目标规划
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第三章 目标规化
§3.1 目标规划的数学模型
一.引例 某厂生产两种产品A和B，已知生产A产品100kg需8个工时， 生产B产品100kg需10个工时，假定每日可用的工时数为40，且希 望不雇临时工，也不加班生产。这两种产品每100kg 均可获利100 元。此外，有个顾客要求每日供应他B种产品600kg.问应如何安排 生产计划？
§3.2 目标规划的图解法
当决策变量只有两个时,可用图解法求解.
例1 用图解法求解:
min F { p1 (d1 ) p2 (d 2 ) p3 (d3 )} 100 x1 100 x2 d1 d1 800 8 x 10 x d d 1 2 2 2 40 x2 d3 d3 6 x1 , x2 0 d , d i 1.2.3 i i 0
一般来说，不同目标的重要程度是有区别的。在上述三个目标中， 品的产量尽量大”再次之，即可以获利尽量多为第一优先级目标,以 用人尽量少为第二优先级目标，以B产品的产量尽量大为第三优先 级目标。于是，可将该问题的目标规划模型写成 :
如果决策者认为“获利尽量多”最为重要，“用人尽量少”次之， “
min F { p1 (d1 ) p2 (d 2 ) p3 (d3 )} 100 x1 100 x2 d1 d1 800 8 x 10 x d d 1 2 2 2 40 x2 d3 d3 6 x1 , x2 0 d , d i 1.2.3 i i 0
在求解时，先求出满足目标 p1 的解，在不使目标 p1 的值变差的 前提下，再求满足目标 p2 的解；然后在不使目标
p1
及目标
p2
的值变差的前提下，再求满足目标 p3 的解，如此继续。这样,最终 得到的满足所有多级目标的解称为满意解.
包含偏差变量的目标函数F称为“达成函数”。
在一般线性规划中，“目标”和“约束”十分明确，这种目标和约
d 和负偏差变量 d 表示,且将约束条件写成等式.
若希望每日总利润达800元，则引入正负偏差变量，有
100 x1 100 x2 d1 d1 800 8 x 10 x d d 1 2 2 2 40 x d d 2 3 3 6 x1 , x2 0 d , d i 1.2.3 i i 0
min F p1 ( d1 ) p2 ( d 2 ) p3 ( d3 ) 2 x1 x2 d1 d1 200 x x d d 1 2 2 2 100 s.t x1 d3 d3 50 x1 , x2 0 d , d i 1, 2, 3 i i 0
这是一个多目标规划问题，其第一个目标和第二个目标明显矛盾， 不能同时满足。为此，必须分出轻重缓急，排出层次，决定哪一个 目标是第一位的，必须首先满足；哪个是第二位的，可在前一个目 标已得到满足的基础上尽量满足…… 不一定是不可改变的。因而，可考虑允许存在偏差，而以正偏差变 量
另外，上面约束中的右侧常数项（40和6）多是一种估计或期望，
这个约束的右侧常数 bi 。如同时包含di 和di ,则说明希望左右相等。
二.一般模型 一般的目标规划问题，假设有n个决策变量
x j ( j 1, 2,
, n)
m个约束条件（包括目标约束）, K个优先等级 ( K m) ，在同一
个优先级别中的目标，它们的正负偏差变量的重要程度还可以有差 别，这时可以给同一优先等级的正负偏差变量赋予不同的加权系数
wk 和wk ，这样目标规划问题的数学模型可表示为：
min F pk ( wki di wki di )
k Байду номын сангаас i 1 K m
n a x d d i 1, , m i i bi ij j j 1 s.t xj 0 j 1, , n di , di 0 i 1, , m
优先级1：三种新产品产生的总利润不得少于1.25亿元； 优先级2：避免员工水平低于4000人； 优先级3：将投资金额限制在5500万元； 优先级4：避免员工水平高于4000人。 总利润、员工水平以及资金投资规模都依赖于三种产品的
产量，每一产品对各个目标贡献与产量成比例关系，如表1
问应该如何拟定一个满意方案？
解
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 14 x1 2 x2 d3 d3 3 x1 , x2 0 di , di 0 i 1.2.3
表1 产品单位贡献 因素 1
总利润/百万元 员工水平/以百 为单位 投资资金（百 万）
目标
3 15 4
2 9 3
12 5
125
= 40
5
7
8
55
设 x1 , x2 , x3 分别为三种产品的产量，则有
min z p1d1 p2 d 2 p3d3 p4 d 4 12 x1 9 x2 15 x3 d1 d1 125 5 x1 3x2 4 x3 d 2 d 2 40 s.t. 5 x1 7 x2 8 x3 d3 d3 55 5 x1 3x2 4 x3 d 2 d 2 40 x , x , x , d , d , d , d , d , d , d , d 1 2 3 1 1 2 2 3 3 4 4 0
例2 某公司准备对产品进行更新换代。但是由于资金 有限，管理层不得不在三种新产品的投资上作出取舍。 另外，还需要考虑的是，这些决策是否会影响公司维持职 工的相对稳定等。经过管理科学工作者和公司管理高层开 会进行讨论，确定了如下目标： 目标1：新产品产生的总利润不得少于1.25亿元； 目标2：保持现有职工4000人的员工水平； 目标3：将投资金额限制在5500万元； 并且，他们对以上目标明确优先解决的次序：
先令各约束中的偏差变量 di , di (i 1, 2,3) 均为零,并在直角 坐标系下画出各约束直线.然后以箭头表示偏差变量增大时对约束边 界的影响.并用小圆圈把达成函数中的偏差变量圈起来.
