欣宜市实验学校二零二一学年度初三数学用推理方法研究三角形试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度初三数学用
推理方法研究三角形
一.本周教学内容：
用推理方法研究三角形——角平分线、线段的垂直平分线、逆命题、逆定理
［知识要点］
〔一〕角平分线
1.定理
〔1〕角平分线上的点到这个角的两边的间隔相等。

〔2〕到一个角的两边的间隔相等的点在这个角的平分线上。

2.三角形三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心。

〔二〕线段的垂直平分线
1.定理
〔1〕线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的间隔相等。

〔2〕到一条线段的两个端点的间隔相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2.三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这一点是三角形的外心。

〔三〕逆命题、逆定理
1.概念
〔1〕互逆命题：在两个命题中，假设第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。

〔2〕假设一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

2.定理
〔1〕勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

〔2〕勾股定理的逆定理：假设三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

［学法建议］
学习角平分线时，要理解添加辅助线的目的，学几何命题的证明方法和证明的表达格式，并能进展总结归纳。

学习线段的中垂线时，要掌握两个定理的联络和区别，在利用线段中垂线定理证明几何命题时要防止再去证三角形全等。

学习逆命题、逆定理时，要分析命题的题设和结论，从而理解互逆命题的本质，能纯熟地说出一个命题的逆命题，并能判断真假性，掌握勾股定理和其逆定理并能纯熟应用。

【典型例题】
例1.如图，BE、CE分别是△ABC的外角平分线，且相交于点E。

求证：E在∠A的平分线上。

分析：要证E在∠A的平分线上，只需证E到∠A两边间隔相等即可，因此需作辅助线EM、EN、EH，使它们分别与AB、AC、BC垂直，只需证明EM＝EN。

证明：过E作EM⊥AB交AB的延长线于M，过E作EN⊥AC交AC的延长线于N，过E作EH⊥BC于H
∵E在∠MBC的平分线上且EM⊥AB，EH⊥BC
∴EM＝EH〔角平分线上的点到角的两边间隔相等〕
同理，EN＝EH
∴EM＝EN
∴E在∠A的平分线上〔到角的两边间隔相等的点在这个角的平分线上〕
说明：在有关角平分线的问题中，一般过角平分线上的点向两边作垂线来解决问题。

例2.如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，CE⊥BD的延长线于E。

求证：BD＝2CE
分析：要证明BD＝2CE，常需找出线段1
2
BD或者2CE，由条件“BD平分∠ABC和CE⊥BD〞想到延长CE、BA
相交于F ，先证明CF ＝2CE ，再证明BD ＝CF 即可，这需证明△ABD ≌△ACF 。

延长CE 、BA 相交于F
在△FBE 和△CBE 中
∴△FBE ≌△CBE 〔ASA 〕
∵BE ⊥CF ，AC ⊥AB
∴∠2＋∠F ＝90°，∠1＋∠F ＝90°
∴∠1＝∠2
在△ABD 和△ACF 中
∴△ABD ≌△ACF 〔ASA 〕
∴BD ＝CF
∴BD ＝2CE
说明：〔1〕在题目中假设含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图象，此题所作的辅助线，本质上是将Rt BCE ∆以BE 所在直线为轴翻折过去得Rt BFE ∆。

〔2〕此题图中，可以把BE 、CA 看成是△FBC 的两条高，注意“∠1＝∠2”这个结论。

例3.如图，直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 中点，DE 平分∠ADC 。

求证：AE 平分∠DAB
分析：要证AE 平分∠DAB ，只需证明点E 在∠DAB 的平分线上即可，过E 作EF ⊥AD 于F ，由条件可得EF ＝EC ＝EB ，那么点E 在∠DAB 的平分线上，即AE 平分∠DAB 。

证明：过E 作EF ⊥AD 于F
∵EC ⊥DC ，DE 平分∠ADC
∴EC ＝EF 〔角平分线的点到角的两边间隔相等〕
∵BE ＝CE
∴BE ＝EF
∵EF⊥AD，BE⊥AB
∴AE平分∠DAB〔到角的两边间隔相等的点在这个角的平分线上〕
说明：要擅长利用角平分线的这两个定理解决有关角平分线的问题。

