(好题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，点D 在AB 上，连结CD ，将ADC ∆沿CD 折叠，点A 的对称点为E ，CE 交AB 于点F ，下列结论正确的个数是（ ） ①当BF =BC 时，EF =23-2；②当BF =BC 时，DEF ∆为直角三角形；③当DEF ∆为直角三角形，EF =23-2；④当DE 平行ABC ∆的边时，∠BCE =30°
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；
②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接NE ．下列结论：①AE AF =；②AM EF ⊥；③DF DN =；④//AD NE ．正确的有（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④ 4．下列几组数能作为直角三角形三边长的是（ ）
A ．3，4，6
B ．1，1，3
C ．5，12，14
D ．5，25，5 5．已知，如图，BC=DC ，∠B+∠D=180°． 连接AC ，在AB ，AC ，AD 上分别取点
E ，P ，
F ，连接PE ，PF ． 若AE=4，AF=6，△APE 的面积为4，则△APF 的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．如图，在Rt ABC △中，CA CB =，D 为斜边AB 的中点，Rt EDF ∠在ABC 内绕点D 转动，分别交边AC ，BC 于点E ，F （点E 不与点A ，C 重合），下列说法正确的是（ ）
①45DEF ︒∠=；②222BF AE EF ；③2CD EF CD <≤
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③ 7．下列说法错误的是（ ）
A ．有两边相等的三角形是等腰三角形
B ．直角三角形不可能是等腰三角形
C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
8．等腰三角形的一个角为40︒，则其底角的度数为( )．
A ．40︒
B ．70︒
C ．40︒或70︒
D ．50︒或70︒ 9．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，D
E AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
10．若以Rt ABC △的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在Rt ABC △的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（ ）
A ．3个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
11．如图，ABC ∆中，AB AC =，3BC =，6ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）
A ．3.5
B ．4
C ．4.5
D ．5 12．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至
E ，使CE CD =，则下列结
论错误．．的是（ ）
A ．30CED ∠=︒
B ．120∠=︒BDE
C ．DE B
D = D ．D
E AB =
二、填空题
13．如图．在ABC 中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．
（1）点D 从B 向C 的运动过程中，BDA ∠逐渐变____（填“大”或“小”）；
（2）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．_____．
14．如图在第一个△A1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为_____________．
15．如图，在ABC 中，AE BC ⊥于点,E BD AC ⊥于点D ．点F 是AB 的中点，连接,DF EF ，设,DFE x ACB y ∠=∠=︒︒，求y 关于x 的函数关系式_________．
16．如图，等腰三角形ABC 的面积为80，底边10BC =，腰AC 的垂直平分线EF 交,AC AB 于点E ，F ，若D 为BC 边中点，M 为线段EF 上一动点，则CDM 的周长最小值为________．
17．如图，已知△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，有以下四个结论：①点P 在∠BAC 的平分线上；②△BRP ≌△QSP ；③QP ∥AR ；④△PQC 是等边三角形，其中正确的有______个．
18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 是它的角平分线，若:3:2AB AC =，且2BD =，则点D 到直线AB 的距离为______．
19．在锐角ABC 中，AB AC =，CE 是高，且36ECA ∠=︒，平面内有一异于点A ，B ，C ，E 的点D ，若ABC CDA △△≌，则DAE ∠的度数为______．
20．如图，80AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE △是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为________．
三、解答题
21．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12
DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于G ．如果6AB =，8BC =，ABG 的面积是15，求CBG 的面积．
22．如图，已知E 、F 分别是ABC 的边AB 和AC 上的两个定点，在BC 上找一点M ，使EFM △的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）
23．如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，AC 平分BAD ∠，DE AC ⊥，
AB AE =．
（1）求证：AC AD =．
（2）若BC CD ⊥，试判断ACD △的形状，并说明理由．
24．如图，已知平行四边形ABCD ．
（1）用直尺和圆规作出ABC ∠的平分线BE ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点F （保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在第（1）题的条件下，求证：ABE △是等腰三角形．
25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，点E 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，AE 平分∠BAD ，若∠CAE ＝42°．求∠AEC 和∠B 的度数．
