高三数学考前指导卷一试题

A
B
C
A
B
C
B
A
B
C D
B
A
A C
梁丰高级中学2021届高三数学考前指导卷一
一、
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
二、
选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，每一小题给出的四
个选项里面，只有一项是哪一项符合题要求的〕
1．在以下电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 〔 〕
[提示与解答]：A 是充分不必要条件；C 是充要条件；D 是既不充分也不必要条件。

2．f 是从{
}{}53214,3,2,1，，，到集合==B A 的映射，那么满足()()()()84321=+++f f f f 的所
有
映
射
的
个
数
( )
A ．256
B 23 C. 22 D. 6 [提示或者答案]：
82222223111331115=+++=+++=+++=+++
种满足条件的映射的共有231
424131444=+++∴C C C C C 。

3.2
()2cos(
)2
f x x x π
=++在[-a,a]〔a ＞0〕上的最大值与最小值分别为M 、m ，那么M+m
的值是 〔 〕 A ．0 B.2 C
[提示与解答]：2
()2sin f x x x =-,令2
()sin g x x x =-,那么()g x 是[],a a -上的奇函数,
所以min max ()()0g x g x +=,max min ()2,()2M g x N g x =+=+,所以4M N +=。

4.点(4,0)Q , 点(,)P x y 抛物线y =24
2
+x 上一动点，那么y PQ +的最小值为
( )
B.6
C.621+
D.521+
[提示与解答]：如图，抛物线y=24
2
+x ⇔24(2)x y =-， 焦点(0,3)F ,准线方程为1y =,那么y PQ +=1PF PQ ++
1FQ ≥+156=+= (当,,F P Q 三点一共线时“=〞号成立)
所以y PQ +的最小值为6。

5．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，
PA ⊥平面ABCD ，PA a =，,M N 分别是,PD PB 的中点，
那么异面直线AM 与CN 所成角的余弦值等于 〔 〕
A B ．2
2
C D ．3
3
[提示与解答]：取PC , AB 的中点,E F ,连,ME EF ,易证EFAM 为平行四边形，再取
PN 的中点H ，连,EH FH ,那么//EH CN ,FEH ∴∠就是异面直线AM 与CN 所成
的角，12EF AM FH CN ==
==,HF =,由余弦定理
cos 6
FEH ∠=。

6．．,1sin ,1sin ,0]2
,2[,2a a -=-=<+-∈βαβαπ
πβα若且那么实数a 的取值范围 是
〔 〕
A ．〔－∞，－2〕∪〔1，+∞〕
B ．〔－2，1〕
C ．]2,1(
D ．]2,0(
[提示与解答]：首先由2
111111
a a -≤-≤⎧⎨
-≤-≤⎩,得0a ≤≤。

其次22ππαβ≤<-≤,那么
sin sin()αβ<-,即211a a -<-,解得2a <-或者1a >，综上12a <≤。

7．点M(m,n)在直线l ：A x +By+C=0〔AB ≠0的右下方，那么Am+Bn+C 的值
〔 〕
A ．与A 同号，与
B 同号 B ．与A 同号，与B 异号
C ．与A 异号，与B 同号
D ．与A 异号，与B 异号
[提示与解答]：因为0B ≠，将直线方程改写成A C
y x B B
=-
-，那么其右下方区域为A C y x B B <--，因为M 在该区域内，所以A C
n m B B
<--，假设0B >,那么
0Am Bn C ++<；假设0B <,那么0Am Bn C ++>；而,A B 异号，故与A 同号，
与B 异号。

8. 函数x x y 3154-+-=
的值域是 〔 〕
A ．[1，2]
B ．[0，2]
C ．〔0，]3
D ．1[，]3
[提示或者答案]：首先由40
1530
x x -≥⎧⎨-≥⎩,得45x ≤≤；令 4(01)x t t -=≤≤，那么
23(1)y t t =+-，再令cos (0)2t πθθ=≤≤,那么cos 3sin 2sin()6
y π
θθθ=+=+,
3662
πππ
θ≤+≤
,所以[]1,2y ∈。

9.设方程2－x
=|lg x |的两根为x 1、x 2，那么 〔 〕 A. x 1x 2＜0
B. x 1x 2=1
C. x 1x 2＞1
D. 0＜x 1x 2＜1
[提示或者答案]：设两根为x 1＜x 2，结合图象知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-==--.1,10,
lg 2,
lg 22
1121
2x x x x x x 前两个式子相减整理得
lg(x 1x 2)=12
22
x x ---＜0.1201x x ∴<<
10. 4．O 平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不一共线的三个动点，点P 满足
2OB OC OP +=
(),||cos ||cos AB AC
R AB B AC C
λλ++∈， 那么动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 〔 〕 A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心 [提示或者答案]：
22(
)2(
)
AB AC AD DB AD DC OP OB OC BD
CD
BD
CD
λλ++--=+
=+
2(
)AD AD k AD BP CP BD
DC
λ=+
==+，PB PC k DA P ∴+=∴的轨迹一定通过
ABC ∆的外心
二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分，把答案填在题中的横线上.〕
11.
2
12cos 412
csc )312tan 3(020
0--= 。

