人教版初中数学中考专题复习《圆的综合题》导学案

人教版初中数学中考专题复习《圆的综合题》黔东南州复习专版
导学案
黎平县地坪附中刘永怀
姓名： 班级： §复习目标
1.重温圆的知识，掌握基本定理和公式
2.掌握中考最新考题考点
§教学过程 一、温故知新
圆常考相关知识
★这个符号为高频考点，几何语言是中考书写过程拿分的关键，要掌握。

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

★ 如右图几何语言：∵O 的直径CD 垂直于弦AB ，且垂足为点E （已知）
∴AE=BE=AB 2
1
，弧AD=弧BD ，弧AC=弧BC （垂径定理）
考试时，通常只有半径OD ⊥AB ，也能
2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

如右图几何语言：∵在O 中，∠AOB=∠COD （已知或已证） ∴AB=CD ，AB=CD （圆心角定理）
备注：在同圆或等圆中，相等的圆心角，相对的弧，相对的弦，
三者知一推二。

3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

★
几何语言：∵∠C 与∠D 是劣弧AB 所对的圆周角，∠AOB 是劣弧AB 所对的圆心角（由图可知）
∴∠C=∠D=AOB 2
1
（圆周角定理）
圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；★ ②直径所对的圆周角是直角★；
如右图几何语言：∵BE 是O 的直径（已知）
∴∠C=∠AEB （同弧所对的圆周角相等） ∴∠D=90°（直径所对的圆周角是直角）
③90°圆周角所对的弦是直径（可以用于证明某条弦是直径）。

如右图几何语言：∵∠D 是O 中弦BE 所对的圆周角，且∠D=90°（已知） ∴BE 是O 的直径（90°圆周角所对的弦是直径）
4、圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。

★
5、弦切角定理：如果有一个角的两条边，一条边与圆相交， 另一条边与圆相切，则于圆相交的两点之间的弧所对的圆周 角与这个角相等，我们把这个角叫做弦切角。

几何语言：
如图所示：∵BP 与O 相切，AB 、BC 、AC 都是O 的弦（已知） ∴∠PBC=∠A （弦切角定理）★
6、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

★
证明一条线是圆的切线有两个条件：①这一条线首先经过一条半径外端；②这一条线必须垂直于这条半径.
几何语言：∵线段AP 经过半径OA 的外端，且AP ⊥OA （已知或已证） ∴AP 是O 的切线
切线的性质：圆的切线垂直过切点的半径。

几何语言：如图所示：∵AP 与O 相切于点A ，
且OA 为O 的半径（已知）
∴AP ⊥OA （切线的性质）
7、n 边形内角和公式︒⨯-=
180)2n （ n 边形外角和=360°
正多边形：每一个角都相等，每条边都相等.
2
33S 2a a =正六边形
的正六边形面积：边长为
8、圆的弧长公式：180
r
n l π=
如右图所示：AB 的长就按以上公式计算。

9、圆的扇形面积公式：lr r n 2
1360S 2==π扇形
如右上图所示：扇形OAB 的面积就按以上公式计算。

10、圆锥的体积公式：h r h 23
1
S 31V π底圆锥==
圆锥的表面积公式：2
R S S S r r ππ底侧圆锥+=+=
备注：底面圆半径为r,圆锥的高为h ，母线长为R ，并且222R h r += 与圆结合的相关知识点
11、直角三角形锐角三角函数★ 如图所示：在
ABC
R △t 中，以∠A 为研究对象：
AB BC A sinA
=∠=斜边的对边
AB AC
A cosA =∠=斜边的邻边
AC
BC
A A tanA =∠∠=
的邻边的对边
此重点内容，会出现在选择题、填空题和计算题中求一些线段的长度，在今后的高中和大学数学中还会继续用到，所以务必记住！
12、特殊锐角三角函数值表★
知道度数会求值，知道结果会求度数。

