高考数学 专题训练 圆锥曲线 椭圆 A 试题

椭圆?
1、椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>上的动点到焦点间隔 的最小值为12-。

以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切． 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕假设过点M 〔2，0〕的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，P 为椭圆上一点， 且满足
OP t OB OA =+〔O 为坐标原点〕。

当3
5
2||=AB 时，务实数t 的值． 解：〔Ⅰ〕由题意知12-=-c a ；又因为1b =
=，所以22a =，21b =． 故椭圆C 的方程为12
22
=+y x ．……………3分
〔Ⅱ〕设直线AB 的方程为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，
由22
(2),1.2
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=．……………5分 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212
k <
． 2122812k x x k +=+，212
28212k x x k -=+．又由3
5
2||=AB ，得， 35
2||1212=
-+x x k …………7分
可得．4
1
2=
k …………8分 又由OP t OB OA =+，得1212(,)(,)x x y y t x y ++=，那么2
1228(12)
x x k x t t k +==+，
1212214[()4](12)
y y k
y k x x k t t t k +-=
=+-=
+．……10分 故222222222
(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，即22216(12)k t k =+，得3
82
=t ，即36
2±
=t …………12分
2、在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.
〔Ⅰ〕求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；
〔Ⅱ〕点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点，E,F 是轨迹M 上的两个动点，假如直 线AE 的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=，试探究直线EF 的斜率是否是定值？假设是定值，求出这个定值，假设不是，说明理由. 解：〔Ⅰ〕依题意知直线11A N 的方程为：(2)2
m
y x =+ ①………2分 直线22A N 的方程为：(2)2
n
y x =-
- ②…………3分 设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22
(4)4
mn y x =--
由3mn = 整理得22
143
x y += ∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在
轨迹M 上……5分
∴轨迹M 的方程为22
143
x y +=〔2x ≠±〕…………………………6分
〔Ⅱ〕∵点(1,)A t (0t >)在轨迹M 上 ∴21143t +=解得3
2
t =，即点A 的坐标为
3
(1,)2
…………………7分 设AE
k k =，那么直线AE 方程为：3
(1)2
y k x =-+，代入22143x y +
=并整理得
2223
(34)4(32)4()1202
k x k k x k ++-+--=…………………………9分
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F , ∵点3
(1,)2
A 在轨迹M 上，
∴223
4()12
2x 34E k k --=+ ③, 3
2
E E
y kx k =+- ④………11分 又0AE AF k k +=得AF k k =-，将③、④式中的k 代换成k -，可得22
3
4()12
2x 34F k k
+-=+，3
2
F F y kx k =-++
∴直线EF 的斜率()2F E F E EF F E F E
y y k x x k
K x x x x --++=
=
--…………13分 ∵
222
8624,4343
E F F E k k x x x x k k -+=-=++
∴
2222286
2(86)2(43)1432424243
EF k k k
k k k k k K k k k --⋅+--+++===+
即直线EF 的斜率为定值，其值为1
2
…………………………15分
3、椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
的离心率为2，其左、右焦点为,21F F 、点P 是坐标
平面内一点，且123
||.4
OP PF PF =
⋅=其中O 为坐标原点。

〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕如图，过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-31,0S 的动直线l 交椭圆于B A 、两点，是否存在定点M ，使以AB 为
直径的圆恒过这个点？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．
解: 〔Ⅰ〕点(,)2a P b 代入22
221x y a b
+=得222214b a a b +=
⇒2e = ……4分
〔Ⅱ〕222
12111(,)(,)222242
a a a PF PF c
b
c b b c a ⋅=⇒---⋅--=⇒-+
=⇒=
故所求椭圆方程为2
212
x y += ……6分 〔Ⅱ〕假设存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点。

当AB x ⊥轴时，以AB 为直径的圆的方程为：12
2
=+y x ……………③ 当AB y ⊥轴时，以AB 为直径的圆的方程为：9
16
)3
1(2
2=
++y x …………④ 由③，④知定点M ()1,0 下证：以AB 为直径的圆恒过定点M ()1,0。

设直线1:3
l y kx =-，代入2212x y +=消去y 得22416
(21)039k x kx +--=． 设1122(,)(,)A x y B x y 、，那么1212
22416
,3(21)9(21)
k x x x x k k -+=
=++． ……8分 又
()()
1122,1,,1MA x y MB x y =-=-，
()()12121212441133MA MB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--⎛
⎫⎛⎫∴ ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭ ()()()()()21212222
416
139164416
1399213210
k x x k x x k k k k k =+-++
-=+-+++= ∴在x 轴上存在定点(0,1)M ,使以AB 为直径的圆恒过这个定点． …12分
4、如图，圆022:2
2
=--+y x y x G 经过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点F 及上
顶点B ．过椭圆外一点()(),0M m m a >倾斜角为π6
5
的直线l 交椭圆于C 、D 两点．〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕假设右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围．
解：〔1〕∵圆G ：0222
2=-
