2020年福建省福州一中高考数学模拟试卷(文科)(6月份)

2020年福建省福州一中高考数学模拟试卷（文科）（6月份）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={x|x <a}，B ={x|1<x <2}，且A ∪(∁R B)=R ，则实数a 的取值范围是( )
A. a ≤1
B. a <1
C. a ≥2
D. a >2
2. 复数z =|√3−i
i
|−i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )
A. 2−i
B. 2+i
C. 4−i
D. 4+i
3. 已知平面向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(2,3)，若向量2a ⃗ +b ⃗ 与向量b ⃗ 共线，则x =( )
A. 7
2
B. 5
2
C. 3
2
D. 1
2
4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，且m ⊥α，“m ⊥n ”是“n//α”的( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知a =4− 1
2, b =log 49, c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A. a <b <c
B. a <c <b
C. c <a <b
D. c <b <a
6. 已知正项等比数列{a n }的首项和公比相等，数列{b n }满足b n =log 2a n ，且b 1+b 2+b 3=12，则a 4=( )
A. 4
B. 32
C. 108
D. 256
7. 已知函数f(x)={e x , x ≤0
lnx , x >0
，则不等式f(x)≤12的解集是( )
A. (−∞, −ln2]∪(0, √e]
B. (−∞,−ln2)
C. (0, √e]
D. (−∞, −ln2)∪(0, √e)
8. 在区间[−1,1]上随机取一个数k ，使直线y =k(x +3)与圆x 2+y 2=1相交的概率为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. √24
D. √23
9. 函数f(x)=(2x −2−x )sinxcosx 的部分图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ) (ω>0, |φ|<π
2)，对于满足|f(x 1)−f(x 2)|=4的x 1，x 2，有|x 1−
x 2|min =
3π
2
，又f(π
2)=0，则下列说法正确的是( ) A. ω=2
B. 函数y =f(x −π
2)为偶函数 C. 函数f(x)在[−π4,3π4]上单调递增 D. 函数y =f(x)的图象关于点(π
4,0)对称
11. 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AB 与
抛物线C 的准线l 交于点D ，AA 1⊥l 于A 1，若△AA 1D 的面积等于8√3，则p =( )
A. 3
2
B. 2
C. 5
2
D. 4
12. 如图，正三棱锥P −ABC 的侧棱长为2，底面边长为2√2，D ，E 分别是AC ，
AB 的中点，M 是PD 上的动点，N 是平面PCE 上的动点，则AM +MN 的最小值是( )
A. √3
2 B. √64 C. √2+√64 D. √2+√62
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. cos15°cos45°−cos75°cos45°=______．
14. 已知变量x ，y 满足{x ≥1
x −y −2≤04x +y −8≤0
，则z =2−2x−y 的最大值是______．
15. 在△ABC 中，点A ，B 分别是双曲线E 的左、右焦点，点C 在双曲线E 上，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线E 的离心率为______．
16. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足bcosC +(a +c)(bsinC −1)=0，a +c =√3，
则角B =______，△ABC 的周长的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知等差数列{a n }，且a 3=5，S 10=100．
(1)求数列{a n }的通项公式以及数列的前n 项和S n ；
(2)设b n =2a n +1−1，求数列{b n }的前n 项和T n ，并比较T n 与4S n 的大小(不需要证明)．
18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，点E 在PA 线段上，PC//平
面BDE ．
(1)请确定点E 的位置；并说明理由．
(2)若△PAD 是等边三角形，AB =2AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，四棱锥P −ABCD 的体积为9√3，求点E 到平面PCD 的距离．
19.2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生
