. ④
将③式代入④式得动点P 的轨迹方程是2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.。