26．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，以AD 为边作等边△ADE ，连接CE ．
（1）求证BD ＝CE ；
（2）若AC +CD ＝2，则四边形ACDE 的面积为 ．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由勾股定理可求A C 的长，利用折叠的性质和等腰三角形的性质依次计算可得①②正确．利用直角三角形分类讨论可知EF 有两种情况，③不正确，由平行内错角角相等可知④正确；
【详解】
解：
①∵BF =BC ，且∠ABC =60°，
∴BCF ∆
为等边三角形，BF =CF =BC =2，AC AB =4，
∵ADC ∆沿CD 折叠，
∴CE =AC
EF =CE -CF ，故①正确；
②当BF =BC 时，∠EFD =∠BFC =60°，
∴∠DEF =∠A =30°，∠EDF =90°，
∴EDF ∆为直角三角形，故②正确；
③当DEF ∆为直角三角形时，此处要分情况讨论，当∠EDF =90°时，
∵∠DEF =∠A =30°，
∴∠EFD =60°=∠BFC ，EF =EC -CF
-2，
当∠EFD =90°时，∵∠ABC =60°，∠BCF =30°，
∴FC
EF =EC -FC ，综上所述，EF ，故③错误；
④当DE 平行于ABC ∆的边时，∵DE ∥BC ，∴∠EDF =∠ABC =60°，
∵∠DEC =30°，∴∠BCF =∠DEC =30°，故④正确，
故选C
【点睛】
本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CA ，学会运用分类讨论是解题的关键． 2．D
解析：D
【分析】
根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．
【详解】
解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，
∴
90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，
又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，
∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；
又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=， ∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，
AM CM ∴=，
∴A ACM ∠=∠
同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，
∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，
∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，
∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，
∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；
综上所述，①②③④正确，共4个．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12
∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M 为EF 的中点且AE=AF 可判断②；作FH ⊥AB ，证△FBD ≌△NAD 可判断③，证明△EBA ≌△EBN （SAS ），推出
∠BNE=∠BAM=90°，即可判断④．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE=
12
∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5° ∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE ，故①正确；
∵M 为EF 的中点，
∴AM ⊥EF ，故②正确；
∵AM ⊥EF ，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，
在△FBD 和△NAD 中，
FBD DAN BD AD
BDF ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△FBD ≌△NAD （ASA ），
∴DF=DN ，故③正确；
∵∠BAM=∠BNM=67.5°，
∴BA=BN ，
∵∠EBA=∠EBN ，BE=BE ，
∴△EBA ≌△EBN （SAS ），
∴∠BNE=∠BAE=90°，
∴∠ENC=∠ADC=90°，
∴AD ∥EN ．故④正确，
综上，正确的结论有：①②③④
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
要能作为直角三角形三边长，需验证两小边的平方和等于最长边的平方．
【详解】
解：A 、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
B 、12+12≠
2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C 、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
D
2+（
2＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形． 5．C
解析：C
【分析】
作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，先证明()ABC HDC SAS ≅，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到
,BAC H AC CH ∠=∠=，结合等边对等角得到BAC CAD ∠=∠，再由角平分线的性质证得PG PJ =，最后根据三角形面积公式解题即可.
【详解】
解：如图，作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，
180,180B ADC ADC CDH ∠+∠=︒∠+∠=︒
B CDH ∴∠=∠
BC CD B CDH AB BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABC HDC SAS ∴≅
,BAC H AC CH ∴∠=∠=
CAD H ∴∠=∠
BAC CAD ∴∠=∠
PG PJ ∴= 14
2APE S AE PG =⋅= 2PG ∴=
2PJ ∴=
1162622
APF S AF PJ ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.