知道60°，会求正弦值 反过来，知道tanA=1，能快速求得∠A=45°.
13、三角形相似★
（1）三角形相似的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. ②三边成比例的两个三角形相似.
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
④两角分别相等的两个三角形相似★.（中考常用重点考点） ⑤斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
2
306sin =
︒
如右图所示：若△ABC 是直角三角形，CD 是斜边AB 上的高，则根据判定四可以得到△ACD ∽△CBD ∽△ABC （注意对应顶点顺序不能错乱），根据相似三角形对应边成比例，则有
BC
BD
AB BC AC AD AB AC =
=，；就能证明BD AB BC AD AB AC 22•=•=，这样的等式.
（2）相似三角形性质
①相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ②相似三角形对应线段的比等于相似比.
③相似三角形面积的比等于相似比的平方.★ 例：如图所示：△AEF ∽△ABC ，且相似比k 为2
1， （1）若AE=5，△AEF 的高AG=4，求AB ，AD 的长度； （2）若6S 12S ADC AEF ==△△，，.S S AGF ABC △△，求 解：（1）∵△AEF ∽△ABC ，且相似比为2
1，AE=5， △AEF 的高AG=4（已知）
∴
10AB 21
AB 521AB AE =⇒===即k （相似三角形对应线段的比等于相似比） 8AD 2
1
AD 421AD AG =⇒===即k （相似三角形对应高的比等于相似比） （3）∵△AEF ∽△ABC ，且相似比k 为2
1
，且6S 12S ADC AEF ==△△，（已知）
∴48S 4
1S 1221S S ABC ABC 2
2ABC AEF =⇒=⎪
⎭⎫ ⎝⎛==△△△△即k （相似三角形面积的比等于相似比的平方） ∵在△AGF 与△ADC 中，∠GAF=∠DAC （公共角），∠AGF=∠ADC=90° ∴△AGF ∽△ADC ，且相似比k =
2
1
AD AG = ∴2346S 416S 21S S AGF AGF 2
2ADC AGF ==⇒=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==△△△△即k 二、经典考题分析讲解
1、圆的综合题经典考题类型： 考点1：求证直线与圆相切★
考点2：求线段长度或者利用锐角三角函数求线段长★ 考点3：求阴影部分面积★
考点4：利用相似三角形求证BD AB BC AD AB AC 22•=•=，类似的等式
2、考题分析
黔东南州近几年中考及2021中考模拟考试《圆的综合》考题分析
2021、5、18地坪附中教务处年份题号内容分值
2015 21 第（1）问求证切线
12分第（2）问求弧长
2016 22 第（1）问求证切线
12分第（2）问求线段长（半径）
2017 21 第（1）问求证等式
12分第（2）问求阴影面积
2018 22 第（1）问求证切线
12分第（2）问利用锐角三角函数求线段长
2019 22 第（1）问求证线段等式关系
12分第（2）问角度数量关系
2020 23 第（1）问求证切线
12分第（2）问求阴影面积（结合锐角三角函数）
2021全县中考
模拟考试23
第（1）问求线段长
12分第（2）问求阴影面积
2021全
州中考23
第（1）问求证切线
12分第（2）问利用锐角三角函数求线段长
模拟考试
典例精讲
例1（2021黔东南州中考模拟考试23题12分）如图,在△ABC
中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,连接AD,过点 作DE⊥AC,垂足为E. (1)求证:DE 是⊙O 的切线.
(2)若AB=2,sin∠ADE=4
3
,求线段DE 的长.
例2（2021黎平县中考模拟考试23题12分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O
上,∠D=60°且AB=6,过O 点作OE⊥AC,垂足为E 。