-+y x y x 经过点F 、B ．∴F 〔2，0〕，B 〔0，2〕， ∴2=c ，
2=b ．
∴62
=a ．故椭圆的方程为12
62
2=+y x ．……………5分
〔2〕设直线l 的方程为)6)((3
3
>--
=m m x y ． 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--==+)(331262
2m x y y x 消去y 得0)6(222
2=-+-m mx x ．
由△=0)6(842
2>--m m ，解得3232<<-m ．又6>
m ，326<<m ．
设),(11y x C ，),(22y x D ，那么m x x =+21，2
6
221-=m x x ，
∴3
)(331)](33[)](33[221212121m x x m x x m x m x y y ++-=--⋅--=． ∵),2(11y x FC -=，),2(22y x FD -=， ∴
FD
FC ⋅=
2121)2)(2(y y x x +--
43)(3)6(3422121+++-=m x x m x x =3
)
3(2-m m ． ∵点F 在圆G 的外部，∴0FC FD ⋅>，即
2(3)
03
m m ->，解得0m <或者3m >． 又326<<m ，
∴3m <<分
5、设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A
与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=． 〔1〕求椭圆C 的离心率；
〔2〕假设过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线l
：30x -=相切，求椭圆C 的方程； 〔3〕在〔2〕的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，假如存在，求出m
的取值范围，假如不存在，说明理由。

〔1〕解：设Q 〔x 0，0〕，由2F 〔c ，0〕，A 〔0，b 〕知),(),,(02b x AQ b c A F -=-=
c
b x b cx AQ A F 2
02
02,0,-==--∴⊥ ，
由于02221=+Q F F F 即1F 为2F Q 中点．
故c c c
b 22
-=+-22223c a c b -==∴，
故椭圆的离心率21
=
e 〔3 分〕 〔2〕由⑴知,21=a c 得a c 21=于是2F 〔21a ，0〕 Q )0,23
(a -，△AQF 的外接圆圆心为
〔-2
1
a ，0〕，
半径r=21|FQ|=a ，所以a a =--2
|
321
|，解得a =2，∴c =1，b=3，所求椭圆方程为13
422=+y x 〔6 分〕 〔3〕由〔Ⅱ〕知)0,1(2F l ：)1(-=x k y ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=134
)
1(2
2y x x k y 代入得
01248)43(2222=-+-+k x k x k
设),(11y x M ，),(22y x N 那么2
2
21438k
k x x +=+，)2(2121-+=+x x k y y ……〔8分〕
=-+-=+),(),(2211y m x y m x PN PM ),2(2121y y m x x +-+
由于菱形对角线垂直，那么⋅+)(PN PM 0=MN 故02)(2121=-+++m x x y y k 那么02)2(21212
=-++-+m x x x x k
2
k
)2438(22-+k k 0243822=-++m k
k 〔10分〕
由条件知0≠k 且R k ∈ 431432
2
2+=+=∴k k k m 41
0<<∴m 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是4
1
0<
<m ． 〔12 分〕 6、如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>
x 轴被曲线
2
2:C y x b =-截得的线段长等于C1的长半轴长。

〔Ⅰ〕求C1，C2的方程；
〔Ⅱ〕设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C2相交于 点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ．证明：MD ⊥ME; 解 ：〔Ⅰ〕由题意知
.1,2,2,2,23
======
b a a b b a a
c e 解得又从而
故C1，C2的方程分别为.
1,14222
-==+x y y x
〔Ⅱ〕由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，那么直线l 的方程为kx y =．
由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kx y 得012=--kx x ．
设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是
.1,2121-==+x x k x x
又点M 的坐标为〔0，—1〕，所以
2
121212
212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=
++=+⋅+=⋅
.
11
1
22-=-++-=
k k 故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．
7、椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，
它的一个顶点恰好是抛物线2
41x y =
的焦点，
〔Ⅰ〕求椭圆C 的HY 方程；
〔Ⅱ〕过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，假设12,,MA AF MB BF λλ== 12λλ+求证：为定值．
解：〔I 〕设椭圆C 的方程为)0(12
222>>=+b a b y a x ，因为抛物线2
41x y =的焦点坐标是(0,1)
所以由题意知b = 1．又有
= 2
5.a ∴=∴椭圆C 的
方程为.15
22
=+y x ………4分
〔II 〕方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 易知右焦点F 的坐标为〔2，0〕．
1110111,
(,)(2,).MA AF x y y x y λλ=∴-=-- 01111
1
2,.11y x y λλλ==++即……6分
将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(5121
021
1=+++λλλy 去分母整理得
.0551020121=-++y λλ……9分
222220,:10550.MB BF y λλλ=++-=同理由可得
22120,10550,x x y λλ∴++-=是方程的两个根 .1021-=+∴λλ …………12分
方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为〔2，0〕．
显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程是).2(-=x k y 将直线
l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得
.052020)51(2222=-+-+k x k x k ……8分
.51520,51202
2212221k k x x k k x x +-=+=+∴
又.2,2,,2
2
211121x x x x BF MB AF MA -=-=
==λλλλ将各点坐标代入得
.10)(242)(2222
1212
121221121-==++--+=-+-=
+∴ x x x x x x x x x x x x λλ……………………12分 8、 A 、B 为双曲线19
42
2=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA .
〔Ⅰ〕求证：
2
2
11+
为定值；〔Ⅱ〕动点P 在线段AB 上，满足0=⋅AB OP ，求证：
点P 在定圆上．
证：〔Ⅰ〕设点A 的坐标为)sin ,cos (θθr r ，B 的坐标为)sin ,cos (θθ''''r r ，
那么r =，
r ='，A 在双曲线上，那么19sin 4cos 222
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-θθr ． 所以
9sin 4cos 1222
θ
θ-=r
． ……5分 由0=⋅OB OA 得OB OA ⊥，所以θθ22sin cos ='，θθ'=2
2sin cos ．
同理，
9cos 4sin 9sin 4cos 122222
θθθθ-='-'='
r ，所以
365
9141'
11||||2
22
2
=-=+=
+
r r OB OA ．…10分
=，所以
=
=⎪⎭
⎫⨯．
即1365914111=⎪⎭⎫
⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯． 于是，5
362
=
OP ． 即P 在以O 为圆心、
5
5
6为半径的定圆上． ……15分
9．〔本小题满分是18分〕过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆
19
252
2=+y x 的切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ，联结.MN
〔1〕当点P 在直线l 上运动时，证明：直线MN 恒过定点Q ； 〔2〕当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN
证明：〔1〕设()00,y x P ．()11,y x M ．()22,y x N . 那么椭圆过点M ．N 的切线方程分别
为
192511=+y y x x ，19
2522=+y
y x x .…………〔3分〕 因为两切线都过点P ，那么有
19250101=+y y x x ，19
250202=+y
y x x . 这说明M ．N 均在直线
19
2500=+y y x x ①上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程.…………〔6分〕
〔1〕当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一实在数，相应的0y 为.107
5
00-=
x y 代入①消去0y 得
0163
7052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. ……〔9分〕变形可得01910635250=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫
⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.019
10,063525y y
x ，c 由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫
⎝⎛-109,1425Q .…〔12分〕 〔2〕当MN ∥l 时，由式②知.70
176370
552500--≠---x x 解得.53343750=
x 代入②，得此时MN 的方程为035
533
75=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得.01225
128068
7533255332=--x x ……〔15分〕
由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭
⎫
⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即 .142525
53327533
221=⨯--=+=x x x 代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q 的纵坐
标，即
.10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=
y 这就是说，点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……〔18分〕
.622
==a b 故所求椭圆方程为.16
92
2=+y x 〔II 〕〔方法1〕①当直线l 垂直于x 轴时，把x=1代入，得.)
1(2
222a a b y A
-=
整
理
得
.02)(22222222=-+++b a b my b y m b a ,22
222
2221222221m
b a b a b y y m b a m b y y +--=+-=+∴ ,||||||222CD OD OC <+恒有 COD ∠∴恒为钝角，
那么0)(),(21212211<+=⋅=⋅y y x x y x y x OD OC 恒成立
1)()1()1)(1(21212
21212121++++=+++=+∴y y m y y m y y my my y y x x
14、抛物线2
4x y =的焦点是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>一个顶点，椭圆C 3，
另有一圆O 22a b +〔1〕求椭圆C 和圆O 的方程；
〔2〕00(,)M x y 是圆O 上任意一点，过M 点作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公一共点，求
证：12l l ⊥.
解〔1〕由2
4x y =可得抛物线焦点坐标为〔0，1〕，由得1b =，又
22
22233,,24
c e a b c a =∴==+得2224,5a a b =+= ∴椭圆C 的方程为
2
214
x y +=，圆O 的方程为225x y += 〔2〕假设点M 的坐标为(2,1).(2,1),(2,1),(2,1)----，那么过这四点分别作满足条件的直线12,l l ，假设一条直线斜率为0,那么另一条斜率不存在，那么12l l ⊥
假设直线12,l l 斜率都存在，那么设过M 与椭圆只有一个公一共点的直线方程为
00(),y y k x x -=-
由0022
()14
y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22004[()]4x kx y kx ++-=
即222
0000(14)8()4()40k x k y kx x y kx +-+-⋅+--=
那么
2220000[8()]4(14)[4()4]0
k y kx k y kx ∆=--+--= 化简得
222
0000(4)210x k x y k y -++-=
又22005,x y +=222
0000(4)240x k x y k x ∴-++-=
设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公一共点，所以12,k k 满足
22
20
000
(4)240x k x y k x -++-= 2012122
4
1,4x k k l l x -∴⋅==-∴⊥- 15、如图,直线AB 与椭圆Γ：12
222=+b y a x 〔0>>b a 〕交于,A B 两点,与x 轴和y 轴分