活垃圾污染环境的防治”进行了专项规定．某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义，并采购分类垃圾箱．为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机抽取了200位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价．根据调查结果统计并做出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图，如图：
在这200份问卷中，持满意态度的频率是0.65．
(1)完成下面的2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民
对该小区采取的措施的评价有差异；
满意不满意总计
51岁及以上的居民
50岁及以下的居民
总计200
(2)按“51岁及以上”和“50岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取5份，再从这5份
调查问卷中随机抽取2份进行电话家访，求电话家访的两位居民恰好一位年龄在51岁及以上，另一位年龄在50岁及以下的概率．
附表及参考公式：
P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001
k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828
K2=n(ad−bc)2
，其中n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20. 已知经过圆C 1：x 2+y 2=r 2上点(x 0,y 0)的切线方程是x 0x +y 0y =r 2．
(1)类比上述性质，直接写出经过椭圆C 2：
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)上一点(x 0,y 0)的切线方程；
(2)已知椭圆E ：x 26
+y 2=1，P 为直线x =3上的动点，过P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A 、B ， ①求证：直线AB 过定点． ②当点P 到直线AB 的距离为
3√5
5
时，求三角形PAB 的外接圆方程．
21. 已知函数f(x)=e x −x −1，(e 是自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若函数F(x)=e x f(x)，证明：F(x)有极大值F(x 0)，且满足1
e 2<F(x 0)<1
4．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα
y =tsinα
(t 为参数，0≤α<π)，以原点O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=12
3+sin 2θ． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)已知F(1,0)，曲线C 1与C 2的交点A ，B 满足|BF|=2|AF|(A 为第一象限的点)，求cosα的值．
23.已知函数f(x)=|x−2|−2|x|．
(1)求解不等式：f(x)≥−x2；
(2)设a，b，c为正实数，若函数f(x)的最大值为m，且a+b+2c=m.求证：ab+ac+bc+c2≤1．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵∁R B={x|x≤1，或x≥2}，
∴若A∪(∁R B)=R；
∴a≥2．
故选C．
先求出∁R B，从而根据集合A及A∪(∁R B)=R即可求出a的取值范围．考查描述法表示集合，以及集合的并集、补集运算，也可借助数轴求解．2.【答案】B
【解析】解：复数z=|√3−i
i |−i=|√3−i|
|i|
−i=2−i，
∴复数z的共轭复数为z=2+i．
故选：D．
化简复数z，写出z的共轭复数即可．
本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．
3.【答案】C
【解析】解：平面向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(2,3)，
则2a⃗+b⃗ =(4,2x+3)，
又向量2a⃗+b⃗ 与向量b⃗ 共线，
所以3×4−2(2x+3)=0，
解得x=3
2
．
故选：C．
根据平面向量的坐标运算和共线定理，计算即可．
本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．4.【答案】A
【解析】解：当m ⊥α，且m ⊥n ，则n ⊂α或n//α， 当m ⊥α，且n//α，则m ⊥n ，
故，“m ⊥n ”是“n//α”的必要不充分条件， 故选：A ．
直接利用充分条件和必要条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的逻辑思维能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵4−1
2=12，log 49>log 44=1，1
2=log 331
2<log 32<log 33=1，
∴a <c <b ． 故选：B ．
可以得出4−1
2=1
2
，log 49>1，1
2<log 32<1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵正项等比数列{a n }的首项和公比相等， 故a n =q n ；
