云南省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何(11)

151. ．已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是 （ ）
A ．
3
2
B ．
3
2 C ．
35 D ．3
22 解析：C
如图，1D GD ∠为所求的二面角的平面角。

G
θ
θ
C
D B
A
可利用求cos θ求出DG 的长度，则所求函数值可求。

152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________． 解析：如图中，截面ACD 1和截面ACB 1均符合题意要求，这样的截面共有8个；
153. 已知矩形ABCD 的边AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，PA=1，问
A
B
D C A 1
B 1
D
1 C 1
BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，并说明理由.
解析：连接AQ ，因PA ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥QD AQ ⊥QD ，即以AD 为直经的圆与BC
有交点．
当AD=BC=a ≥AB=1,即a ≥1时，在BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ；．．．．．．．．．5分
当0<a<1时，在BC 边上不存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．．．
154. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,2
3
3D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.
（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴
A
A
BC 1//DB 1.
又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1， ∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ，
∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ， ∴E 是AD 的中点，
.2
321==
AC BE 在Rt △B 1BE 中，.32
33
23
11
===∠BE
B B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。

即二面角B 1—AD —B 的大小为60°…………10分
（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，
∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=
∴=⨯,323323AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1
111
11
1
1
3
1 .827233)323321(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.8
27…………15分
解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，111111111
11
C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S
---∆∆==∴=
.8
27233)3434(313121111=⨯⨯⨯=⋅=
∆AA S C B A 即为三棱锥C 1—ABB 1的体积．
155. 已知空间四边形AB C D 的边长都是1，又BD =3，当三棱锥A —B C D 的体积最大时，求二面角B —A C —D 的余弦值．
解析：如图，取A C 中点E ，BD 中点F ，由题设条件知道
（1）∠BED 即二面角B —A C —D 的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（2）当AF ⊥面B C D 时，V A —B C D 达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
这时ED 2=AD 2-AE 2=1-AE 2=1-2
)2
(AC =1-422FC AF + =1-8
7)431(211)41(211)(211222
22=--=--=--=BD FD AD AF ， 又 BE 2=ED 2，
∴ c o s 7
5
2222-=⨯-=∠BE ED BD ED BED ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12
分 A E BFD
C
156. 有一矩形纸片ABCD ，AB=5，BC=2，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且BE=CF=1，把纸片
沿EF 折成直二面角． （1）求BD 的距离；
（2）求证AC ，BD 交于一点且被这点平分．
解析：将平面BF 折起后所补形成长方体AEFD-A 1BCD 1，则BD 恰好是长方体的一条对角线． （1）解：因为AE ，EF ，EB 两两垂直，
所以BD 恰好是以AE ，EF ，EB 为长、宽、高的长方体的对角线，
．．．．．．．．．．．．．．．．6
分
（2）证明：因为AD EF ，EF BC ，所以AD BC ．
所以ACBD 在同一平面内， 且四边形ABCD 为平行四边形． 所以AC 、BD 交于一点且被这点平分
157.已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ， ∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλAD
AF AC
AE
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，
∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.………………………………3分 又),10(<<==λλAD
AF AC AE
∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.………………8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===
AB BD
,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,7
6,7
6==∴=AC
AE AE λ
故当7
6
=
λ时，平面BEF ⊥平面ACD.………………………………………………12分 158. 设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。

如图,3:4:,6
5
cos ==
∠PB PA ABC 求直线PB 和平面PAC 所成角的大小
3030,2
1
525sin ,,,902
5cos 3,5,3,4所成的角为和平面即直线中在所成的角
和面是面面又即的直径是则设PAC PB BPC x x
BPC BPC Rt PAC PB BPC PAC
BC BC PA ABC PA AC BC ACB O AB x ABC x BC x PB x AB x PA =∠∴==∠∆∠∴⊥∴⊥∴⊥⊥=∠∴Θ=∠====
159. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，
AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC.(12分) 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点
连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO ∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQ （三垂线定理）
RC
B PQS R
C B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥
160. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角B —AC —D ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，O 为正方形的中心，求折起后∠EOF 的大小
证明：过F 作FM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥AC 于N ，则M ，N 分别为OC 、AO 的中点 解析：
12018060,,//,,//:120,2
1
cos cos 2,4
3
,22,42)(42412222
2222=∠-=∠∴='∠∴'∆='='=∴⊥∴⊥--'∠=∠∴''=∠-=∠∴∠⋅-+=∆=++======
∴EDG EOF D DC D DC a
D C D D DC ABC DO AC DO D AC B D DC EOG D C OG G D A FO CD EO EOF EOF EOF
FO EO FO EO EF EOF a MN FM EN EF a MN a FM a EN a AC AN 为正三角形即平面为直二面角于交延长另证中在设正方形的边长为。