6．A
解析：A
【分析】
①证明∠A=∠DCB ，AD=CD ，∠ADE=∠CDF ，根据ASA 证明△ADE CDF ≅∆得ED=FD ，从而可判断①；②运用SAS 证明△EDC FDB ≅∆，得到CE BF =，再由
222CE CF EF +=即可判断②；③当DE AC ⊥时，DE
最短，从而可得
DE CD ≤<，整理后代换即可判断③． 【详解】
解：①∵,90CA CB ACB =∠=︒，
∴△ABC 是等腰直角三角形
∴∠45A B =∠=︒
∵点D 是AB 的中点，
∴,DA DB DC CD AB ==⊥，∠45DCB DCA =∠=︒
∵∠EDF ADC =∠
∴∠EDF EDC ADC EDC -∠=∠-∠
∴∠ADE CDF =∠
在△ADE 和△CDF 中
A DC
B AD CD
ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE CDF ≅∆
∴,DE DF AE CF ==
∴△DEF 是等腰直角三角形
∴∠45DEF =︒，故①正确；
②∵∠90EDF CDB ︒=∠=
∴∠EDF CDF CDB CDF -∠=∠-∠
∴∠EDC FDB =∠
在△EDC 与△FDB 中
DE DF EDC FDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EDC FDB ≅∆
∴CE BF =
∵222CE CF EF +=
∴2
22BF AE EF ，故②正确； ③∵△DEF 是等腰直角三角形，
∴EF =
∵当DE AC ⊥
时，2DE ==最短，
∴2
DE CD ≤< ∴
CD ≤<
即CD EF ≤<
，故③错误； ∴综上，正确的是①②，
故选：A ．
【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．
【详解】
A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；
B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；
C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质． 8．C
解析：C
【分析】
结合题意，根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】
当40︒角为等腰三角形顶角时，其底角的度数为18040
702
；
当40︒角为等腰三角形底角时，其底角的度数为40︒；
故选：C ．
【点睛】 本题考查了等腰三角形、三角形内角和的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，从而完成求解．
9．C
解析：C
【分析】
连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件
得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122
EF OE =
=，即可得解； 【详解】
连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，
∵2OD =，4OE =，
∴
6DE OD OE =+=， 在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，
∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，
∴OA OC =，
∵OA OB =，
∴OB OC =，
∵OF BC ⊥，
∴12
CF BF BC ==
， 在Rt △OEF 中， ∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，
∴122EF OE =
=， ∴10CF CE EF =-=，
∴8BE BC CE =-=；
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先以Rt △ABC 三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点，也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点．
【详解】
解：如图1，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则△BCD是等腰三角形；
如图2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则△ACD是等腰三角形；
如图3，作AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，则△BCD是等腰三角形；
如图4，以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点F，连接BD，CF 则△BCD、△BCF是等腰三角形；
如图5，作BC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，则△BCD是等腰三角形；
如图6，作AC的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，△ACD是等腰三角形，
∴符合题意的等腰三角形最多能画7个，
故选：D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．D
解析：D
【分析】
因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD ＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，
∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，
故ABC均正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．
二、填空题
13．小80°或110°【分析】（1）由题意易得由点D从B项C的运动过程中逐渐变大可求解问题；（2）由题意可分①若AD=DE时②若时③若时则点D与点B重合点E与点C重合与题意矛盾故不符合题意；然后根据等腰
解析：小 80°或110°
【分析】
（1）由题意易得140BDA BAD ∠=︒-∠，由点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大可求解问题；
（2）由题意可分①若AD =DE 时，②若AE DE =时，③若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意；然后根据等腰三角形的性质及角的等量关系可进行求解．
【详解】
解：（1）∵180BDA B BAD ∠+∠+∠=︒，
∴140BDA BAD ∠=︒-∠，
∵点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大，
∴BDA ∠逐渐变小；
故答案为小；
（2）若AD =DE 时，
∵,40AD DE ADE =∠=︒，
∴70DEA DAE ∠=∠=︒，
∵DEA C EDC ∠=∠+∠，40B C ∠=∠=︒，
∴30EDC ∠=︒，
∴180110BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；
若AE DE =时，
∵,40AE DE ADE =∠=︒，
∴40EDA DAE ∠=∠=︒，
∴100DEA ∠=︒，
∵DEA C EDC ∠=∠+∠，
∴60EDC ∠=︒，
∴18080BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；
若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意； 综上所述：当80BDA ∠=︒或110°时，△ADE 的形状可以是等腰三角形；
故答案为80°或110°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．【分析】根据等腰三角形的性质可求出△CBA1的底角的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出△DA1A2的底角的度数同理可求出△EA2A3△FA3A4…底角的度数再找出其规律即可得出第n 个 解析：1
1702n -︒⨯
【分析】
根据等腰三角形的性质，可求出 △CBA 1 的底角的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可求出 △DA 1A 2 的底角的度数．同理可求出 △EA 2A 3 、 △FA 3A 4 …底角的度数．再找出其规律即可得出第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数．
在 △CBA 1 中， ∠B=40° ， A 1B=CB ，
∴ ∠BA 1C=∠BCA 1=（180°−40°)÷2=70° ，
又∵ A 1A 2=A 1D ， ∠BA 1C 是 △A 1A 2D 的外角．
∴ ∠DA 2A 1=∠A 2DA 1=
12∠BA 1C=12×70° ． 同理可得：
∠EA 3A 2=∠A 3EA 2=
12∠DA 2A 1=12×12×70°=(12)2×70° ， ∠FA 4A 3=∠A 4FA 3=
12∠EA 3A 2=(12)3×70°， 综上可知规律：
第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数是：
112n -×70° ， 故答案为 70° ×
1
12n -． 【点睛】
本题考查等腰三角形和三角形外角的性质，求出 ∠DA 2A 1 、 ∠EA 3A 2 、 ∠FA 4A 3 的度数，找出其规律是解答本题的关键． 15．y=x+90【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°根据直角三角形的性质得到AF=DFBF=EF 根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF ∠EFB=∠BEF 于是得到结论【详解】解：∵AE ⊥
解析：y=12-
x+90 【分析】
由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°，根据直角三角形的性质得到AF=DF ，BF=EF ，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF ，∠EFB=∠BEF ，于是得到结论．
【详解】
解：∵AE ⊥BC 于点E ，BD ⊥AC 于点D ；
∴∠ADB=∠BEA=90°，
∵点F 是AB 的中点，
∴AF=DF ，BF=EF ，
∴∠DAF=∠ADF ，∠EBF=∠BEF ，
∴∠AFD=180°-2∠CAB ，∠BFE=180°-2∠ABC ，
∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2（∠CAB+∠CBA ）-180°=2（180°-y°）-180°=180°-2y°，
∴y=12
-x+90， 故答案为：y=12-
x+90．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，一次函数，正确的识别图形是解题的关键．
16．21【分析】连接ADAM由于△ABC是等腰三角形点D是BC边的中点故AD⊥BC再根据三角形的面积公式求出AD的长再根据EF是线段AC的垂直平分线可知点A关于直线EF的对称点为点CMA＝MC推出MC＋
解析：21
【分析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC＋DM＝MA＋DM≥AD，故AD的长为BM＋MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝1
2BC•AD＝
1
2
×10×AD＝80，解得：AD＝16，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC＋DM＝MA＋DM≥AD，
∴AD的长为CM＋MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM＋MD）＋CD＝AD＋1
2BC＝16＋
1
2
×10＝21．
故答案是：21．
【点睛】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．17．4【分析】根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质角平分线的性质可得所以内错角相等所以所以为等边三角形所以可判断③④正确再根据①③④的结论易证②正确【详解】点P在的平分线上故①正确；A
解析：4
【分析】
根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得
APQ QAP ∠=∠，QAP BAP ∠=∠，所以APQ BAP ∠=∠，内错角相等，所以//QP AR ，所以60BAC C ∠=∠=︒，PCQ △为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确．
【详解】
,,PR PS PR AB PS AC =⊥⊥
90PRB PSQ ∴∠=∠=︒
∴点P 在BAC ∠的平分线上，故①正确；
PQ AQ =
APQ QAP ∴∠=∠
AP 平分BAC ∠
QAP BAP ∴∠=∠
APQ BAP ∴∠=∠
//QP AR ∴，故③正确； ABC 为等边三角形
60B C BAC ∴∠=∠=∠=︒
//QP AR
60BAC PQS ∴∠=∠=︒
PQC ∴是等边三角形，故④正确；
∴在BRP △和QSP 中
B PQS PRB PSQ PR PS ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BRP △≌QSP 故②正确
综上所述①②③④都正确
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质定理，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．【分析】根据角平分线的性质利用面积比求出BD:DC=3:2代入求值即可
【详解】解：∵平分∠BACDC ⊥ACDE ⊥AB ∴DC=DE ∵∴即点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质解题关 解析：43
【分析】
根据角平分线的性质，利用面积比求出BD:DC=3:2，代入2BD =求值即可．
【详解】
解：∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴DC=DE ，
12ABD S AB DE =⨯⨯，12
ACD S AC CD =⨯⨯, 13212
2ABD ACD AB DE S S AC CD ⨯⨯==⨯⨯, 12
ABD S DB AC =⨯⨯， 1212ABD ACD DB AC S S AC CD ⨯⨯=⨯⨯， 32
BD CD =， ∵2BD =，
∴43
CD =， 43ED = 即点D 到直线AB 的距离为
43， 故答案为：
43
． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，解题关键是利用面积公式，通过角平分线的性质得出面积比，再根据面积比求出边长比．
19．117°或9°【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可