∆中，∠C＝90°，BD是∠B的平分线交AC于D，CE⊥AB于E交BD于O，过O作FG∥例4.如图，在Rt ABC
AB，交BC于F，交AC于G。

求证：CD＝AG
分析：过点D作DH⊥AB于H，可证∠1＝∠2，从而CO＝CD，而CD＝DH，因此CO＝DH，可证：≅，那么CG＝DA，CD＝AG。

Rt COG Rt DHA
∆∆
证明：过点D作DH⊥AB于H
∵BD平分∠CBA，∠ACB＝90°
∴CD＝DH〔角平分线上的点到角两边间隔相等〕
∵BD平分∠ABC
∴∠4＝∠5
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠3＝90°
∴∠2＝∠3
又∠1＝∠3
∴∠1＝∠2
∴CO＝CD
∴DH＝CO
∵CE⊥AB，AB∥FG
∴CE⊥FG，∠6＝∠A
∴∠COG＝90°
在△COG和△DHA中
∴△COG ≌△DHA
∴CG ＝AD
即：CD ＝AG
说明：在有关角平分线的问题中，通常过角平分线上有关的点向两边作垂线，也可以在角的两边截长或者补短，从而找到解决问题的途径。

例5.：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，试猜想BF 与FC 的关系，并说明理由。

分析：因为EF 是AB 的中垂线，故连结AF ，那么AF ＝BF
因为AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，易知
∠C ＝∠B ＝30°，∠FAC ＝90°
因此在Rt △ACF 中，那么CF
AF BF ==1212
证明：连结AF
∵EF 垂直平分AB
∴FA ＝FB 〔线段垂直平分线上的点到线段两端点间隔相等〕
∴∠B ＝∠1〔等边对等角〕
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°
∴∠B ＝∠C ＝30°
∴∠1＝30°
∴∠FAC ＝90°
又∠C ＝30°
∴FC ＝2AF
说明：因为BF 与FC 在同一条直线上不易证，由线段的垂直平分线的性质，那么连结AF ，BF ＝AF ，所以AF 与FC 在△AFC 中，由条件易得∠FAC ＝90°，∠C ＝30°，从而证得。

例6.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB、AC为边向形外作正△ABE和正△ACD，连DE交AB 于F。

求证：EF＝FD
分析：欲证EF＝FD，因为EF、FD在同一直线上，FD又是△AFD的一条边，由条件∠BAC＝30°，∠CAD＝60°，那么∠FAD＝90°，所以需以EF为边构造一个直角三角形，再证得此三角形与△AFD全等，因此，由E点作△ABE的AB边上垂线即可。

证明：过E点作EP⊥AB于P点，那么∠EPB＝90°
∵BE＝AE＝AB
∴EP平分∠BEA
在△EPB和△ACB中
∴△EPB≌△ACB
∴EP＝AC
又AC＝AD＝CD
∴EP＝AD
∵∠CAD＝60°
∴∠FAD＝∠2＋∠CAD＝90°
在△EPF和△DAF中
∴△EPF≌△DAF〔AAS〕
∴EF＝DF
例7.写出以下各命题的逆命题，并判断其真假：
〔1〕全等三角形对应角相等
〔2〕直角三角形两锐角互余
〔3〕同角的余角相等
分析：要写出一个命题的逆命题，首先要弄清楚原命题的题设和结论，再把它的题设和结论对调重新组织语言即可。

答：〔1〕三个角对应相等的两个三角形全等。

〔假命题〕
〔2〕有两个互余锐角的三角形是直角三角形。

〔真命题〕
〔3〕假设两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角。

〔假命题〕
例8.如图，：在直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，P 为斜边BC 上的任意一点。

求证：BP CP AP 2222+=
分析：证明线段的平方问题，首先要考虑应用勾股定理，这时要从图中寻找或者构造包含所证线段的直角三角形，最常见的方法是引垂线构造直角三角形。

证明：过A 点作AD ⊥BC 于D
在Rt △APD 中，由勾股定理可知：
∵Rt △BAC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC
∴AD ＝BD ＝CD 〔等角对等边〕
说明：此题还可作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，无论哪种作法都是为了构造直角三角形，从而应用勾股定理。

