中考数学:二次函数——线段最大值问题
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中考数学:二次函数——线段最大值问题
一前提知识:
二典型例题:
1.如图,已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点(A在B左边),交y轴于C点。(1)求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式;
(2)点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点(不与A,C重合)过点P作y轴平行线交直线AC于Q点,求线段PQ的最大值;
三变式练习:
2.变式1:
点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点(不与A,C重合),过点P作x轴平行线交直线AC于M点,求线段PM的最大值;
大值:
问题2:你能求出△PQH周长的最大值吗?
的最大值;
积的最大值;
积的最大值;
四直通中考:
1.(2014 ·重庆中考A卷25题)如图,抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点。
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN ⊥X轴于点N,若点P在点Q 左边,当矩形PMNQ的周长最大时,求△AEM的面积;
26.(8分)如图1,抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C.将直线AC以点A为旋转中心,顺时针旋转90°,交y轴于点D,交拋物线于另一点E.直线AE的解析式为:y=﹣x﹣
(1)点F是第一象限内抛物线上一点,当△F AD的面积最大时,在线段AE上找一点G(不与点A、E 重合),使FG+GE的值最小,求出点G的坐标,并直接写出FG+GE的最小值;
(2)如图2,将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移,记平移后的△ACD为△A′C′D′,平移时间为t秒,当△AC′E为等腰三角形时,求t的值.
26.(8分)如图1,抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C.将直线AC以点A为旋转中心,顺时针旋转90°,交y轴于点D,交拋物线于另一点E.直线AE 的解析式为:y=﹣x﹣
(1)点F是第一象限内抛物线上一点,当△F AD的面积最大时,在线段AE上找一点G(不与点A、E 重合),使FG+GE的值最小,求出点G的坐标,并直接写出FG+GE的最小值;
(2)如图2,将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移,记平移后的△ACD为△A′C′D′,平移时间为t秒,当△AC′E为等腰三角形时,求t的值.
【分析】(1)由S△F AD=S△F AK﹣S△FDK=求而出点F(,),而FG+GE=FG+GP,过点F作EQ的垂线交AE于点G,此时FG+GE最小,即可求解;
(2)分AC′=EC′、AE=EC′、AC′=AE三种情况,求解即可.
【解答】解:(1)过点F作FK⊥x轴于点H,交直线AE于点K(如下图),
过点D作DM⊥FK于点M,
令y=﹣x﹣=0,则点A(﹣1,0),
设点F坐标为(x,﹣x2+x+),则点K(x,﹣x﹣),
S△F AD=S△F AK﹣S△FDK=FK•AH﹣FK•DM=FK(AH﹣DM)=FK•AO
=(﹣x2+x++x+)×1=﹣x2+x+,当x=﹣=时,S△F AD有最大值,
此时点F(,),
点G是线段AE上一点,作EQ⊥y轴于点Q,作GP⊥EQ于点P,则∠PEG=30°,∴GP=GE,
∴FG+GE=FG+GP,
过点F作EQ的垂线交AE于点G,此时FG+GE最小,
当x=时,y=﹣x﹣=﹣,
此时点G(,﹣),
FG+GE最小值为:;
(2)连接CC′,过点C′作C′F⊥y轴于点F,
则C′C=,CF=CC′=t,FC′=CC′=t,
∴点C′(t,﹣t),由(1)知点E(4,﹣),
∴AE2=,AC′2=t2+4,EC′2=t2﹣t+,
①当AC′=EC′时,
t2+4=t2﹣t+,解得:t=;
②当AC′=AE时,
同理可得:t=(舍去负值);
③当AE=EC′时,
同理可得:t=5;
故:t的值为或或5或5.