例2 用图解法求解:
min F { p1 (d1 ) p2 (d 2 ) p3 (d3 )}
经过分析，“无解”的原因有两个：一是顾客对B产品的需求太大， 该工厂供应不了，仅能供给一部分；二是人力少了，不加班不雇临
时工完成不了任务。为了解决这个生产实际问题，就要寻求能使产 品B的产量尽量大和（或）消耗人力尽量少的方案。这样一来，就 又产生了两个新的目标，考虑到原来的目标和约束条件，可得:
max Z1 100 x1 100 x2 (获利尽量多） min Z 2 8 x1 10 x2 maxZ3 x2 8 x1 10 x2 40 s.t x2 6 x1 , x2 0 (用人尽量少） (B种产品产量尽量多）
解 设生产A、B两种产品的数量各为 x1和x2 （均以100kg计），如 以利润最大为目标则可得如下模型：
max Z 100 x1 100 x2 8 x1 10 x2 40 s.t x2 6 x1 , x2 0
这是一个一般的线性规划模型，由于其中的两个约束条件矛盾， 故无可行解；但是，它是一个实际问题，应该存在某种解决办法。
具有“绝对”的意义，即所谓硬约束.在目标规划中，常将约束条件的
的右侧值看成“追求的目标”，允许实现目标和满足约束有正偏差和 负偏差（由正、负偏差变量体现）。当然，在目标规划模型中，也 可含有某种绝对约束.
d 注意：在达成函数中，如包含正偏差变量 i ，说明不希望超过
这个约束的右侧常数 bi ；如包含负偏差变量 di ，说明不希望少于
三.几个例子 通过几个例子说明如何建立实际问题的目标规划模型。
例1 某工厂因生产需要欲采购一种原材料，市场上的这种原料有
两个等级，甲级单价2元/千克，乙级单价1元/千克。要求所花总费用 不超过200元，购得原材料总量不少于100千克，其中甲级原料不少 于50千克。问如何确定最好的采购方案？ 解 设 x1 , x2 分别为采购甲级和乙级原料的数量（千克），引入正 、负偏差变量和目标的优先级，由题意可得:
§3.1 目标规划的数学模型
一.引例 某厂生产两种产品A和B，已知生产A产品100kg需8个工时， 生产B产品100kg需10个工时，假定每日可用的工时数为40，且希 望不雇临时工，也不加班生产。这两种产品每100kg 均可获利100 元。此外，有个顾客要求每日供应他B种产品600kg.问应如何安排 生产计划？
§3.2 目标规划的图解法
当决策变量只有两个时,可用图解法求解.
例1 用图解法求解:
min F { p1 (d1 ) p2 (d 2 ) p3 (d3 )} 100 x1 100 x2 d1 d1 800 8 x 10 x d d 1 2 2 2 40 x2 d3 d3 6 x1 , x2 0 d , d i 1.2.3 i i 0
一般来说，不同目标的重要程度是有区别的。在上述三个目标中， 品的产量尽量大”再次之，即可以获利尽量多为第一优先级目标,以 用人尽量少为第二优先级目标，以B产品的产量尽量大为第三优先 级目标。于是，可将该问题的目标规划模型写成 :
如果决策者认为“获利尽量多”最为重要，“用人尽量少”次之， “
min F { p1 (d1 ) p2 (d 2 ) p3 (d3 )} 100 x1 100 x2 d1 d1 800 8 x 10 x d d 1 2 2 2 40 x2 d3 d3 6 x1 , x2 0 d , d i 1.2.3 i i 0
在求解时，先求出满足目标 p1 的解，在不使目标 p1 的值变差的 前提下，再求满足目标 p2 的解；然后在不使目标
p1
及目标
p2
的值变差的前提下，再求满足目标 p3 的解，如此继续。这样,最终 得到的满足所有多级目标的解称为满意解.
包含偏差变量的目标函数F称为“达成函数”。
在一般线性规划中，“目标”和“约束”十分明确，这种目标和约
d 和负偏差变量 d 表示,且将约束条件写成等式.