[提示与解答]
：原式sin121cos12sin122(1cos 24)2︒︒︒︒-=
+
-== sin 482
︒=-12．假设记号“*〞表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a * b =
2
b
a +，那么两边均含有运算符号“*〞和“+〞，且对于任意三个实数a 、
b 、
c 都能成立的一个等式是 ()()22
c a
a b b c *+
=+* ___ . (答案不唯一)
13。

A 箱内有红球1个和5个白球，B 箱内有3个白球，现随意从A 箱中取出3个球放入B
箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放入A 箱，一共有 400 种不同的取法，又红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱的概率等于 0.25 .
[提示与解答]：(1) 336
6
400C C = (2) P=225533661
4
C C C C =
14．从集合中任取三个数，使其和能被3整除，那么一共有取法的种类有 〔用数字答题〕。

[提示与解答]：将集合{}20,....,3,2,1=A 中的元素按3除所得的余数进展分类：
{}{}{}20,17,14,11,8,5,2,19,16,13,10,7,4,1,18,15,12,9,6,3210===A A A ，由三个数之和能
被3整除，故三个数均取自同一个集合或者在210,,A A A 各取一个：
3751
71716373736=+++C C C C C C 。

15.曲线S :y =3x －x 3
及点P 〔2，2〕，那么过点P 可向S 引切线的条数为 3 . [提示与解答]：设切点为(,)Q m n ,那么在点Q 处的切线方程是
2(3)()y n m m x m -=--
由题设32
32(33)(2)
n m m n m m ⎧=-⎨-=--⎩消去n 得32
320m m -+=, 即 2
(1)(22)0m m m ---=,
解之得 1m =
或者1m =
1m =因此切线有3条。

16.某中学的一个研究性学习小组一共有10名同学，其中男生x 名〔93≤≤x 〕，如今从中
选出3人参加一次调查活动，假设至少有1名女生去参加的概率为P ，那么P 的最大值为
120
119
[提示与解答]：321121010103
10
x x x x x
C C C C C P C ---++=, 令332112
21010101
()(32720)6
x x x x x f x C C C C C x x x ---=++=
-+--,
那么'
21
()(362)6
f x x x =
-+-,由'()0f x = 得 333x ±= , 39x ≤≤ ∴()f x 在 []3,9上是减函数，故当3x =时，()f x 取最大值，此时32112
773733
10119
120
C C C C C P C ++== 三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.()422323
2cos x cos x f x cos x sin x
+-=+，判断()f x 的奇偶性，并求出()f x 的最小值及此时对应
的x 的值。

[提示与解答]： ()f x 显然为偶函数。

()2222
3(1)22,1sin x sin x f x sin x
---=+令2
1,sin x t +=，那么[1,2]t ∈，那么23(2)2(1)24
3()1464142,t t y t t t
----=
=+-≥-=- 当4 1.t sinx t =
⇒=±即2
x k π
π=+时，()2min f x =-。

18. 如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中
2,6AB PA ==.
〔1〕求证：11PA B D ⊥；
〔2〕求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； 〔3〕求1B 到平面PAD 的间隔 。

[提示与解答]：以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系
〔1〕设E 是BD 的中点， P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD PE ⊥ 又2,6AB PA ==
， ∴2=PE ∴)4,1,1(P
∴ )2,1,1(),0,2,2(11=-=AP D B ∴ 011=⋅AP D B , 即11PA B D ⊥
〔2〕设平面PAD 的法向量是),,(z y x =， )2,1,1(),0,2,0(== ∴ 02,0=+=z x y 获得1=z )1,0,2(-=， 又平面11BDD B 的法向量是
)0,1,1(=, ∴
5
10
,cos -
=>=
<n m ∴510arccos =θ.
〔3〕)2,0,2(1-=B ∴1B 到平面PAD 的间隔
55
6
=
=
d 说明：此题假如用传统的方法该如何求解？
19. 甲、乙两人进展羽毛球比赛，每局采用11分制，比赛中甲每获得1分的概率均为
2
3
；先得11分的选手获胜，假设比分为10：10时，那么先领先对手2分者获胜。

(1) 求甲以11：2的比分获胜的概率；
(2) 当双方打成10：10之后,求甲以13：11获胜的概率。

[提示与解答]：〔1〕甲以11：2的比分获胜，那么双方比赛了13分，其中最后1分由
甲获得，前12分中甲得10分，且为HY 重复实验，那么 P 1=10
10
2
12122222()(1)11()3
3
33
C -⨯
=⨯ 〔2〕双方打成10：10之后,甲以13：11获胜，那么后面4分中，乙得的1分必须是前2分中的1分，那么 1
3
221
216()33
81
P C =⨯⨯=
20.在平面直角坐标系中，1A (3,0)-、2A (3,0)、(,)P x y 、M
0)，假设实
数λ使向量1A P 、OM λ、2A P 满足2212()OM A P A P λ⋅=⋅ (1)求P 点的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；
( 2)
当λ=
时，过点1A 且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线9x =-上找一点C ，使1A BC ∆为正三角形。

[提示与解答]：〔1〕由可得212(3,),(3,),(A P x y A p x y OM x =+=-=
22222212(),(9)9OM A P A P x x y λλ=⋅∴-=-+
即P 点的轨迹方程是 2
2
2
2
(1)9(1)x y λλ-+=-
①当2
10λ->且0λ≠,即()()1,00,1λ∈-⋃时，有22
21,99(1)
x y λ+=-P 点的轨迹是椭圆。

②当0λ=时，方程为2
2
9,P x y +=的轨迹是圆。

③2
10λ-<，即(,1)(1,)λ∈-∞-⋃+∞时，方程为22
2
1,99(1)
x y λ-=- P 点的轨迹是双曲线。

④2
10λ-=，即1λ
=±时，方程为y ＝0, P 点的轨迹是直线。

〔2〕过点1A 且斜率为1的直线方程为y ＝x ＋3
当3λ=时，曲线方程为
22196
x y += 由223
19
6y x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
得2
1235
1890,3,5x x x x ++==-=-
从而121||
|
A B x x =-=
设C 〔－9，y 〕，1|
|
AC ==因为1A BC ∆是正三角形，11|||A B AC ==
2612
25
y =-
，无解， 所以在直线x ＝3上找不到点C ，使1A BC ∆是是正三角形 21.数列{}n a 的前n 项的和n S 满足：
)(,)1(22
3
*∈-++=N n S a n n n 〔1〕写出数列{}n a 的前3项；〔2〕求数列{}n a 的通项公式； 〔3〕设n n a a a a T 1111321++++=
,是否存在正整数k ，使得当n ≥3时，,⎪⎭
⎫
⎝⎛+∈101,10k k T n
假如存在，求出k ；假如不存在，说明理由.
[提示与解答]：〔Ⅰ〕由113
212a a =+-得12a =，类似地，2310,26a a ==. 〔Ⅱ〕当2n ≥时，由32(1),2n n n a S =++-得1
1132(1),2
n n n a S ---=++-
所以 1
1)1()1(2
323-----+=-n n n n n a a a ，134(1)(2)n n n a a n -=+-≥
所以+∈-+=N n a n n n ,)1(3 〔Ⅲ〕由于
11111
1
210263(1)n
n n
i i
a ==++++
+-∑
当 k 为偶数时，
11113(1)3(1)k k k k ++++-+-=1
11
3131
k k +++- 1113311
3333
k k k k k k ++++<=+； 〔∵132>⋅k 恒成立〕 所以当n 为奇数且3n ≥时，
11111
1
210263(1)
n
n n
i i
a ==++++
+-∑ 23
11111113333n n a -<
++++
+111111(1)26326n -=+-<+ 27310
=<. 假如当n 为偶数且3n ≥时，
11111
1210263(1)n
n n i i
a ==+++++-∑1
11n i i
a +=<∑710< 另一方面，
11111
1210263(1)n
n n i i
a ==++++
+-∑10121+>=10
6
所以存在k=6符合题意
(3,0)P -，点A 在y 轴上挪动，点B 在x 轴正半轴〔包括原点〕上挪动，点M 在AB 连线
上，且满足0PA AM ⋅=，230AM MB +=． 〔Ⅰ〕求动点M 的轨迹C 的方程；
〔Ⅱ〕设轨迹C 的焦点为F ，准线为l ，自M 引的垂线，垂足为N ，
设点(0,)A a 使四边形PFMN 是菱形，试务实数a ；
〔Ⅲ〕假如点A 的坐标为(0,)n a ，*n N ∈，其中(n
n a a a =＞0)，相应线段AM 的垂
直平分线交x 轴于(,0)n n Q x ．设数列{}
1n n Q Q +的前n 项和为n S 。

证明：当2n ≥时，1n n x S --为定值．
[提示与解答]：〔Ⅰ〕设点(0,)A a ，(,0)(B b b ≥0)，(,)M x y ， 依题设得(3,)(,)3()0PA AM a x y a x a y a ⋅=-=+-=，
232(,)3(,)(3,2)0AM MB x y a b x y b x a y +=-+--=---=，
即323()0x b
y a x a y a =⎧⎪=-⎨⎪+-=⎩
，化简得24y x =为点M 的轨迹方程．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，(1,0)F ，:1l x =-． 设(,)M x y ，那么(1,)N y -．由PFMN 是菱形及 抛物线的定义可得PFMN 是平行四边形，
∴MN PF =，即(1)1(3)3x x --=--⇒=，
代入抛物线方程中得y =±
，即2a -=±
a =．
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知n n a =．
又由〔Ⅰ〕可知2n y a =-，代入抛物线方程中可得2
n x a =，∴2
(,2)n n M a a -． 又由22222
()4n n n n n n n Q A Q M x a x a a =⇒+=-+，
化简得233322n n n a x ++==，∴1113333
322
n n n n n n n Q Q x x +++++=-=-=， 于是2
3333(31)2
n
n
n S =+++=-，从而11333(31)322n n n n x S --+-=--=为定值．
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
x。