【金版学案】2022-2021学年高一数学人教A版必修4练习：章末过关检测卷(二)

章末过关检测卷(二)
其次章 平 面 向 量
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是(B ) A ．e 1＝()0，0，e 2＝()1，－2 B ．e 1＝()－1，2，e 2＝()5，7 C ．e 1＝()3，5，e 2＝()6，10
D ．e 1＝()2，－3，e 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，－34
2．向量a ＝()－2，5的起点坐标为()2，1，则它的终点坐标为(A ) A.()0，6 B.()6，4 C.()7，1 D.()1，7
3．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)若()m ＋n ⊥()m －n ，则λ＝(B ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1
解析：利用坐标运算得出m ＋n 与m －n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ.由于m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.故选B.
4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b 等于(B ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8)
C ．(－3，－6)
D ．(－2，－4)
解析：∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，即m ＝－4.∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝(－4，－8)．故选B.
5．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为20 N ，合力与F 1
的夹角为
π
3
，那么F 2的大小为 (C ) A ．10 N B ．10 2 N C ．10 3 N D ．20 N
6．若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为(D )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析： ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－7
2，|a |＝
（2e 1＋e 2）2＝
4＋4e 1·e 2＋1＝7，|b |＝
（－3e 1＋2e 2）2＝
9－12e 1·e 2＋4＝
7，∴a ，b 的夹角的余弦值为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－
7
27×7＝－1
2，∴〈a ，b 〉＝
120°，故选D.
7．设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，当c ＝λa ＋μb ()λ，μ∈R ，且λ＋μ＝1时，点C (B )
A ．在线段A
B 上 B ．在直线AB 上
C ．在直线AB 上，除去点A
D ．在直线AB 上，除去点B
解析：令t ＝μ，则c ＝(1－t )a ＋tb ，即：OC →＝(1－t )OA →＋tOB →⇒AC →＝tAB →.故选B.
8．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与b －a 的夹
角为(B )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：由|a ＋b |＝|a －b |得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0.由|a ＋b |＝2|a |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4a 2，即b 2＝3a 2，∴|b |＝3|a |，∴(a ＋b )·(b －a )＝b 2－a 2＝3a 2
－a 2
＝2a 2
，∴a ＋b 与b －a 的夹角的余弦值为cos θ＝（a ＋b ）·（b －a ）
|a ＋b |·|a －b |
＝
2a 22|a |·2|a |＝1
2，∴θ＝π3
，故选B.
9．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC
→＝(A ) A ．2OA
→－OB → B ．－OA →＋2OB → C .23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23
OB →
10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB
→－AC →|，则|AM →|＝(C ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1
解析：由|BC
→|2＝16，得|BC →|＝4.|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|BC →|＝4，而|AB →＋AC →|＝2|AM
→|，故|AM →|＝2.故选C . 11．已知向量a ＝(3，4)，若|λa |＝5，则实数λ的值为(D ) A.15 B ．1 C ． ±1
5
D ．±1 12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝(B )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB
→与AC →的夹角为________．
解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，故O ，B ，C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而∠BAD ＝90°，因此AB
→与AC →的夹角为90°. 答案：90°
14．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，0)，则|2a ＋b |等于________．
解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，0)，∴2a ＋b ＝2(1，1)＋(2，0)＝(4，2)，∴|2a ＋b |＝
42＋22＝20＝2 5. 答案：2 5
15．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，
则λ
μ
＝________．
解析：建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算求解．以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y
轴建立平面直角坐标系，
设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6－2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
故λ＝－2，μ＝－1
2，则λμ
＝4.
答案：4
16．已知O ()0，0和A ()6，3，若点P 在线段OA 上，OP →＝12PA →，又点P 是
线段OB 的中点，则点B 的坐标是____________．
答案：()4，2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知a ＝()1，2，b ＝()－3，2，若ka ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．
解析：∵ka ＋2b ＝k ⎝⎛⎭⎫1，2＋2⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫k －6，2k ＋4，
2a －4b ＝2⎝⎛⎭⎫1，2－4⎝⎛⎭⎫－3，2＝⎝⎛⎭⎫14，－4，又ka ＋2b 与2a －4b 平行，∴⎝⎛⎭⎫k －6⎝⎛⎭⎫－4－⎝⎛⎭
⎫2k ＋4×14＝0，解得k ＝－1.
18．(本小题共12分)(1)若a ＝(1，0)，b ＝(－1，1)，c ＝a ＋(a ·b )b . (1)求|c |；
(2)已知|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，求a 与b 夹角θ的值．
解析：(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(－1，1)，∴a ·b ＝－1，则c ＝a ＋(a ·b )b ＝a －b ＝(2，－1)，|c |＝22＋（－1）2＝5，
(2)∵|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝
a 2＋
b 2＋2a ·b ＝
|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |cos θ，又|a |
＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝1，
∴1＋3＋23cos θ＝1⇒cos θ＝－3
2，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6
.
19．(本小题满分12分)求与向量a ＝()2，－3和b ＝()－2，3夹角相等，且模为2的向量c 的坐标．
解析：设c ＝⎝⎛⎭⎫x ，y ，
则依题意有⎩⎨⎧2x －3y ＝－2x ＋3y ，
x 2＋y 2＝4，
解得
⎩⎨⎧
x ＝
2217
y ＝477，
或⎩⎨⎧
x ＝－2217
，
y ＝－477.
∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2217
，477或⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2217，－477. 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)、B (2，3)、C (－2，－1)．
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数解t 满足(AB →－tOC →)·OC
→＝0，求t 的值． 解析：(1)方法一 由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB
→－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝
210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的
长分别为42、210.
方法二 设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则E 为B 、C 的中点，E (0，1)．又E (0，1)为A 、D 的中点，所以D (1，4)．故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210.
(2)由题设知：OC
→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－11
5
.
21．(本小题满分12分)已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA
→·AM →＝0，AM →＝－32MQ →.当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．
解析：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ
→＝(a －x ，－y )． ∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，∴a ＝13x ，b ＝－y 2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，
Q (x
3
，0)． PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y .∴PA →·AM →＝0，∴3x －34y 2＝0，即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．
22．(本小题满分10分)已知：a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a ·b .
(1)求f (x )的表达式；
(2)求函数f (x )的周期、值域、单调区间．
解析：(1)f (x )＝a ·b ＝(3，－1)·(sin x ，cos x )＝3sin x －cos x (x ∈R)．
(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12＝2⎝
⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －π6. ∴T min ＝2π
1
＝2π，值域为[－2，2]．
由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π得单调递增区间：⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z ；
由π2＋2k π≤x －π6≤32π＋2k π得单调递减区间：⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤2π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.。