【数学】甘肃省兰州2017届高三9月月考数学理试题Word版含答案

【关键字】数学
甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

）
1.设集合A={x|x>a},集合B={-1,1,2},若A∩B=B,则实数a的取值范围是
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(-1,+∞)
D.(-∞,-1)
2.已知复数为纯虚数，那么实数
（A）（B）（C）（D）
3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
4. 已知等差数列前9项的和为27,,则（）
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
5. 设函数,( )
A．3 B．6 C．9 D．12
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（）
A．B．C．D．
7. 已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A、2
B、
C、6
D、
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为3，则输出的的值是（）
A．1 B．2 C．4 D．7
9. 甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为（）A．B．C．D．
10. 函数的图象大致为（）
11. 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是
（）
A．B．C．D．
12. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
14. 若，满足则的最大值为
15. 在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）
16. 若等比数列的各项均为正数，且，则 .
三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.已知函数．
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求在区间上的最小值．
18．2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取后和后作为调查对象,随机调查了位,得到数据如下表：
（Ⅰ）以这个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市后公民中随机抽取位,记其中生二胎的人数为,求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据,是否有以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由：
参照数据：
（参照公式：,其中）
19. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA∥平面EDB；
(2)证明PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C－PB－D的大小.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
21.已知函数f(x)＝lnx －，g(x)＝f(x)＋ax －6lnx ，其中a ∈R. (Ⅰ)当a ＝1时，判断f(x)的单调性；
(Ⅱ)若g (x )在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； 22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》 已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点,直线DE 为圆O 的切线, AC∥DE ,AC 与BD 相交于H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC ;
(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH 的长.
23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》 已
知直线l 的参数方程为2
32
x t y t =⎧
⎪
⎨=
+⎪⎩ (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－
π
4
)． (1)求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设点2
(0,
)2
P ,求PA PB +. （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-
（Ⅰ）若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若0x ∃∈R ，使得2
00()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取值范围．
甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题答案
第I 卷 （选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

）
1. D
2.C
3.A
4. C
5.C
6.D
7.C
8.C
9.B 10.D 11.B 12.A 第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.2- 14. 2 15. 60 16. 50
三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.已知函数2()cos 222
x x x f x =．
(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．
【答案】（1）2π，（2）1-- (Ⅰ)
2
1
1cos ()sin
cos
sin sin 2
2
2
2
2
x
x
x
x
f x x -=-
=⋅
-⋅
=
sin cos x x =
+-sin()4x π=+-………6分 (1)()f x 的最小正周期为221
T π
π=
=； (2)
30,444x x ππππ-≤≤∴-
≤+≤，当3,424x x πππ
+=-=-时，
()f x 取得最小值为：1--
………12分 18．2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,得到数据如下表：
（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）根据调查数据,是否有 0090以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由： 参考数据：
（参考公式：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b a d a c b d -=
++++,其中n a b c d =+++）
19. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面
ABCD ， PD ＝DC .E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
(1)证明PA ∥平面EDB ； (2)证明PB ⊥平面EFD ； (3)求二面角C －PB －D 的大小. (1)证明 如图所示，
连接AC ，AC 交BD 于O ，连接EO . ∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点.
………6分
……12分
在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA ∥EO .
而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，
∴PA ∥平面EDB . ………4分 (2)证明 ∵PD ⊥底面ABCD ，且DC ⊂底面ABCD ， ∴PD ⊥DC .∵PD ＝DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形. 而DE 是斜边PC 的中线，∴DE ⊥PC .① 同样，由PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 得PD ⊥BC .
∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC .又PD ∩CD ＝D ， ∴BC ⊥平面PDC .
而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE .②
由①和②且PC ∩BC ＝C 可推得DE ⊥平面PBC . 而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB . 又EF ⊥PB 且DE ∩EF ＝E ，
∴PB ⊥平面EFD . ………8分 (3)解 由(2)知，PB ⊥DF .
故∠EFD 是二面角C －PB －D 的平面角. 由(2)知DE ⊥EF ，PD ⊥DB . 设正方形ABCD 的边长为a ， 则PD ＝DC ＝a ，BD ＝2a ，
PB ＝PD 2＋BD 2＝3a ， PC ＝PD 2＋DC 2＝2a ， DE ＝12
PC ＝
22
a ， 在Rt △PDB 中，DF ＝
PD ·BD PB ＝a ·2a 3a
＝6
3a . 在Rt △EFD 中，sin ∠EFD ＝
DE DF ＝3
2
， ∴∠EFD ＝60°.
∴二面角C －PB －D 的大小为60°. ………12分
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得0=⋅OB OA 成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.
解析：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b
+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意1
2c e a ==，
由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．
所以椭圆C 的标准方程是22
143
x y +=．………4分 （2）解：存在直线l ，使得0=⋅OB OA 成立.理由如下：
由22,
1,4
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．
222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．
设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km
x x k +=-+，2122
41234m x x k
-=+． 若0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，
2
2
1212(1)()0k x x km x x m ++++=，22
2
22
4128(1)03434m km k km m k k
-+⋅-⋅+=++, 化简得，22
71212m k =+．将22
7112
k m =
-代入2234k m +>中，22734(
1)12m m +->，解得，23
4
m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，
从而2
127m ≥
，m ≥
m ≤ 所以实数m
的取值范围是2
(,[21,)7
-∞+∞． …12分 21.已知函数f (x )＝ln x －a
x
，g (x )＝f (x )＋ax －6ln x ，其中a ∈R. (1)当a ＝1时，判断f (x )的单调性；
(2)若g (x )在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；
解：(1)由f (x )＝ln x －a x ，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋a
x 2
， 当a ＝1时，f ′(x )＝
x ＋1
x 2
>0(x >0)，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．………5分 (2)由已知得，g(x)＝ax －a x
－5lnx ，其定义域为(0，＋∞)，
g ′(x )＝a ＋a x 2－5x ＝ax 2－5x ＋a
x 2
.
因为g (x )在其定义域内为增函数，所以∀x ∈(0，＋∞)，
g ′(x )≥0，即ax 2－5x ＋a ≥0，即a ≥
5x
x 2
＋1
. 而
5x x 2
＋1＝5x ＋
1x
≤5
2
，当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以a ≥5
2
. ………12分
22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》 已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点,直线DE 为圆O 的切线, AC∥DE ,AC 与BD 相交于H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC ;
(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH 的长.
22.解: 证明:(1)∵AC ∥DE,∴∠CDE=∠DCA,又∵∠DBA=∠DCA,∴∠CDE=∠DBA
∵直线DE 为圆O 的切线,∴∠CDE=∠DBC
故∠DBA=∠DBC,即BD 平分∠ABC …………………………………5分 (2)∵∠CAB=∠CDB,且∠DBA=∠DBC,∴∆ABH ∽∆DBC,∴AH CD =AB
BD
又∠EDC=∠DAC=∠DCA,∴AD=DC ……………………………8分 ∴AH AD =AB
BD , ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 ……………………………10分 23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》
已知直线l 的参数方程为2
32
x t y t =⎧⎪
⎨=
+⎪⎩ (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ
－π
4
)．
(1)求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设点P ,求PA PB +. 解 (1)直线l 倾斜角为
3
π
……………2分 曲线C 的直角坐标方程为(x －
22)2＋(y －22
)2
＝1……………5分
(2)容易判断点(0,
2
P 在直线l 上且在圆C 内部，所以PA PB AB +=……………6分 直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2
2
……………8分 所以圆心(
22，22)到直线l 的距离d ＝64
.所以|AB |＝10
2
，即
2
PA PB +=
……………10分 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-
（1）若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，若0x ∃∈R ，使得2
00()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取值范围．
解：（Ⅰ）∵||2x a -≤，∴22a x a -≤≤+,
∵()2f x ≤的解集为[0,4]，∴ 2024a a -=⎧⎨+=⎩
，∴2a =．………5分
（Ⅱ）∵()(5)|2||3||(2)(3)|5f x f x x x x x ++=-++≥--+=,
∵0x ∃∈R ，使得200()(5)4f x f x m m ++-<，即2
00()(5)4f x f x m m ++<+成立，
∴2min 4()m m f x +>，即2
45m m +>，解得5m <-，或1m >,
∴实数m 的取值范围是(,5)(1,)-∞-+∞．………10分
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