新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第一册 - 倾斜角与斜率 学案

2．1直线的倾斜角与斜率
2．1.1倾斜角与斜率
内容标准学科素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念．
3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
4.掌握倾斜角与斜率的对应关系. 数学抽象直观想象逻辑推理数学运算
授课提示：对应学生用书第31页
[教材提炼]
知识点一直线的倾斜角
预习教材，思考问题
如图，在平面直角坐标系中，过一点P(2,2)可以作出多少条直线？这些直线区别在哪里呢？如何表示这些直线的方向呢？
[提示]无数条．区别是它们的方向不同．这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同．因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．知识梳理
定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角
规定 当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线l 的倾斜角为0°
记法 α
图示
范围
0°≤α＜180°
作用
(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可
知识点二 直线的斜率 预习教材，思考问题
我们知道：两点确定一条直线，进而它的倾斜角也就确定了，那么任给直线l 上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)，直线l 的倾斜角α与P 1，P 2两点的坐标有什么样的内在联系呢？请用向量法探究下列问题：
(1)已知直线l 经过O (0,0)，P (1,1)，α与O ，P 的坐标有什么关系？ [提示] 如图，OP →
＝(1,1)，由正切函数的定义，得tan α＝1.
(2)类似地，如果直线l 经过P 1(1,0)，P 2(－1,2)，α与P 1，P 2的坐标有什么关系？ [提示] 如图，P 1P 2→＝(－2,2)，平移P 1P 2→到OP →
，则点P 的坐标为(－2,2)，且直线OP 的倾斜角也是α.由正切函数的定义，有tan α＝2
－2
＝－1.
(3)一般地，如果直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，x 1≠x 2，那么α与P 1，P 2的坐
标有怎样的关系？
[提示] 如图，当向量P 1P 2→的方向向上时，P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．平移P 1P 2→到OP →
，则点P 的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)，且直线OP 的倾斜角也是α.由正切函数的定义，有tan α＝y 2－y 1
x 2－x 1
.
当向量P 2P 1→的方向向上时，P 2P 1→＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．平移P 2P 1→到OP →
，则点P 的坐标为(x 1
－x 2，y 1－y 2)，且直线OP 的倾斜角也是α.如图，由正切函数的定义，也有tan α＝y 1－y 2
x 1－x 2＝
y 2－y 1x 2－x 1
.
知识梳理 (1)直线l 的倾斜角α与直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的坐标有如下关系：tan α＝y 2－y 1
x 2－x 1
.
(2)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.
(3)倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度，它们的对应关系：
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°
斜率(范围)
k ＞0
不存在
k ＜0
(4)若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝y
x
.
[自主检测]
1．下图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．②④
解析：结合直线l 的倾斜角的概念可知①③可以，选C. 答案：C
2．(教材P55练习2改编)在直角坐标系中，一条直线的斜率为3，则此直线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：由题意得tan α＝3，又0°≤α<180°，∴α＝60°. 答案：B
3．(教材P55练习3改编)过点M (－3，2)、N (－2，3)的直线的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2
D.3
2
解析：过点M 、N 的直线的斜率k ＝3－2
－2＋3＝1.
答案：A
4．若过A (4，y )，B (2，－3)两点的直线的倾斜角是45°，则y ＝________.
解析：直线的倾斜角为45°，则其斜率为k ＝tan 45°＝1.由斜率公式，得－3－y 2－4＝1，
解得y ＝ －1.
答案：－1
5．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一直线上，求直线的斜率及a 、b 的值．
解析：由题意知，k AB ＝
5－1
3－1
＝2， 由k AC ＝7－1
a －1＝2，解得a ＝4；
由k AD ＝b －1
－1－1＝2，解得b ＝－3，
故直线的斜率为2，a ＝4，b ＝－3.
授课提示：对应学生用书第32页
探究一 求直线的倾斜角
[例1] (1)设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )
A ．α＋45°
B ．α－135°
C ．135°－α
D ．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° (2)设直线l 1过原点，其倾斜角α＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，且l 1与l 2向上的方向之间所成的角为75°，则直线l 2的倾斜角为________．
[分析] 对于(1)，由于α不确定，需分情况讨论；对于(2)，画出图象，利用图象求解． [解析] (1)根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α＜180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α＜135°，l 1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
(2)设直线l2的倾斜角为α，由图可知，α＝15°＋75°＝90°，∴直线l2的倾斜角为90°.
[答案](1)D(2)90°
直线的倾斜角可以看作是由x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小正角．所以求直线的倾斜角时，往往借助于图形．结合图形求倾斜角时，应注意倾斜角的范围以及平面几何知识的应用.
1．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.
解析：有如下两种情况：
(1)如图①，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
(2)如图②，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
答案：60°或120°
探究二根据斜率公式求斜率
[例2]直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
[分析]结合图形，根据直线斜率的变化情况，确定出其范围．
[解析] 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－0
0－1＝－3，
∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解析：∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝1
3，k BP ＝3－00－(－1)
＝ 3.
如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦
⎤1
3，3. 2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角α的取值范围．
解析：如图，直线P A 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，
由图象知l 的倾斜角的范围为 {} |α0°≤α≤45°∪{} |α135°≤α<180°.
当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时，可直接利用斜率公式求解．应用斜率公式时，应先判定两定点的横坐标是否相等．若相等，直线垂直于x 轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解.
探究三 斜率与倾斜角的应用
[例3] 已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值．
[分析] 直线l 的倾斜角已知可以求出其斜率且P 1、P 2、P 3均在直线l 上，故任两点的斜率均等于直线l 的斜率，从而可以解出x 2，y 1的值．
[解析] ∵α＝45°，∴直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∵P 1，P 2，P 3都在直线l 上，∴kP 1P 2＝kP 2P 3＝k . ∴5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得：x 2＝7，y 1＝0.
斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率可证三点共线的原因．
2．如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，则m 的值为________． 解析：k AB ＝m －1
－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝7
4
.
∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .即1－m 4＝7
4，∴m ＝－6.
答案：－6
授课提示：对应学生用书第34页
一、“数缺形时少直观，形缺数时难入微”——数形结合思想在求斜率取值范围中的应用
►直观想象、逻辑推理、数学抽象
[典例1] 经过点P (0，－2)作直线l ，若直线与过A (－2,3)，B (2,1)的线段总没有公共点，则直线l 斜率的取值范围是________．
[解析] 设直线l 的斜率为k ，直线AP 的斜率为k AP ，直线BP 的斜率为k BP ， 当直线l 与线段AB 有公共点时，k ≤k AP 或k ≥k BP ，
即当直线l 与线段AB 有公共点时，k ≤3－(－2)－2－0＝－5
2或k ≥1－(－2)2－0＝32，
所以当直线l 与线段AB 没有公共点时，－52＜k ＜3
2.
答案：⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫ |k －52<k <32
二、“历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细” ——分类讨论在求倾斜角取值范围中的应用
►数学运算、直观想象、逻辑推理
[典例2] 求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． [解析] 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.
①当m >1时，k ＝1
m －1
>0，
所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1
<0，
所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
[纠错心得] 未考虑两点斜率公式运用的条件，从而忽略了m ＝1的情况．。