由题可得：b 1+b 2+b 3=log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=log 2a 23
=12； ∴a 23=212=(24)3，
∴a 2=24=42； ∴q =4； ∴a 4=44=256， 故选：D ．
由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案． 本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
7.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)={e x , x ≤0lnx , x >0，则由不等式f(x)≤12可得{x ≤0e x ≤12 ①，或{x >0lnx ≤12 ②．
解①可得x ≤ln 1
2=−ln2，解②可得0<x ≤√e ， 故选：A ．
由题意利用分段函数的知识，解指数、对数不等式，求得x 的范围． 本题主要考查分段函数的应用，指数、对数函数的解法，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】 【分析】
本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键是弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于较易题．
利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k 的范围，最后根据几何概型的概率公式可求出所求． 【解答】
解：圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)， 圆心到直线y =k(x +3)的距离为
√k 2+1
，
要使直线y =k(x +3)与圆x 2+y 2=1相交， 则√k 2+1<1，解得−√24<k <√2
4． ∴在区间[−1,1]上随机取一个数k ，
使y =k(x +3)与圆x 2+y 2=1相交的概率为2√2
4
2
=
√24
． 故选：C ．
9.【答案】B
【解析】解：f(−x)=(2−x −2x )sin(−x)cos(−x)=(2x −2−x )sinxcosx =f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除A ；
f(π
2)=0,f(π)=0,f(1)=3
2sin1cos1>0,f(2)=154
sin2cos2<0，可排除C ，D ；
故选：B ．
由函数的奇偶性，函数的零点以及特殊点的函数值即可得出选项．
本题考查利用函数性质确定函数图象，考查属数形结合思想，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】根据题意T =2|x 1−x 2|min =3π，则T =
2πω
=3π，故ω=2
3
，
f(π
2)=2sin(π
3+φ)=0，故π
3+φ=kπ，k ∈Z ，当k =0时，φ=−π
3满足条件， 故f(x)=2sin(2
3x −π
3)，故A 错误， y =f(x −π
2)=2sin(2
3x −2π3
)，不是偶函数，故B 错误；
当x ∈[−π4,
3π
4]时，2
3x −π
3∈[−π2,π
6
]，故函数单调递增，C 正确； f(π4
)=2sin(23
×π4
−π3
)=2sin(−π6
)≠0，D 错误． 故选：C ．
根据最值和周期结合三角函数值解得f(x)=2sin(2
3x −π
3)，再根据奇偶性和单调性，对称性依次判断每个选项得到答案．
本题考查了三角函数的解析式，周期，最值，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用．
11.【答案】B
【解析】解：抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F(p 2,0)，准线方程为x =−p
2， 设|BF|=t ，由AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =3 FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|AF|=3t ，|AB|=4t ， 过B 作BN ⊥l 于N ，可得|BN|=|BF|=t ， 又|AA 1|=|AF|=3t ， 在△AA 1D 中，|BN||AA 1
|=|BD|
|AD|，
即为t 3t =|BD|
|BD|+4t ，可得|BD|=2t ， 在△DMF 中，|BN|
|MF|=|DB|
|DF|，即为t
p =2t
2t+t ， 解得p =3
2t ，
又△AA 1D 的面积等于8√3，可得1
2⋅3t ⋅√(6t)2−(3t)2=8√3，解得t =4
3，
则p=3
2×4
3
=2．
故选：B．
分别求得抛物线的焦点和准线方程，设出|BF|=t，可得|AF|=3t，|AB|=4t，过B作BN⊥l于N，运用抛物线的定义和三角形相似的性质，以及三角形的面积公式，计算可得所求值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查三角形的相似的性质和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：取CE中点O，连接PO，则OD//AE，OD=1
2AE=1