【详解】如图所示∵在△ABC 中AB ＝ACCE 是高且∠ECA ＝36°∴∠BAC ＝90°-36°=54°∠ACB ＝∠ABC ＝63°∵△
解析：117°或9°
【分析】
根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．
【详解】
如图所示，
∵在△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是高，且∠ECA ＝36°，
∴∠BAC ＝90°-36°=54°，∠ACB ＝∠ABC ＝63°，
∵△ABC≌△CDA，
∴∠CAD＝∠ACB＝63°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝63°+54°＝117°，
同理，∠D1AE＝∠CAD1-∠BAC=63°-54°=9°，
故答案为：117°或9°
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
20．40°或70°或100°【分析】求出∠AOC根据等腰得出三种情况OE＝CEOC＝OEOC＝CE根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【详解】解：
∵∠AOB＝80°OC平分∠AOB∴∠AOC＝4
解析：40°或70°或100°
【分析】
求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝40°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝40°，
∴∠OEC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝1
2
（180°﹣40°）＝70°；
③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝40°；
故答案为：100°或70°或40°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．
三、解答题
21．20
【分析】
如图，过点G 作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ．证明GM ＝GN ，求出GM ，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点G 作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ．
由作图可知，GB 平分∠ABC ，
∵GM ⊥AB ，GN ⊥BC ，
∴GM ＝GN ，
∵S △ABG ＝12
×AB×GM ＝15，6AB =， ∴GM ＝5，
∴GN ＝GM ＝5，
∴S △CBG ＝
12•BC•GN ＝12×8×5＝20． 【点睛】
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题，属于中考常考题型．
22．画图见解析
【分析】
先作E 点关于直线BC 的对称点1,E 则1,ME ME = 再连接1,FE 交BC 于,M 从而可得到EFM △的周长最短．
【详解】
解：如图，EFM △是所求作的周长最小的三角形，
【点睛】
本题考查的轴对称的性质，过直线外一点作已知直线的垂线，线段的垂直平分线的性质，掌握利用轴对称的性质求解两条线段的和的最小值是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析
【分析】
（1）根据题意可证ABC AED ≌
△△，继而得出结论； （2）根据BC CD ⊥，可知90BCD B ∠=∠=︒，即可判断//AB CD ，进而可证AD CD AC ==，从而得出结论；
【详解】
（1）证明：∵90B ∠=︒，DE AC ⊥，
∴90B AED ∠=∠=︒，
∵AC 平分BAD ∠，
∴BAC EAD ∠=∠，
在ABC 和AED 中，
∵ABC AED AB AE BAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴()ABC AED ASA ≌△△，
∴AC AD =；
（2）解：ACD △是等边三角形，
理由如下：∵BC CD ⊥，
∴90BCD B ∠=∠=︒，
∴//AB CD ，
∴BAC ACD DAC ∠=∠=∠，
∴AD CD AC ==，
∴ACD △是等边三角形；
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键；
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）以B为圆心，小于AB长为半径画弧，交AB，BC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，交AD的延长线于点E，交DC于点F；
（2）根据角平分线的性质和平行线性质可得等腰三角形中有2个角相等，即可得到所求三角形是等腰三角形．
【详解】
解：（1）如图：
（2）根据作图可知
1
2
CBE ABE ABC ∠=∠=∠，
又四边形ABCD是平行四边形
//
AE BC
∴
即AEB CBE
∠=∠
∴在ABE
△中，AEB ABE
∠=∠
∴AE=AB，即ABE
△是等腰三角形
【点睛】
考查角平分线的画法及等腰三角形的判定；用到的知识点为：等角对等边．25．∠AEC＝48°，∠B＝32°．
【分析】
由直角三角形的性质可求出∠AEC的度数，设∠DAE=x，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠B=2x，则可求出x=16°，则可得出答案．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠CAE＝42°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CAE＝48°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
设∠DAE＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝3x
∴3x＝48°，
∴x＝16°，
∴∠B ＝2x ＝32°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26．（1）详见解析；（2
）3
【分析】
（1）由题意可以得到△ABD ≌△ACE ，从而得到BD=CE ；
（2）分别过E 作AC 、CD 的垂线EM 、EN ，由（1）及勾股定理可以求得EM 、EN 的值，然后根据三角形面积计算方法及AC+CD=2可以得到四边形ACDE 的面积 ．
【详解】 证明：（1）∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，
∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD ＝CE ；
（2）∵△ABD ≌△ACE ，
∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，
∴∠DCE ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
过点E 作EM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥BC ，交BC 延长线于N ，
∴EM ＝EN ，
∵CE ＝BD ＝AC +CD ＝2，
∴EM ＝EN 3
∴ACE DCE ACDE S S S =+四边形
1122
AC EM CD EN =⨯+⨯ ()1132322
EM AC CD =+==
【点睛】
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键．。