别交于点P 和点Q ,点C 是点A 关于x 轴的对称点,直线BC 与x 轴交于点R ． 〔1〕假设点P 为〔6,0〕,点Q 为〔0,3〕,点A ,B 恰好是线段QP 的两个三等分点． ①求椭圆的方程；②过坐标原点O 引ABC ∆外接圆的切线,求切线长； 〔2〕当椭圆Γ给定时,试探究OP OR ⋅是否为定值？ 假设是,恳求出此定值；假设不是,请说明理由．
解: 〔1〕①设点()
,A x y ，由题意知3QP QA =，
那么有
()()6,33,3x y -=-,
解得2,2x y ==,即
()
2,2A ,又点B 为A 、P 中点，可得点
()
4,1B ………………1分
22
2244
11611a b a b ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得：22
20,5a b ==，∴椭圆的方程为2
21205x y +=…………3分
②由点
()
2,2A ，
()
4,1B 可求得线段AB 的中垂线方程为
9
22y x =-
，令0y =，得
94x =
．
设
ABC
∆外接圆的圆心为
M
,半径为
r
,可知
9,04M ⎛⎫
⎪⎝⎭,
r AM ===
4分
∴
切线长为
1==………………9分 〔2〕设点
()
00,B x y ，
()
11,A x y ，那么
()
11,C x y -．所以直线BC 的方程为
()
010001y y y y x x x x +-=
--，令0y =，得
011001x y x y
x y y +=+，即点100101,0x y x y R y y ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理100101,0x y x y P y y ⎛⎫- ⎪
-⎝
⎭………………………13分 2222100110011001
2
2
010101x y x y x y x y x y x y OP OR y y y y y y -+-⋅=⋅
=-+-,
又
2
200222
211221(1)1(2)x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，21(1)y ⨯得0222212
01122y y x y y a b +=，20(2)y ⨯得
12222
0210022y y x y y a b +=，
两式相减得2222221001012x y x y y y a -=-,即2222210012201x y x y a y y -=-,∴当椭圆Γ给定时,OP OR
⋅为定值2
a …16分
16、椭圆22
149x y +=上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且
2PM MQ =，点M 的轨迹为C ．〔Ⅰ〕求曲线C 的方程；
〔Ⅱ〕过点D 〔0，－2〕作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点4
(0,)17
-
且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+〔O 为原点〕，问是否存在这样的直线l ， 使得四边形OANB 为矩形？假设存在，求出直线的方程；假设不存在说明理由
因为OB OA ON +=，所以四边形OANB 为平行四边形，假设存在矩形OANB ，那么
0=⋅OB OA
即04)(2)1(4)(22121221212212121=++-+=++-+=+x x k x x k x x k x x k x x y y x x ， 所以2,4,04411624112)1(22
22±===++⋅-+⋅
+k k k
k
k k k 即， …………10分 设N 〔x 0，y 0〕，由OB OA ON +=，得
174
414441164)(2
2221210-=+-=-+=-+=+=k
k k x x k y y y ，即N 点在直线174-=y ， 所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22-±=x y
17、以原点O 为中心，）为右焦点的双曲线C 的离心率e=
Ⅰ．求双曲线C 的HY 方程及其渐近线方程；
Ⅱ．如图，过点()11,M x y 的直线：11144l x y y +=：x 与过点()22,N x y 21(≠其中x x ）的
直线
22244l x x y y +=：的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H
两点，求OGH ∆的面积。

解：〔1〕设C 的HY 方程为()22221,0x y a b a b
-=>
在由题意
2
c
c e
a
===，
因此2,1
a b
====，那么曲线C的HY方程为
2
21
4
x
y
-=，
曲线C的渐近线方程为
1
2
y x
=±。

〔2〕解法一：由题意点()
,
E E
x y在直线
111222
:44:44
l x x y y l x x y y
+=+=
和，因此有1122
44,44,
E E E E
x x y y x x y y
+=+=故点M,N均在直线44,
E E
xx yy
+=上，因此直线MN的
方程为44,
E E
x x y y
+=，设G,H分别是直线MN与渐近线2020
x y x y
-=+=
及的交点，由方程组
4444
2020
E E E E
x x y y x x y y
x y x y
+=+=
⎧⎧
⎨⎨
-=+=
⎩⎩
及解得
22
,
22
G H
E E E E
y y
x y x y
==-
+-
，设
MN与x轴的交点为Q,那么在直线44,
E E
x x y y
+=中令0
y=，得
4
Q
E
x
x
=〔易得0
E
x≠〕，注意到22
44
E E
x y
-=，得
2
|
2
1
2
1
|
1
|
|.|
|
2
1
=
-
+
+
=
-
=
E
E
E
E
E
H
G y
x
y
x
x
y
y
OQ
S
解法二：设()
,
E E
x y，由方程组11
22
44
44
x x y y
x x y y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
得
()
2112
12211221
4
,
E E
y y x x
x y
x y x y x y x y
--
==
--
，
因为
21
x x
≠，那么直线MN的斜率21
21
4
E
E
y y x
K
x x y
-
==-
-
，故直线MN的方程为
()
11
4
E
E
x
y y x x
y
-=--
注意到
11
44,
E E
x x y y
+=因此直线MN的方程为44,
E E
x x y y
+=下同解法一，
18、直线l与椭圆
22
22
1(0)
y x
a b
a b
+=>>交于
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y 两点，m)
,
(
1
1
by
ax
=，n)
,
(
2
2
by
ax
=，假设m n
⊥
且椭圆的离心率
2
e=
，又椭圆经过点，O为坐标
原点．〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕假设直线l 过椭圆的焦点(0,)F c 〔c 为半焦距〕，求直线l 的斜率k 的值；
〔3〕试问：AOB ∆的面积是否为定值？假如是，请给予证明；假如不是，请说明理由.