(1)求OE 的长;
(2)若OE 的延长线交⊙O 于点F,求弦AF 、AC 和弧CF 围成的图形(阴影部分)的面积S.
一试牛刀
1 (2020怀化改编)如图，在⊙O 中，AB 为直径，点C 是圆上一点，延长AB 到点D ，使CD ＝CA ，且∠D
＝30°，分别过A 、B 两点作直线CD 的垂线，垂足分别为E 、F 两点，AE 与⊙O 交于点H . (1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)过点C 作AB 的垂线，垂足为点G ，求证CG 2＝AE ·BF ； (3)求证：四边形HOBC 为菱形；
(4) 若BD ＝2，求⊙O 的半径和线段DE 的长； (5)若⊙O 的半径为2，求AH ︵
的弧长及阴影部分的面积．
2. (2020菏泽改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.
(1)小明在研究的过程中发现DE与AC是一个确定的位置关系，请回答这个位置关系是什么？并对小明发现的结论加以证明；
(2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
3. (2020淮安)如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP ＝C B.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．
针对演练
1. 解：(1)证明：如解图，连接OC ，
∵CA ＝CD ，且∠D ＝30°， ∴ ∠CAD ＝∠D ＝30°， ∵ OA ＝OC ，
∴ ∠CAD ＝∠ACO ＝30°，
∴∠COD ＝∠CAD ＋∠ACO ＝30°＋30°＝60°， ∴∠OCD ＝180°－∠D －∠COD ＝180°－30°－60°＝90°， ∴ OC ⊥CD ，
又∵点C 在⊙O 上， ∴ CD 是⊙O 的切线；
(2)证明：如解图，连接BC ， ∵∠COB ＝60°，且OC ＝OB ，
∴△OCB 为等边三角形，∠CBG ＝60°， 又∵CG ⊥AD ，∴∠CGB ＝90°， ∴∠GCB ＝90°－∠CBG ＝30°， 又∵∠GCD ＝60°，
∴CB 是∠GCD 的平分线，且BF ⊥CD ，BG ⊥CG ， ∴BF ＝BG ， 又∵BC ＝BC ，
∴△BCG ≌△BCF ， ∴CF ＝CG . ∵∠D ＝30°，AE ⊥ED ，∠AEC ＝90°， ∴∠EAD ＝60°， 又∵∠CAD ＝30°，
∴AC 是∠EAG 的平分线，且CE ⊥AE ，CG ⊥AB ， ∴CE ＝CG ，
∵∠AEC ＝∠BFC ＝90°，∠EAC ＝30°＝∠BCF ， ∴△AEC ∽△CFB ， ∴AE CF ＝CE
BF
，即AE ·BF ＝CF ·CE ， 又∵CE ＝CG ，CF ＝CG ， ∴AE ·BF ＝CG 2； (4)∵∠OCD ＝90°，∠OCB ＝60°， ∴∠BCD ＝30°， ∴BC ＝BD ＝2， ∴⊙O 的半径为2， ∵∠OCH ＝60°，∠OCE ＝90°， ∴∠HCE ＝30°，
∴在Rt △HEC 中，EC ＝CH ·cos30°＝3， 在Rt △OCD 中，CD ＝OD ·cos30°＝23， ∴ED ＝EC ＋CD ＝33； (5)∵∠AOH ＝60°，⊙O 的半径为2， ∴AH ︵的弧长＝60π×2180＝2π3
，
S 阴影＝S △HEC ＋S △HCO －S 扇形HOC ＝12×1×3＋34×22
－60π·22360＝32＋3－2π3＝332－2π3
.
2.解：(1)DE 与AC 垂直， 证明：如解图，连接OD ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∵OB ＝OD ， ∴∠B ＝∠ODB ，
∴∠B ＝∠ODB ＝∠C ， ∴OD ∥AC ，
∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DE ， ∴AC ⊥DE ；
(2)如解图，连接AD ，
∵AB 为⊙O 直径，AB ＝AC ，
∴AD 是等腰△ABC 的高，也是中线，
∴CD ＝BD ＝12BC ＝1
2
×16＝8，∠ADC ＝90°，
∵AB ＝AC ＝2×5＝10，
∴由勾股定理，得AD ＝102－82＝6，
∵S △ACD ＝12×8×6＝1
2
×10×DE ，
∴DE ＝4.8.
3. 解：(1)相切；
理由如下：如解图，连接O B. ∵CP ＝CB ，
∴∠CPB ＝∠CBP . ∵OA ＝OB ，
∴∠OAP ＝∠OB A.
又∵∠CPB ＝∠APO ，AO ⊥OC ， ∴∠APO ＋∠OAP ＝90°，
∴∠CBP ＋∠OBA ＝∠OBC ＝90°. ∴OB ⊥BC ，
又∵点B 在⊙O 上，且OB 是⊙O 的半径， ∴直线BC 与⊙O 的位置关系是相切； (2)∵∠A ＝30°，OP ＝1，AO ⊥OC ，
∴AP ＝2OP ＝2，AO ＝OP tan A ＝1
tan30°
＝ 3.
∵∠OBA ＝∠A ＝30°， ∴OB ＝OA ＝3， ∴∠BOD ＝180°－2∠A －∠AOP ＝180°－2×30°－90°＝30°. 又∵OB ⊥BC ， ∴BC ＝OB ·tan ∠BOD ＝3·tan30°＝1， ∴S 阴影＝S △OBC －S 扇形BOD
＝1
2BC ·OB －30π×（3）2360
＝1
2×1×3－30π×3360 ＝32－π4
.。