江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题[含答案]

江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题
一、单选题（每题5分，合计60分）
1．在ABC ∆
中，已知222a b c +=，则C =( ) A ．30° B ．150︒ C ．45︒ D ．135︒ 2．不等式250cx x a ++>的解集为11|32x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
，则a c 、的值（ ） A ．6a =，1c = B ．6a =-，1c =-
C ．1a =，1c =
D ．1a =-，6c =-
3．不等式
1
2x x
-≥ 的解集为（ ） A ．[)1,0- B ．[)1,+∞ C ．(],1-∞- D ．(]
(),10,-∞-⋃+∞ 4．在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则该数列前9项和9S =（ ） A ．18
B ．27
C ．36
D ．45
5．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2
m 4
y x m +<-有解，则实数m 的取值范围
是 ( )
A ．(1,2)-
B ．(,2)(1,)-∞-+∞U
C ．()2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U
6．设变量x 、y 满足约束条件302603x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则2Z x y =-的最小值为( )
A ．-3
B ．-2
C ．0
D ．6
7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60A =︒
，b =三角形有两个，则a 满足的条件是（ ） A
．0a <<B ．0<<3a C
．3a <<
．a ≥3a =
8．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
9．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
恒成立，则a 的最小值是 （ ）
A ．0
B ．2-
C ．52
-
D ．3-
10．在ABC ∆
中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b c
A B C
-+-+的值等于（ ）
A
B
C
D
．11．ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知角60A =︒，角B
为锐角，
a =ABC V 周长的取值范围（ ）
A
．(
B
．(
C
．4⎡⎤⎣⎦
D ．
(]
36,32
12．如果数列{}n a 满足12a =，21a =，且
()11
11
2n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于（ ） A ．
10
1
2 B ．
9
12 C ．
110
D ．
15
二、填空题（每题5分，合计20分）
13．在ABC △
中，若22a b -=
，sin C B = ，则A 等于__________．
14．已知ABC ∆中，三边与面积的关系为222
4
a b c S +-=，则cos C 的值为_____.
15．在函数①1y x x
=+，②sin 2(0)2sin x y x x π=
+<<，③4
2x x y e e =+-，
④2y =
，⑤1
y x x
=+
中，最小值为2的函数的序号是______. 16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日． （结果保留一位小数，参考数据： lg20.30≈， lg30.48≈）
三、解答题（17题10分，其余每题12分，合计70分）
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
1
2n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .
18．已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，其对应边分别是,,a b c ，且满足
cos cos 2cos b C c B a B +=．
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3b =2a c +的最大值.
19．已知数列{}n a 满足(
)2
*
123234N
n a a a na n n n ++++=+∈L .
（1）证明数列{}n na 为等差数列；
（2）若2n
n n b na =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4c =，2b =，2cos c C b =，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠． （1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积．
21．某玩具所需成本费用为P 元，且P ＝1 000＋5x ＋
110
x 2
，而每套售出的价格为Q 元，其中Q (x )＝a ＋
x
b
(a ，b ∈R)， (1) 问：玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？
(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a ，
b 的值．(利润＝销售收入－成本)．
22．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)满足：对任意实数x ，都有f (x ) ≥ x ，且当x ∈(1,3) 时，有f (x )≤1
8
(x ＋2)2成立． (1)证明：f (2)＝2；
(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式； (3)设g (x )＝f (x )－
2m x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x ) 图象上的点都位于直线y ＝1
4
的上方，求实数m 的取值范围．
数学月考答案
1-5 CDADD 6-10 CCCCA 11-12 BD 13．
6π 14
15．③⑤ 16．2.6 三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()
1
2n n n c a a =
+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .
解：（1）14(21)1n n S n a +=-+Q ①， 当1n =时，1241S a =+，解得23a =
当2n …
时，14(23)1n n S n a -=-+②， ①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---， 整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-， 即
121
21
n n a n a n ++=-， ∴21
3a a =，3253a a =，⋯
，12123n n a n a n --=- 以上各式相乘得121n
a n a =-，又11a =，
所以21n a n =-， （2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪+-+-+⎝⎭
，
1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
111111123352121n n ⎛⎫=
-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭
21
n
n =
+ 21n n
T n ∴=+，
18.（Ⅰ）Q cos cos 2cos b C c B a B +=，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，
即()sin sin 2sin cos B C A A B +==，于是1
cos 2
B =， 从而3
B π
=
；
（Ⅱ）由正弦定理得：2
sin sin sin a c b A C B
===
=，2sin a A ∴=，sin c C =， ∴
()
222sin 4sin 2sin 4sin 22sin 3a c A C A A A A π⎛⎫
+=+=+-== ⎪⎝⎭
()A φ+，
（其中tan ,0,)22πφφ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
， 所以当2
A π
φ=
-时，2a c +
的最大值是19.（1）当1n =时，15a =；
当2n …
时，由2123234n a a a na n n ++++=+L ①； 得2123123(1)(1)4(1)n a a a n a n n -++++-=-+-L ②， ①-②得23n na n =+，
当1n =时符合，即23n na n =+，
则1(1)2n n n a na ++-=，所以数列{}n na 为等差数列. （2）由题可知(23)2n
n b n =+⋅.
所以1
2
3
527292(23)2n
n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯L ③，
23412527292(23)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ④，
③-④得(
)2341
11022222(23)2
2(21)2n
n n n T n n ++-=+⨯++++-+⨯=-+⨯L ，
所以1
(21)22n n T n +=+⨯-.
20.（1）因为4c =，2b =，所以1cos 24
b C
c =
=． 由余弦定理得22224161
cos 244
a b c a C ab a +-+-===，
所以4a =，即4BC =，
在ACD ∆中，2CD =，2AC =，
所以2222cos 6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以6AD =．
（2）因为AE 是BAC ∠的平分线，
所以
1
sin 221
sin 2
ABE
ACE
AB AE BAE
S AB
S AC AC AE CAE ∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠， 又ABE ACE S BE S EC ∆∆=，所以2BE EC
=， 所以1433CE BC =
=，42
233
DE =-=， 又因为1cos 4C =
，所以215
sin 1cos C C =-=， 所以115
sin 2ADE S DE AC C ∆=
⨯⨯⨯=
． 21.解：(1)每套玩具所需成本费用为＝
＝x ＋＋5≥2＋5＝25，
当
x ＝
，即x ＝100时等号成立，
故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少． (2)设售出利润为w ，则w ＝x ·Q (x )－P ＝x －
＝
x 2＋(a －5)x －1 000，
由题意得解得a＝25，b＝30.
22.(1)证明：由条件知：
f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．
又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤1
8
(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.
(2)因
422 420 a b c
a b c
++=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
∴4a＋c＝2b＝1.
∴b＝1
2
，c＝1－4a.
又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．
∴a>0.Δ＝(1
2
－1)2－4a(1－4a)≤0，
解出：a＝1
8
，b＝
1
2
，c＝
1
2
.
∴f(x)＝1
8
x2＋
1
2
x＋
1
2
.
(3)g(x)＝1
8
x2＋(
1
2
－
2
m
)x＋
1
2
>
1
4
在x∈[0，＋∞)必须恒成立．
即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.
解得：12
<m<1
2
.
②
2(1)0
(0)0
m
f
∆≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪>
⎩
解得：m
2
，
综上m∈(－∞，12
)。