若希望每日总利润达800元，则引入正负偏差变量，有
100 x1 100 x2 d1 d1 800 8 x 10 x d d 1 2 2 2 40 x d d 2 3 3 6 x1 , x2 0 d , d i 1.2.3 i i 0
min F p1 ( d1 ) p2 ( d 2 ) p3 ( d3 ) 2 x1 x2 d1 d1 200 x x d d 1 2 2 2 100 s.t x1 d3 d3 50 x1 , x2 0 d , d i 1, 2, 3 i i 0
这是一个多目标规划问题，其第一个目标和第二个目标明显矛盾， 不能同时满足。为此，必须分出轻重缓急，排出层次，决定哪一个 目标是第一位的，必须首先满足；哪个是第二位的，可在前一个目 标已得到满足的基础上尽量满足…… 不一定是不可改变的。因而，可考虑允许存在偏差，而以正偏差变 量
另外，上面约束中的右侧常数项（40和6）多是一种估计或期望，
这个约束的右侧常数 bi 。如同时包含di 和di ,则说明希望左右相等。
二.一般模型 一般的目标规划问题，假设有n个决策变量
x j ( j 1, 2,
, n)
m个约束条件（包括目标约束）, K个优先等级 ( K m) ，在同一
个优先级别中的目标，它们的正负偏差变量的重要程度还可以有差 别，这时可以给同一优先等级的正负偏差变量赋予不同的加权系数
wk 和wk ，这样目标规划问题的数学模型可表示为：
min F pk ( wki di wki di )
k Байду номын сангаас i 1 K m
n a x d d i 1, , m i i bi ij j j 1 s.t xj 0 j 1, , n di , di 0 i 1, , m
优先级1：三种新产品产生的总利润不得少于1.25亿元； 优先级2：避免员工水平低于4000人； 优先级3：将投资金额限制在5500万元； 优先级4：避免员工水平高于4000人。 总利润、员工水平以及资金投资规模都依赖于三种产品的
产量，每一产品对各个目标贡献与产量成比例关系，如表1
问应该如何拟定一个满意方案？
解
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 14 x1 2 x2 d3 d3 3 x1 , x2 0 di , di 0 i 1.2.3
表1 产品单位贡献 因素 1
总利润/百万元 员工水平/以百 为单位 投资资金（百 万）
目标
3 15 4
2 9 3
12 5
125
= 40
5
7
8
55
设 x1 , x2 , x3 分别为三种产品的产量，则有
min z p1d1 p2 d 2 p3d3 p4 d 4 12 x1 9 x2 15 x3 d1 d1 125 5 x1 3x2 4 x3 d 2 d 2 40 s.t. 5 x1 7 x2 8 x3 d3 d3 55 5 x1 3x2 4 x3 d 2 d 2 40 x , x , x , d , d , d , d , d , d , d , d 1 2 3 1 1 2 2 3 3 4 4 0
例2 某公司准备对产品进行更新换代。但是由于资金 有限，管理层不得不在三种新产品的投资上作出取舍。 另外，还需要考虑的是，这些决策是否会影响公司维持职 工的相对稳定等。经过管理科学工作者和公司管理高层开 会进行讨论，确定了如下目标： 目标1：新产品产生的总利润不得少于1.25亿元； 目标2：保持现有职工4000人的员工水平； 目标3：将投资金额限制在5500万元； 并且，他们对以上目标明确优先解决的次序：
先令各约束中的偏差变量 di , di (i 1, 2,3) 均为零,并在直角 坐标系下画出各约束直线.然后以箭头表示偏差变量增大时对约束边 界的影响.并用小圆圈把达成函数中的偏差变量圈起来.
例2 用图解法求解:
min F { p1 (d1 ) p2 (d 2 ) p3 (d3 )}
经过分析，“无解”的原因有两个：一是顾客对B产品的需求太大， 该工厂供应不了，仅能供给一部分；二是人力少了，不加班不雇临
时工完成不了任务。为了解决这个生产实际问题，就要寻求能使产 品B的产量尽量大和（或）消耗人力尽量少的方案。这样一来，就 又产生了两个新的目标，考虑到原来的目标和约束条件，可得:
max Z1 100 x1 100 x2 (获利尽量多） min Z 2 8 x1 10 x2 maxZ3 x2 8 x1 10 x2 40 s.t x2 6 x1 , x2 0 (用人尽量少） (B种产品产量尽量多）
解 设生产A、B两种产品的数量各为 x1和x2 （均以100kg计），如 以利润最大为目标则可得如下模型：
max Z 100 x1 100 x2 8 x1 10 x2 40 s.t x2 6 x1 , x2 0
这是一个一般的线性规划模型，由于其中的两个约束条件矛盾， 故无可行解；但是，它是一个实际问题，应该存在某种解决办法。
具有“绝对”的意义，即所谓硬约束.在目标规划中，常将约束条件的
的右侧值看成“追求的目标”，允许实现目标和满足约束有正偏差和 负偏差（由正、负偏差变量体现）。当然，在目标规划模型中，也 可含有某种绝对约束.
d 注意：在达成函数中，如包含正偏差变量 i ，说明不希望超过
这个约束的右侧常数 bi ；如包含负偏差变量 di ，说明不希望少于
三.几个例子 通过几个例子说明如何建立实际问题的目标规划模型。
例1 某工厂因生产需要欲采购一种原材料，市场上的这种原料有
两个等级，甲级单价2元/千克，乙级单价1元/千克。要求所花总费用 不超过200元，购得原材料总量不少于100千克，其中甲级原料不少 于50千克。问如何确定最好的采购方案？ 解 设 x1 , x2 分别为采购甲级和乙级原料的数量（千克），引入正 、负偏差变量和目标的优先级，由题意可得: