概率论与数理统计第4章作业题解25554

第四章作业题解

4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知

,X Y 的概率分布如下表所示:

如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？

解： 11.032.023.014.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E

9.0032.025.013.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E

因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。

4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ).

解：X 的可能取值为3,4,5.

因为1.01011)3(35====C X P ；3.010

3

)4(3523====C C X P ；

6.010

6

)5(3524====C C X P

所以 5.46.053.041.03)(=⨯+⨯+⨯=X E

4.3 设随机变量X 的概率分布1

{}(0,1,2,),(1)k

k a P X k k a +==

=+其中0a >是个常

数，求()E X

解: 1121

1

1()(1)(1)(1)k k k k k k a a

a E X k

k a a a -∞∞

+-====+++∑∑，下面求幂级数1

1k k kx ∞

-=∑的和函数，易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有

1

2

1

1

1

()(),1,1(1)k k k k x kx

x x x x ∞

∞

-==''===<--∑∑

根据已知条件，0a >，因此011a

a

<

<+，所以有 2

21

()(1)(1)1a E X a a a a

=

=+-+.

4.4 某人每次射击命中目标的概率为p , 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.

解：因为X 的可能取值为1,2,……。依题意，知X 的分布律为

1()

,1,1,2,

k P X k q p q p k -===-=

所以)1(

)()()(1

1

1

1

'-='='==

∑∑∑∞

=∞=∞

=-q

q p q p q p p kq

X E k k k k

k k p p p q p

1

1)1(12

2=⋅=-=

4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15

分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期 望能得到多少分？

解：设4次射击中命中目标的子弹数为X ，得分为Y ，则X ~B (4,0.6)

因为 0256.04.06.0)0(4

4=⨯==C X P

1536.04.06.0)1(311

4=⨯==C X P 3456.04.06.0)2(2224=⨯==C X P 3456.04.06.0)3(1334=⨯==C X P 1296.04.06.0)4(0444=⨯==C X P

所以Y 的分布律为

故期望得分为

1296.01003456.0553456.0301536.0150256.00)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E

= 44.64

4.6 设随机变量 X 的概率分布为1

32

{(1)}(1,2,,),3

k

k k

k P X k +=-=

=说明X 的期望不

存在。

解:级数

1

1

1

1322

(1)

3k k k

k k k k k x

p k k

∞

∞

∞

+====-⨯=∑∑∑发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而X 的期望不存在.

4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其

概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.

解：设遇到红灯次数为X ，依题意，知X ~B (3,0.4)

故 2.14.03)(=⨯=X E

4.8 设随机变量X 的概率密度函数为

,01,()2,120,x x f x x x ≤≤⎛

=-<≤ ⎝

其他, 求().E X

解：3

1

2

2

12320

1

1

1()()(2)()

1.3

3

x E X xf x dx x dx x x dx x x +∞

-∞

=

=+-=

+-=⎰

⎰⎰

4.9设随机变量X 的概率密度函数为

,02,(),240,ax x f x bx c x <<⎛

=+≤≤ ⎝

其他

又3

()2,{13}4

E X P X =<<=,求常数,,a b c 的值. 解： 由

()1f x dx +∞

-∞

==

⎰

2

40

2

()axdx bx c dx ++⎰

⎰，得 1262=++c b a ①

因为 dx c bx x dx xax dx x xf X E ⎰⎰⎰++==

+∞

∞-42

20)()()(c b a 63

56

38++= 所以，由2)(=X E ，得263

56

38=++c b a ②

又 =++=<<⎰⎰dx c bx dx ax X P 3221)()31(c b a ++=25

23

由 43)31(=<

3

2523=++c b a ③

解联立方程①②③，得41=a ，4

1

-=b ，1=c

4.10 设随机变量X 的概率密度函数为2

1

(),,(1)

f x x x π=

-∞<<+∞+说明X 的期望不