4
AB=√2
2
，
∵CA=CB，PA=PB，E是AB的中点，
∴AB⊥CE，AB⊥PE，
∴AB⊥平面PCE，又DO//AB，
∴DO⊥平面PCE，
∴当AM+MN最小时，MN⊥平面PCE，故N在线段PO上．
∵PA=PC=2，AC=2√2，∴PA⊥PC，故PD=DA，∴∠APM=45°，
又sin∠OPD=OD
PD =1
2
，∴∠OPD=30°，
将△PDO沿PD翻折到平面PAD上，如图所示：则∠APO=30°+45°=75°，
则AM+MN的最小值为A到PO的距离PAsin75°=2×√6+√2
4=√6+√2
2
．
故选：D．
当AM+MN最小时，MN⊥平面PCE，得出点N的轨迹，将两个三角形展开到同一个平面上计算最短距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的结构特征，属于中档题．
13.【答案】1
2
【解析】解：cos15°cos45°−cos75°cos45°=cos15°cos45°−sin15°sin45°=cos(15°+45°)=1
2
，
故答案为：1
2
．
由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，求得结果．
本题主要考查两角和的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】1
2
【解析】解：作出变量x ，y 满足{x ≥1
x −y −2≤04x +y −8≤0，对应的平面区域
如图：
由u =−2x −y 得y =−2x −u ， 平移直线y =−2x −u ，
由图象可知当直线y =−2x −u 经过点A 时，直线的纵截距最小，此时u 最大，
由{x =1x −y −2=0，可知A(1,−1) 此时u =−1，
则z =2−2x−y 的最大值是1
2． 故答案为：1
2．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15.【答案】√2+1
【解析】解：设双曲线的半焦距为c ，
由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AB ⊥AC ，且C 在抛物线的左支上， 由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=0， 则|AB|=|AC|=2c ，|BC|=2√2c ， 由双曲线的定义可得|CB|−|CA|=2a ， 即2√2c −2c =2a ， 则e =c
a =2√2−2=√2+1． 故答案为：√2+1．
设双曲线的半焦距为c ，由向量的数量积的性质可得AB ⊥AC ，|AB|=|AC|，且C 在抛物线的左支上，运用双曲线的定义和等腰直角三角形的性质，可得离心率．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】π
3 [3√3
2
, 2√3)
【解析】解：因为bcosC +(a +c)(bsinC −1)=0，a +c =√3， 所以bcosC +√3bsinC =a +c ，
由正弦定理可得sinBcosC +√3sinBsinC =sinC +sinA =sinC +sin(B +C)， 整理可得，√3sinBsinC =sinC +sinCcosB ， 因为sinC ≠0，
所以√3sinB =1+cosB 即√3sinB −cosB =1， 故2sin(B −π
6)=1， 所以sin(B −π
6)=1
2， 因为B 为三角形的内角， 所以B =π
3， 因为A ∈(0,
2π3)，
所以A +π
6∈(π6,
5π
6
)，sin(A +π
6)∈(1
2,1], 由正弦定理可得，b
sinB =a+c sinA+sinC ， 所以√3
2
=
√3
sinA+sin(
2π
3
−A)，
整理可得，b =3sinA+√3cosA =√3
√3sinA+cosA =√3
2sin(A+π6
)∈[√3
2,√3),
所以a +b +c =√3+b ∈[3√3
2
,2√3)． 故答案为：[
3√3
2
,2√3)． 由已知结合正弦定理及和差角公式，辅助角公式进行化简可求B ；
然后结合正弦定理先表示b ，再结合辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解． 本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 17.【答案】解：(1)∵{a 1+2d =510a 1+10×92×d =100，⇒ {a 1
=1
d =2． a n =a 1+(n −1)×d =2n −1；
S n=na1+n⋅(n−1)
2
×d=n2．(2)∵b n=22n−1=4n−1，
∴T n=(4+42+⋯+4n)−n=4⋅(1−4n)
1−4−n=4
3
⋅(4n−1)−n．
∴T n−4S n=4
3
⋅(4n−1)−n−4n2．
又∵4n比较n+4n2的增长速度更快．
∴当n=1时，T1−4S1=−1<0；
当n=2时，T2−4S2=2>0．
∴当n≥2时，T n>4S n．
【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式和前n项和公式．
(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的和，在比较出大小．
本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)点E为AP的中点，连接AC交BD于O，当E为AP的中点时，点O为AC的中点，∴在△APC中，EO//PC，EO⊂平面BDE，
