北师大版高中数学选修组合一教案

1.3组合
（第一课时）
教学目标：
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点：
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式 教学过程
一、复习引入： 1．排列的概念：
从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：
从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m
n A 表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m
n A 只表示排列数，而不表示具体的排列 3．排列数公式及其推导：
(1)(2)
(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）
全排列数：(1)(2)
21!n
n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）
二、讲解新课：
1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m
n C 表示． 3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m
n A ，可以分如下两步：① 先求从
n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m
m A ⋅．
（2）组合数的公式：
(1)(2)(1)!
m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+==
或)!(!!m n m n C m
n -=),,(n m N m n ≤∈*且 例子：
1、计算：（1）4
7C ； （2）7
10C ；
（1）解： 4
77654
4!
C ⨯⨯⨯=
＝35；
（2）解法1：7
10109876547!
C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．
解法2：7
1010!10987!3!3!C ⨯⨯==
＝120． 2、求证：11+⋅-+=m n m
n C m
n m C ．
证明：∵)!
(!!
m n m n C m
n -=
11
1!
(1)!(1)!m n
m m n C n m
n m m n m +++⋅=
⋅--+-- ＝
1!
(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---
＝
!
!()!
n m n m -
∴1
1+⋅-+=
m n m
n C m
n m C
3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查． (1)全是合格品的抽法有多少种？ (2)次品全被抽出的抽法有多少种？
(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？ (4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？ 4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，
所以，一共有3
4C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）1003
6310=-C C
课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式 课堂练习： 课后作业：
1.2.2组合
（第二课时）
教学目标：
1掌握组合数的两个性质；
2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：
掌握组合数的两个性质 教学过程
一、复习引入：
1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从
n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．
．用符号m
n C 表示． 3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m
n A ，可以分如下两步：① 先求从
n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m
m A ⋅．
（2）组合数的公式：
(1)(2)(1)!
m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+==
或)!(!!m n m n C m
n -=),,(n m N m n ≤∈*且 二、讲解新课：
1 组合数的性质1：m
n n m n C C -=．
一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：
m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵)!
(!!
)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=
---=
-
又 )!
(!!m n m n C m
n -=
，∴m n n m n C C -=
说明：①规定：10
=n C ；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③y
n x n C C =y x =⇒或n y x =+．
2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1
-m n
C ．
一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m
n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1
-m n
C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这
n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个
性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：)]!1([)!1(!)!(!!1
---+
-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!
1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!
1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1
-m n C ．
3.例子
1．（1）计算：6
9584737C C C C +++；
（2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2
-n m C ．
解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；
证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边
2．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：3
3322210
1+-+-+=
+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，
又由1113
12313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩
得28x ≤≤且x N *
∈，∴原方程的解为4x =或5x =
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为2
333110x x x C A -++=
，即5
333
110
x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，
∴
11
120(2)!10(1)(2)!
x x x x =-⋅-⋅-，
∴2
120x x --=，解得4x =或3x =-，
经检验：4x =是原方程的解
3. 有同样大小的4个红球，6个白球。

(1)从中任取4个，有多少种取法？
(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？ (3)从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？
(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。

从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？
课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质 课堂练习： 课后作业：
1.2.2组合
（第三课时）
教学目标：
1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
2、能够解决一些组合应用问题 教学重点：
解决一些组合应用问题 教学过程
一、复习引入：
1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从
n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．
．用符号m
n C 表示． 3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m
n A ，可以分如下两步：① 先求从
n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m
m A ⋅．
（2）组合数的公式：
(1)(2)(1)!
m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+==
或)!(!!m n m n C m
n -=),,(n m N m n ≤∈*且
4.组合数的性质1：m
n n m n C C -=．
5.组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1
-m n
C ．
二、讲解新课： 例子
1．(1)把n+1个不同小球全部放到n 个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？
(2)把n+1相同的小球，全部放到n 个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？
(3)把n+1个不同小球，全部放到n 个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？
2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
解：分为三类：1奇4偶有4
51
6C C ； 3奇2偶有2
53
6C C ； 5奇1偶有5
6C ，
∴一共有4516C C +2536C C +2365
6=C ．
3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2
32
4C C ； ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有133
4C C ； ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有233
4C C ， ∴一共有2
32
4C C +1
33
4C C +2
33
4C C ＝42种方法．
4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
解法一：（排除法）4221
31424152426=+-C C C C C C ．
解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有2
324C C ； 另一类为甲不值周一，但值周六，有2
414C C ， ∴一共有2414C C +2
324C C ＝42种方法．
5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有2
6C 种方法；
第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有5
5A 种方法．
根据分步计数原理，一共有2
6C 55A ＝1800种方法
6. 从6双不同手套中，任取4只， (1)恰有1双配对的取法是多少？ (2)没有1双配对的取法是多少？ (3)至少有1双配对的取法是多少？
课堂小节：本节课学习了组合数的应用 课堂练习：。