解：〔1〕
∵22
1314c e a a b ⎧===⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩ ∴2,1a b == ∴椭圆的方程为2
214y x +=
……3分 〔
2
〕
依
题
意
，
设
l
的方程
为
y kx =+，由
222
2
(4)1014y kx k x y x ⎧=⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩
……4分 显然0∆>
,1212
221
,44
x x x x k k --+=
=++……5分 由=⋅n m 0得：
22121212124(a x x b y y x x kx kx +=+
21212(4)()3k x x x x =+++
221(k 4)()30k 4=+-
+=+,
解得k =……………7分 〔3〕①当直线AB 斜率不存在时，即2121,x x y y ==-，由=⋅n m 0，得
22221111404x y y x -=⇒=
又11(,)A x y 在椭圆上，所以
22
11
1141|||4x x x y +=⇒==1121111
||||||2||122
S x y y x y =
-== ,三角形的面积为定值．………9分 ②当直线
AB 斜率存在时：设AB 的方程为y kx t =+，
222
22
(4)24014
y kx t k x ktx t y x =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩
必须
0∆> 即222244(4)(4)0k t k t -+->，得到12224
kt x x k -+=
+，
212244
t x x k -=+ …………11分
∵n m ⊥，∴12121212404()()0x x y y x x kx t kx t +=⇔+++=代入整理得：
2224t k -=…10分
1
|||2
S AB t =
=
1=== 所以三角形的面积为定值． ……12分 19、椭圆1C 的中心在原点，过点)3,0(，且右焦点2F 与圆4
1
)1(222=+-y x C ：
的圆心重合．
〔1〕求椭圆C 1的方程；
〔2〕过点2F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，问是否存在这样的直线l ，使得以MN 为直径的圆过椭圆的左焦点1F 假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由；
解：〔1〕依题意得2F 〔1，0〕，所以c =1，又过点)3,0(，所以b =3
因此42
2
2
=+=c b a ． 故所求的椭圆1C 的方程为：13
42
2=+y x 〔5分〕 〔2〕由〔1〕知1F 〔-1，0〕. 以MN 为直径的圆过1F ⇔11F M F N ⋅=0 ① 假设直线l 的斜率不存在。

易知N 〔1,
23〕，M 〔1,2
3
-〕 11F N F M ⋅=339
(2,)(2,-40224
⋅=-≠） 不合题意〔7分〕
②假设直线l 的斜率k 存在，可设直线为y=k 〔x-1〕 ，),11y x M （ ，),22y x N （
11F M F N ⋅=111,)x y +⋅（221,)y +（x =
2121)1)(1y y x x +++（ =)1(121212
2121+--++++x x x x k x x x x =2
212
212
1))(1()1(k x x k x x k +++-++
)(*〔9分〕
联立⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)1(13
42
2x k y y x 消去y 得： 01248)43(2
222=-+-+k x k x k ∴ 2221438k k x x +=+ 2
2214312
4k
k x x +-= 代入)(*〔11分〕 得： 11FM F N ⋅=2
24397k k +- 由11
FM F N 0⋅=得：773±=k (13分) 20、椭圆:C )0(12222>>=+b a b x a y 经过点)3,2
1
(，一个焦点是)3,0(-F ．〔Ⅰ〕求椭圆C
的方程；
〔Ⅱ〕设椭圆C 与y 轴的两个交点为1A 、2A ，点P 在直线2a y =上，直线1PA 、2PA 分别与椭圆C 交于M 、N 两点．试问：当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 是否恒经过定点Q ？证明你的结论．
〔I 〕方法1：椭圆的一个焦点是)3,0(F ' ，
〔II 〕当点P 在y 轴上时，M 、N 分别与1A 、2A 重合，
假设直线MN 通过定点Q ，那么Q 必在y 轴上，设),0(m Q ，………………〔6分〕
当点P 不在y 轴上时，设)4,(t P ，)2,0(1A 、)2,0(2-A ，),(11y x M ，),(22y x N 直线1PA 方程22+=
x t y ，2PA 方程26
-=x t
y ， 22
+=x t
y 代入1422=+x y 得02)1(22=++tx x t ， 解得2
112t t
x +-=，221112222t t x t y +-=+=，
∴)12)2(,12(2
22t m
t m t t QM +---+-=， ………〔9分〕
26
-=x t y 代入
1422=+x y 得06)9(22=-+tx x t 解得2
296t t x +=，
2
2
22921826t t x t y +-=
-=， ∴)9)2(918,96(2
2
2t t m m t t QN ++--+=， ……〔11分〕
∵//QM QN ，∴0)12)2()(96()9)2(918)(12(2
22222=+---+-++--+-t
m t m t t
t t m m t t ， ∴0)3)(1(2=+-t m ，1=m ，∴当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 恒经过定点
)1,0(Q ．……〔15分〕
21、设椭圆E: 22
221x y a b
+=〔a,b>0〕过M 〔2
〕 ，
,1)两点，O 为坐标原点，
〔I 〕求椭圆E 的方程；
〔II 〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥假设存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，假设不存在说明理由。

解:〔1〕因为椭圆E: 22
221x y a b +=〔a,b>0〕过M 〔2
〕 ，
,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
11
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += 〔2〕假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪⎨⎪⎩得22
2()8x kx m ++=,
即
222(12)4280
k x kmx m +++-=,那么△
=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即
22
840k m -+>，1222
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
, 2222222
2
2
1212121222
2
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222
22
28801212m m k k k
--+=++,所以223880m k --=,所以22
3808m k -=≥又22840k m -+>,所以22
238
m m ⎧>⎨≥⎩,所以2
83m ≥,
即m ≥
或者m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为r =222
228381318
m m r m k ===-++
,r =,所求的圆为22
83x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满
足m ≥
或
者m ≤,而当切线的斜率不存在时切线
为x =与椭圆22184x y +=
的两个交点为
或者(满足
OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒
有两个交点A,B,且OA OB ⊥.