PC⊄平面BDE.∴PC//平面BDE，
(2)取AD的中点为F，∵△PAD为等边三角形，∴PF⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PF⊥平面ABCD，
CD⊂平面ABCD，∴PF⊥CD，CD⊥AD，
AD，PF⊂平面APD，AD∩PF=F，∴CD⊥平面APD，
CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PCD，
平面PAD∩平面PCD=PD，做EG⊥PD，∴EG⊥平面PCD，
即点E到平面PCD的距离为EG，
设边长AD=x，则AB=2x,PF=√3
2
x，
V P−ABCD=1
3⋅PF⋅S
矩形ABCD
=1
3
⋅√3
2
x⋅x⋅2x=9√3，
解得x=3，
又V E−PCD=V C−PDE，设点E到平面PCD的距离为h，
即1
3⋅ℎ⋅S△PCD=1
3
⋅CD⋅S△PDE，
∴1
3⋅ℎ⋅1
2
⋅x⋅2x=1
3
⋅2x⋅1
2
⋅1
2
x⋅√3
2
x，
∴ℎ=√3
4x=3√3
4
，
∴求得E到平面PCD的距离为3√3
4
．
【解析】(1)连结AC.BD，交于点M，连结ME则M是AC中点，由PC//平面BDE，得PC//ME，由此能证明AE=PE；
(2)设AD=x，根据四棱锥P−ABCD的体积为9√3列关于x的方程，解出x，设点E到平面PCD的距离为h，再利用等体积法转换顶点列关于h的方程，解方程即可得答案．
本题考查线段相等的证明，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19.【答案】解：(1)在这200份问卷中，持满意态度的频数为200×0.65=130，
持不满意态度和频数为200−130=70；
填写列联表为：
由列联表中数据，计算
K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(45×35−85×35)2
80×120×130×70
≈4.487>3.841，
所以有95%的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异；
(2)利用分层抽样的特点可知：“51岁以上”居民抽到2份记为：a1，a2；
“50岁以下”居民抽到3份记为：b1，b2，b3；
所以基本事件列举为：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，
(a 2,b 1)，(a 2,b 2)，(a 2,b 3)，
(b 1,b 2)，(b 1,b 3)，(b 2,b 3)共有10个；
满足条件的事件是：(a 1,b 1)，(a 1,b 2)，(a 1,b 3)， (a 2,b 1)(a 2,b 2)，(a 2,b 3)共有6个；
所以求得电话家访的两位居民恰好一位年龄在“51岁以上”，另一位年龄在“50岁以下”的概率为： P(A)=610=3
5．
【解析】(1)由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
(2)利用分层抽样法求出抽到的份数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)切线方程为：x 0
x
a 2+
y 0y b 2
=1．
(2)设切点为A(x 1,y 2)，B(x 2,y 2)，点P(3,t)，由(1)的结论的 AP 直线方程：
x 1x 6
+y 1y =1，BP 直线方程：
x 2x 6
+y 2y =1，
通过点P(3,t)，∴有{x 1×3
6+y 1×t =1
x 2×3
6+y 2×t =1
，∴A ，B 满足方程：x
2+ty =1，
∴直线AB 恒过点：{x
2−1=0
y =0即直线AB 恒过点(2,0)．
又∵已知点P(3,t)到直线AB 的距离为
3√55.∴2
=
3√5
5
⇒5t 4−4t 2−1=0，(5t 2+1)(t 2−1)=0，∴t =±1． 当t =1时，点P(3,1)，直线AB 的方程为：x +2y −2=0． {x +2y −2=0x 2+6y 2
=6
求得交点A(0, 1), B(125, −1
5), P(3, 1)． 设△PAB 的外接圆方程为：x 2
+y 2
+Dx +Ey +F =0，代入得{E +F =−1
3D +E +F =−1012D −E +5F =−29
，
解得：△PAB 的外接圆方程为x 2+y 2−3x −2y +1=0 即△PAB 的外接圆方程为：(x −3
2)2+(y −1)2=9
4．
【解析】(1)利用类比推理，直接写出结果即可．
(2)设切点为A(x 1,y 2)，B(x 2,y 2)，点P(3,t)，写出AP 直线方程，BP 直线方程，推出A ，B 满足方程：x
2
+ty =1，
得到直线AB恒过点(2,0)，通过点P(3,t)到直线AB的距离为3√5
5
，求解t，当t=1时，转化求解PAB的外接圆方程，当t=−1时，求解三角形PAB的外接圆方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，切线方程的求法，类比推理思想方法的应用，是中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=e x−1(x∈R)，设f′(x)=0⇒x=0………………(1分)
∴当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；………………(2分)
