椭圆的标准方程及教案

《椭圆及其标准方程》教案
呼兰六中
王英辉
教学目标
知识目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；掌握椭圆的标准方
程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。

能力目标：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和类比等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何
的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。

情感目标：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体验数与形对
立统一的辩证唯物主义思想。

重点、难点及关键
重点：椭圆的定义和标准方程的应用；
难点：椭圆标准方程的推导；
关键：创设具体的椭圆的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。

教学方法
启发、探索
教学手段
运用多媒体和实物投影仪辅助教学
教学过程
⒈创设情景、引入概念
师：我们都知道月亮绕地球旋转，地球绕太阳旋转，那么它们旋转的轨迹是什么呢？（多媒体动态演示行星运行的轨道）。

然后请同学列举一些实际生活中的椭圆形的例子。

生：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转）、汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图……
实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状。

师：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。

那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的----椭圆及其标准方程。

⒉尝试探究、形成概念
师：给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？
让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题：
思考1：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？哪些物体的位置改变？有哪些量没有变？哪些量变了。

指出绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。

用多媒体演示从椭圆形成的过程，结合学生的作图过程，启发学生得到椭圆的定义：
平面内与两个定点F
1、F
2
的距离之和是常数2a（大于∣F1F2∣=2c）的点
的轨迹。

两个定点F
1、F
2
称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。

若
设M为椭圆上的任意一点，则∣MF
1∣+∣MF
2
∣=2a。

思考2：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？
⒊标准方程的推导
师：下面我们一起来推导椭圆的方程．求曲线方程的步骤是什么？
生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．
师：那么此题应如何建立坐标系呢？ (让学生思考后回答)
教师归纳大体上有如下三个方案：
①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图；
②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图
③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案③，如图，推导出方程．
1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，
设两定点坐标为：
F1(-c，0)，F2(c，0)，
2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，
4)化简．
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
化简得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．
师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y 的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，引入字母b，
令2
2
2
c a b -=，且b>0可得椭圆标准方程为 122
22=+b
y a x （a >b >0）。

教师指出(*)式就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，最后说明： 1)方程中条件a ＞b ＞0不可缺少(结合图形)，当a=b ＞0时，就化成圆心
在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况．)
2)b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b 2=a 2-c 2；
3)请学生猜想：若用方案② (即焦点在y 轴上)，得到的方程形式又如何呢？
(启发学生根据对称性进行猜想) （观看电脑）
4.两种类型的椭圆方程的比较：
焦点在X 轴：122
22=+b y a x )0(>>b a F 1（-c,0）、F 2（c,0）
焦点在Y 轴：122
22=+b
x a y )0(>>b a F 1（0,-c ）、F 2（0,c ）
【关系】222b a c -=
（让学生讨论，归纳出这两种形式的标准方程有何异同）
含2x 、2y 的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。

5.应用概念
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的焦点坐标是F 1（－4，0）、 F 2（4，0），椭圆上任一点到F 1、F 2的距离之和为10，求椭圆的标准方程。

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点（￣23，25
）。

6．练习（见投影）
7.归纳小结
⑴知识小结：学生自己小结
定义
a MF MF 221=+ 椭圆
焦点在x 轴上122
22=+b
y a x
标准方程
2
2
2
0c
b a b a +=>>
焦点在y 轴上122
22=+a
y b x
⑵方法小结：①用坐标法研究曲线
②用运动、变化的观点分析问题 ③解题过程中注意数形结合的方法
⑶实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。

在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧道拱。

同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。

8.布置作业
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板书设计。