例9.如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为AB 的中点，点F 在AD 边上且
AF AD =14。

求证：EF ⊥CE
分析：此题告诉了线段之间的关系，因此可以连结CF ，通过证CF
EF EC 222=+来解决。

证明：连结FC ，设正方形ABCD 的边长为a ，那么 在Rt △AEF 中，EF AE AF a a a 222
222416516=+=+=〔勾股定理〕 在Rt △BCE 中，EC BE BC a a a 222
222454=+=+=〔勾股定理〕 在Rt △CDF 中，CF DF CD a a a 2222229162516
=+=+=〔勾股定理〕 ∴∠FEC ＝90°〔勾股定理的逆定理〕
∴FE⊥CE
【模拟试题】
一.填空题。

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且使CD∶DB＝3∶5，那么点D到AB的间隔为____________。

2.如图〔a〕，∠C＝90°，AD平分∠A，AD＝BD＝2CD，点D到AB间隔为5.6 cm，那么BC长为____________。

图〔a〕
3.如图〔b〕，AB∥CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC交AC于E且OE＝2，那么两平行线AB、CD之间间隔为____________。

图〔b〕
4.如图〔c〕，：∠C＝90°，∠1＝∠2，假设BC＝8，BD＝5，那么点D到AB的间隔为____________。

图〔c〕
5.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，那么△ABC的周长是____________。

6.如图〔d〕，△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的中垂线，AB＝2AC，BC＝18 cm，那么BE的长度为____________。

图〔d〕
7.“邻补角的平分线互相垂直〞的题设是____________，结论是____________。

8.“不相等的两个角不一定是对顶角〞是____________命题。

二.选择题。

9.如图：点P到BE、BD、AC的间隔恰好相等，那么点P的位置：
〔1〕在∠B的平分线上；
〔2〕在∠DAC的平分线上；
〔3〕在∠ECA的平分线上；
〔4〕恰是∠B、∠DAC、∠ECA的三条角平分线的交点。

上述结论中正确的个数是〔〕
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，假设AB＝6cm，那么△DEB 的周长为〔〕
A.5cm
B.6cm
C.7cm
D.8cm
11.Rt△ABC中，斜边BC＝6，AD、BE是中线，假设AD⊥BE，那么BE的长为〔〕
A.32
B.3
2
2 C.25 D.
5
2
5
12.在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，假设CD恰好与AB垂直，那么∠A等于〔〕
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
13.以下语句是命题的是〔〕
A.画∠AOB＝75°
B.连结AB
C.锐角小于它的余角
D.画CD⊥AB于D
三.解答题。

14.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S cm
ABC
∆
=362，AB＝18cm，BC＝12cm，求DE的长。

15.如图，∠B＝∠C＝90°，M为BC的中点，DM平分∠ADC。

求证：AM平分∠DAB
16.如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O，BO、CO的垂直平分线与BC分别交于E、F。

求证：BE＝EF＝FC
17.写出以下命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题：
〔1〕在空间里，命题“没有交点的两条直线互相平行〞。

〔2〕假设a b 22=，那么a b =。

〔3〕末位数字是零的整数一定能被5整除。

[参考答案]
一.填空题。

1.6cm
2. cm
3.4
4.3
5.42或者32
6.12cm
7.题设：假设两个角是邻补角，结论：那么它的角平分线互相垂直。

8.假命题
二.选择题。

9.D 10.B 11.A 12.B 13.C
三.解答题。

14.过D 作DF ⊥BC 于F
∵∠ABD ＝∠CBD ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC
∴DE ＝DF
15.作ME ⊥AD 于E
∵MC ⊥DC ，ME ⊥DA ，MD 平分∠ADC
∴ME ＝MC
又∵M 是BC 中点
∴MB ＝MC
∴ME ＝MB
∵ME ⊥AD ，MB ⊥AB
∴AM 平分∠DAB
16.连结OE 、OF ，证△OEF 为等边三角形。

17.〔1〕在空间里，“假设两条直线互相平行，那么这两条直线没有交点〞是真命题。

〔2〕假设a b =，那么a b 22=是真命题。

〔3〕能被5整除的数，那么末位数字一定是零。

〔假命题〕。