因为122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
, 所以2222
2
21212122222
4288(84)()()4()41212(12)
km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,
||
AB===
==,
①当0
k≠
时||
AB=因为2
2
1
448
k
k
++≥所以
2
2
11
18
44
k
k
<≤
++
,
所以
2
2
32321
[1]12
1
3344
k
k
<+≤
++
,
所以||
AB
<
≤当且仅当k=时取〞=〞.
②当0
k=
时,||
AB=.
③当AB的斜率不存在时
,
两个交点为
或者(,
所以此时||
AB=
综上, |AB |
||
AB
≤≤即
: ||
AB∈
22、图，圆:
G222
(2)
x y r
-+=是椭圆
2
21
16
x
y
+=的内接△ABC的内切圆, 其中A为椭圆的左顶点.
〔1〕求圆G的半径r;〔2〕过点(0,1)
M作圆G的两条切线交椭圆于E F
，两点，
证明：直线EF与圆G相切．
解: 〔1〕设B
2,r y
+
（），过圆心G作GD AB
⊥于D,BC交长轴于H
由
GD HB
AD AH
=
6
y
r
=
+
,即
y=
而点B 02,r y +（）
在椭圆上,222
0(2)124(2)(6)
1161616
r r r r r y +---+=-==- (2) 由(1)、 (2)式得2
158120r r +-=,解得2
3
r =或者65r =-〔舍去〕
(2) 设过点M(0,1)与圆2
2
4
(2)9
x y -+=
相切的直线方程为:1y kx -= (3)
那么232
323650k k ++= (4)
解得12k k ==
将(3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,那么异于零的解为2
32161
k
x k =-+ 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，那么12
1222
123232,161161
k k x x k k =-
=-++ 那么直线FE 的斜率为：221112*********
EF k x k x k k k x x k k -+=
==--
于是直线FE 的方程为:2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++ 即37
43y x =-
那么圆心(2,0)到直线FE 的间隔
23d 故结论成立.
23．椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 一共线．〔1〕求椭圆的离心率；
〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且OB OA OM μλ+=〔R ∈μλ,〕，证明2
2
μλ+为定值．
解：〔1〕设椭圆方程为12222=+b y a x 〔0>>b a 〕，)0,(c F ，
那么直线AB 的方程为c x y -=． 代入12222=+b y a x ，化简得02)(2
2222222=-+-+b a c a cx a x b a ，
设),(11y x A ，),(22y x B ，那么222212b a c a x x +=+，2
22
22221b
a b a c a x x +-=． 由),(2121y y x x OB OA ++=+，)1,3(-=a ，OB OA +与a 一共线，得
0)()(32121=+++x x y y ，
又c x y -=11，c x y -=22，所以0)()2(32121=++-+x x c x x ，
所以2
321c x x =+，即232222c b a c a =+，所以2
23b
a =，所以3622a
b a
c =-=，故离心率3
6
==
a c e ． 〔2〕由〔1〕知2
2
3b a =，所以椭圆12222=+b
y a x 可化为2
2233b y x =+．
设),(y x OM =，由得),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，所以⎩⎨
⎧+=+=2
12
1y y y x x x μλμλ，
因为),(y x M 在椭圆上，所以2
2
212
213)(3)(b y y x x =+++μλμλ， 即2
21212
22
22
2
12
12
3)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ．①
由〔1〕知2
321c x x =+，2223c a =，22
21c b =，所以22
222222183c b a b a c a x x =+-=． 所
以
2
2121212121213)(34))((33c c x x x x c x c x x x y y x x ++-=--+=+032
92322
2=+-=
c c c ． 又2
2
12
133b y x =+，2
2
22
233b y x =+，代入①得12
2
=+μλ．故2
2
μλ+为定值，定值为1．
24、椭圆C ：2
212
x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，⊙M 是以2PF 为直径的圆. 〔Ⅰ〕当⊙M 的面积为
8
π
时，求PA 所在直线的方程； 〔Ⅱ〕当⊙M 与直线1AF 相切时，求⊙M 的方程； 〔Ⅲ〕求证：⊙M 总与某个定圆相切.
解：〔Ⅰ〕易得())1,0(),0,1(,0,121--A F F ，设点P ()11,y x ，
那么2
12
12
12
12
12
2)2(2
121)1()1(-=-+-=+-=x x x y x PF ，
所以122
2
2x PF -
=
又⊙M 的面积为
8π，∴2
1)2(8
8-=x ππ，解得11=x ，∴)22,1()22,1(-或P ， ∴PA 所在直线方程为1)221(-+
=x y 或者1)2
2
1(--=x y 〔Ⅱ〕因为直线1AF 的方程为01=++y x ，且)2
,21(
1
1y x M +到直线1AF 的 间隔 为11
142222
|
1221|
x y x -=+++ 化简，得1121x y --=，联立方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=1
2
2121211
1y x x y ，解得01=x 或者981-=x ∴当01=x 时，可得)21,21(-M ，∴⊙M 的方程为21
)21()21(2
2=
++-y x ；
当98
1-=x 时，可得17(,)1818M ，∴⊙M 的方程为2217169()()1818162
x y -+-=
〔Ⅲ〕⊙M 始终和以原点为圆心，半径为=
1r 2〔长半轴〕的圆〔记作⊙O 〕相切
证明：因为=
++=4
4)1(2
1
21y x OM 12
1214
2
228414)1(x x x +=-++， 又⊙M 的半径=2r =
2MF 14
2
22x -，∴21r r OM -=，∴⊙M 和⊙O 相内切 25．椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点间隔 的最大值为3，
最小值为1．
〔1〕求椭圆C 的HY 方程；
〔2〕假设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于B A ,两点〔B A ,不是左右顶点〕，且以AB 为
直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
解：〔1〕由题意设椭圆的HY 方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，由得：31a c a c +=-=，，
31
,22
22=-=∴==∴c a b c a ∴椭圆的HY 方程为22
143x y +=-------4分
〔2〕设
1122()()
A x y
B x y ，，，联立2
2
14
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，那么----5分
222222122
21226416(34)(3)03408344(3)34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=-+->+->⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩，即，-----8分
又222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+
因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，
1AD BD k k ∴=-，即
12
12122
y y x x =---1212122()40y y x x x x ∴+-++=
222222
3(4)4(3)164034334m k m mk k k k
--∴+++=+++2271640m mk k ∴++=- 解得：12227
k
m k m =-=-
，，且均满足22340k m +->------9分 当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与矛盾；
当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以，直线l 过定点，定点坐标为2
07
⎛⎫
⎪
⎝⎭，------12分
27、椭圆12
2,13
4:F y x C =+为其左焦点，A 为右顶点，l 为左准线，过F 1的直线l ′与椭圆交于异于A 的P 、Q 两点.〔1〕求AQ AP ⋅的取值范围；
〔2〕假设,,N l AQ M l AP == 求证：M 、N 两点的纵坐标之积为定值－9 解：〔1〕当直线PQ 的斜率不存在时，
PQ 方程为13
4:,12
2=+-=y x C x 代入椭圆得 ]427,0(,),427,0(432743274)(2)2)(2(439)1()1)(1(4312
4,428),,(),,(0
1248)43(13
4:)0)(1(,427
)23,3(),23,3()23,1(),23,1(2
2
221212121212221212
212212
2212221221122222
2的取值范围是综上得设得代入椭圆方程为设的斜率存在时当直线AQ AP k k
k y y x x x x y y x x AQ AP k k x x x x k x x k y y k k x x k k x x y x Q y x P k x k x k y x C k x k y PQ PQ AQ AP AQ AP Q P ⋅∈+=+=+++-=+--=⋅∴+=
+++=++=∴+-=
+-=+=-+++=+≠+==
⋅∴--=-=∴---
〔2〕AP 的方程为)2
6,4(4:)2(211
11----=--=
x y M x l x x y y 联立得的方程与 9
443164312443324,14
)(2362626)26,
4(,2
2
2222
212121221122-=++++-+-=︒++-=--⋅--=∴---k
k k k k k y y k x x x x y y x y x y y y x y N N M N M 存在时当得同理
9
,94
)11(2)1()1()
23
(2336,2-∴-=+----⋅--⋅⋅=︒值两点的纵坐标之积为定不存在时当N M y y k N M
28、 设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为4,点M 〔2
〕在椭圆上。

〔1〕求椭圆E 的方程；
〔2〕设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求△OAB 的面积的取值范围。

解:〔1〕因为椭圆E: 22
221x y a b +=〔a>b>0〕过M 〔2
〕 ，2b=4
故可求得b=2,
椭圆E 的方程为22
184x y +=
………2分
〔2〕设P 〔x,y 〕,A 〔x1,y1〕,B 〔x2,y2〕，当直线L 斜率存在时设方程为y kx m =+，
解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222
(12)4280k x kmx m +++-=,
那么△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>〔*〕
1222
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
2222222
2
21212121222
2
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222
22
28801212m m k k k
--+=++,所以223880m k --=, 即22
88
3
k m += ①………7分
将它代入〔*〕式可得2
[0,)k ∈+∞，P 到L 的间隔
为d =
，又
121|||2S AB d x x ∴==-=
将
22
883k m +=
及韦达定理代入可得S =分 当0k ≠
时S ==由2
2
1
4[4,)k k +
∈+∞
故8(,3S =……………12分 当0k =时, 83S =
当AB 的斜率不存在时, 83S = ,综上
S 8
,3
⎡∈⎢⎣ (13)
分
29、定圆,16)3(:22=++
y x A 圆心为A ，动圆M 过点)0,3(B ，且和圆A 相切，动圆
的圆心M 的轨迹记为C ．〔Ⅰ〕求曲线C 的方程；
〔Ⅱ〕〔理〕假设点),(00y x P 为曲线C 上一点，探究直线044:00=-+y y x x l 与曲线C 是否存在交点? 假设存在那么求出交点坐标, 假设不存在请说明理由． 解：〔Ⅰ〕 圆A 的圆心为4),0,3(1=-r A 半径，…………… 1 分 设动圆M 的圆心为.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为 ………… 2分
由|AB|=32，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA|=r 1-r 2，即|MA|+|MB|=4，………
4分
所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，
由.1,4,322,422
2
====b a c a 可得故曲线C 的方程为.14
22
=+y x ……………… 6分
〔Ⅱ〕当2,14
,002
0200±==+=x y x y 可得由时，
)..
0,2(,2,0,2000有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ===
).
0,2(,2,0,2000--==-=有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当C l x l y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=≠.14
,44:,44,022000
00y x y x x y y x x y l y 联立方程组的方程为直线时当 ………………8分 消去.016168)4(,2
0022020=-+-+y x x x x y y 得 ① …………… 10分
由点),(00y x P 为曲线C 上一点，.44.14
2
020202
0=+=+x y y x 可得得
于是方程①可以化简为.022
002=+-x x x x 解得0x x =， …………… 12分
),,(,440000
00y x P C l y y y x
x y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-=
=……13分
综上，直线l 与曲线C 存在唯一的一个交点，交点为),(00y x P ． …………… 14分 30、设F 1、F 2分别为椭圆C:x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点.
(1) 假设椭圆C 上的点A(1,3
2)到F 1、F 2两点的间隔 之和等于4，写出椭圆C 的方程；
(2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程；
(3)椭圆具有性质：假设M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为K PM 、K PN 时，那么K PM ·K PN 是与点P 位置无关的定值. 试对双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
解：(1)由题意得:2a ＝4,a ＝2 那么椭圆的方程为x 2
4＋y
2
b
2＝1
∵ 点A(1,32)在椭圆C 上,∴ 14＋94b 2＝1 ∴ b 2
＝3 所求椭圆方程为x 2
4＋y 2
3＝1
(2)由(1)知椭圆C 的左焦点为F 1(－1,0) 设F 1K 的重点为M(x,y)，那么K 点的坐标为K(2x ＋1,2y)
∵ K 点在椭圆C 上，∴ (2x ＋1)2
4＋(2y)2
3＝1 即线段F 1K 的中点轨迹方程为(x ＋12)2＋4y
2
3
＝
1
(3)假设M 、N 是双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1上关于原点对称的两个点，P 是双曲线上任意一点，那么
当直线PM 、PN 的斜率K PM 、K PN 都存在时，K PM ·K PN 是与点P 位置无关的定值，其证明如下： 设M(x 1,y 1),那么N(－x 1,－y 1),设P(x,y) 那么K PM ·K PN ＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2
－y 1
2
x 2－x 12 …………
(*)
由M 、P 都在双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1上得 y 2＝b 2
a 2 x 2－
b 2,y 12＝b 2
a 2 x 12－
b 2
,
将它们代入(*),可得K PM ·K PN ＝ b
2
a
2 为定值 故原结论成立
31、椭圆2
2
14
y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离
P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． 〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明:121x x ⋅=； 〔3〕设TAB ∆与POB ∆〔其中O 为坐标原点〕的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ⋅≤，
求22
12S S -的取值范围．
〔1〕解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．设双曲线C 的方程为2
2
21y x b
-=()0b >，
因为双曲线的离心率为
，所以
=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2
2
14
y x -=．……3分
〔2〕证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕，直线AP 的斜率为k 〔0k >〕，
那么直线AP 的方程为(1)y k x =+，联立方程组()22
1,
1.4
y k x y x ⎧=+⎪
⎨+
=⎪⎩………………5分
整理，得()2
2
2
2
4240k x k x k +++-=，解得1x =-或者2
2
44k x k -=+．所以
2
22
44k x k -=+．…… 6分
同理可得，2
12
44k x k
+=-．所以121x x ⋅=．……… 8分 证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕，那么1
11
AP y k x =
+，2
21
AT y k x =
+．… 4分 因为AP
AT k k =，所以121211y y x x =++，即()()
22
1222
1211y y x x =++．……… 5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以22
11
14
y x -
=，22
2214y x +=． 即()
221141y x =-，()
222241y x =-．所以()
()
()
()
22122
2
12414111x x x x --=
++，即
12
121111
x x x x --=++．所以121x x ⋅=．
证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为1
1(1)1
y y x x =
++，联立方程组()112
21,11.4
y y x x y x ⎧=+⎪+⎪
⎨⎪+=⎪⎩……5分 整理，得222222
1
11114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或者22
1122
11
4(1)4(1)x y x x y +-=++．…… 6分 将2
21
1
44y x =-代入22
1122
114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即2
11x x =．所以121x x ⋅=．… 8分。