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
即函数f(x)的减区间为(−∞,0)；增区间为(0,+∞).………………(3分)
(2)证明：F(x)=e x(e x−x−1)，F′(x)=e x(e x−x−1)+e x(e x−1)=e x(2e x−x−2)，
设ℎ(x)=2e x−x−2，且ℎ(0)=2e0−0−2=0………………(4分)
∵ℎ′(x)=2e x−1=0，在x∈(0,+∞)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数，
∴ℎ(x)>ℎ(0)=0．
∴F′(x)>0，F(x)在x∈(0,+∞)上是单调递增，没有极值．………………(5分)
∵ℎ′(x)=2e x−1=0，⇒x=−ln2．
在x∈(−∞,−ln2)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，………………(6分)
∴ℎ(−1)=(2e−1+1−2)=(2
e
−1)<0，ℎ(−2)=(2e−2+2−2)=(2e−2)>0．
由根的存在性定理：设x0∈(−2,−1)，使得：ℎ(x0)=0，
即F′(x0)=e x0ℎ(x0)=0.………………(8分)
∵在x∈(−∞,x0)，F′(x)=e xℎ(x)>0，∴F(x)单调递增；在x∈(x0,+∞)，F′(x)=e xℎ(x)<0，∴F(x)单调递减；
∴F(x)有极大值F(x0).………………(9分)
∵有F(x0)>F(−1)=e−1(e−1+1−1)=1
e2
.………………(10分)
又∵ℎ(x0)=2e x0−x0−2=0，∴e x0=x0+2
2
，………………(11分)，
F(x0)=e x0(e x0−x0−1)=x0+2
2
(
x0+2
2
−x0 −1)=−
1
4
x0(x0+2)=
1
4
−
1
4
(x0+1)2<
1
4
.(α≠
π
2
)
综上可得：函数F(x)有极大值F(x0)，且满足1
e2<F(x0)<1
4
.………………(12分)
【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解．
(2)先对函数F(x)求导，然后结合导数与极值的关系可证，然后转化为求解函数的值域范围，结合函数性质可求．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用导数求解与导数有关的范围问题，体现了转化思想的应用．
22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα
y =tsinα(t 为参数，0≤α<π)，转换为普通方程为y =tanα⋅
x −tanα．
曲线C 2的极坐标方程为ρ2=12
3+sin 2θ.根据{x =ρcosθ
y =ρsinθ
x 2+y 2=ρ2
转换为普通方程为3x 2+4y 2=12，
整理得C 2：
x 24
+
y 23
=1，
(2)设A ，B 对应的直线参数为t 1，t 2，且t 1>0，t 2<0，将{x =1+tcosα,y =tsinα,代入x 24+y 2
3=1，
得(3+sin 2α)t 2+6cosα⋅t −9=0， ∴t 1+t 2=
−6cosα
3+sin 2α①，t 1⋅t 2=−9
3+sin 2α
② ∵已知|BF|=2|AF|，∴2t 1=−t 2③. 联立①，③得：t 1=6cosα
3+sin 2α，t 2=
−12cosα3+sin 2α
，代入③式，6cosα3+sin 2α⋅−12cosα3+sin 2α=−9
3+sin 2α，
∴8cos 2α=3+sin 2α.
∴cos 2α=4
9，(α为锐角) ∴cosα=23．
【解析】(1)直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，再把曲线的极坐标方程转换为普通方程．
(2)利用(1)的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出系数的关系式，再利用三角函数的关系式的变换求出结果
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
23.【答案】解：(1)当x ≤0时，f(x)=−(x −2)+2x =x +2；
当0<x ≤2时，f(x)=−(x −2)−2x =−3x +2； 当x >2时，f(x)=(x −2)−2x =−x −2． 综合得：f(x)={x +2 (x ≤0)
−3x +2 (0<x ≤2)−x −2 (x >2)
．
作出函数y=f(x)的图象与y=−x2的图象如图：
由图可得，不等式f(x)≥−x2的解集为{x|x≤1或x≥2}；
证明：(2)由函数f(x)的图象，得f(x)的最大值是2，即m=2．
∴a+b+2c=2，
∴ab+ac+bc+c2=a(b+c)+c(b+c)
=(b+c)(a+c)≤[(a+c)+(b+c)
2]2=(2
2
)2=1．
当且仅当a+c=b+c=1时，上式等号成立．
∴ab+ac+bc+c2≤1．
【解析】(1)对x分段，写出分段函数解析式，画出图形，数形结合可得不等式f(x)≥−x2的解集；(2)由(1)可得m值，代入a+b+2c=m.然后利用基本不等式证明ab+ac+bc+c2≤1．
本题考查绝对值不等式的解法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。