山西省太原市山大附中高三数学上学期12月月考试卷 理(含解析)

山西省太原市山大附中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）
1．设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=lg（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N=( ) A．（﹣1，0] B．
考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法．
专题：集合．
分析：求出函数的定义域N，利用集合的基本运算进行求解即可得到结论．
解答：解：由x2﹣x≤0，得0≤x≤1，即M=，
要使函数f（x）有意义，则1﹣|x|＞0，解得﹣1＜x＜1，即N=（﹣1，1），
∴M∩N=
∴，解得．
故选：B．
点评：本题考查了复数的运算和相等，属于基础题．
3．命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是( )
A．a+b不是偶数，则a，b都不是偶数
B．a+b不是偶数，则a，b不都是偶数
C．a+b不是偶数，则a，b都是偶数
D．a，b都不是偶数，则a+b不是偶数
考点：四种命题间的逆否关系．
专题：规律型．
分析：根据命题的逆否命题和命题之间的关系确定结论即可．
解答：解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，
则命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为：若a+b不是偶数，则a，b不都
是偶数．
故选：B．
点评：本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．
4．在等差数列{a n}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为( ) A．24 B．39 C．52 D．104
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：利用等差数列的性质可把3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，化简6a4+6a10=48，从而可
a1+a13=a4+a10=8
而，从而可求
解答：解：∵3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，
利用等差数列的性质可得，6a4+6a10=48
∴a1+a13=a4+a10=8
∴
故选C
点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q．
5．若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=( )
A．1 B．C．2 D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值．
解答：解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y，
∵抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，1），
∴=1，
∴a=．
故选：D
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．
6．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0，x∈R）在处取得最大值，则函数
是( )
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
考点：函数在某点取得极值的条件．
专题：综合题；三角函数的图像与性质．
分析：将已知函数变形f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x﹣φ），根据f（x）=asinx﹣
bcosx在处取得最大值，求出φ的值，化简函数，即可得出结论．
解答：解：将已知函数变形f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x﹣φ），其中tanφ=．又f（x）=asinx﹣bcosx在处取得最大值，
∴﹣φ=+2kπ（k∈Z）得φ=﹣﹣2kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+），
∴函数=sin（﹣x）=cosx，
∴函数是偶函数且它的图象关于点对称．
故选：B．
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键．
7．执行如图所示的程序框图，若f（x）=3x2﹣1，取ɛ=，则输出的值为
( )
A．B．C．D．
考点：程序框图．
专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．
分析：此框图的主要作用是用二分法求函数的零点，依次计算a、b的值，直到满足条件b﹣a ＜ɛ=0.1，求出的值．
解答：解：由程序框图知此框图的主要作用是用二分法求函数的零点，
第一次运行a=，b=1，b﹣a=0.5；
第二次运行a=，b=，b﹣a=0.25；
第三次运行a=，b=，b﹣a=0.125；
第四次运行a=，b=，b﹣a==0.0625，满足条件b﹣a＜ɛ=0.1，程序运行终止，输出
=．
故选：A．
点评：本题考查了二分法求函数的零点的程序框图，关键是确定程序运行终止时a、b的值，属于基本知识的考查．
8．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是( )
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A，C均正确，而根据AC可判断B正确，D错误．
解答：解：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；
且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥
A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥
设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥
B与D中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，
根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥
故选D
点评：本题考查的知识点是空间几何体的三视图，本题要求具有超强的空间想像能力，难度较大．
9．球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB=18，BC=24，AC=30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为( ) A．1200πB．1400πC．1600πD．1800π
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离；球．
分析：利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，可求得其外接圆的半径，利用球心到这个截面的距离为球半径的一半，求得球的半径R，代入球的表面积公式计算．
解答：解：∵AB2+BC2=182+242=302=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且其外接圆的半径为=15，
即截面圆的半径r=15，又球心到截面的距离为d=R，
∴R2﹣=152，∴R=10，
∴球的表面积S=4πR2=4π×=1200π．
故选：A．
点评：本题考查了球的表面积公式及球心到截面圆的距离与截面圆的半径之间的数量关系，解题的关键是求得三角形的外接圆的半径．
10．已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y=e x
的图象上，那么实数a的取值范围为( )
A．
故选B．
点评：本题考查了简单线性规划及指数函数的图象特征，作图要细致认真，属于中档题．11．已知函数f（x）=kx，g（x），若关于x的方程f（x）=g（x）在区间内有两个实数
解，则实数k的取值范围是( )
A．C．（0，）D．（，+∞）
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：方程f（x）=g（x）可化为=kx，故k=；从而转化为函数的取值范围，从而求解．
解答：解：方程f（x）=g（x）可化为=kx，
故k=；
令F（x）=，
则F′（x）=；
故F（x）在上是增函数，在上是减函数，
且F（）=﹣e2；F（）=，F（e）=；
故实数k的取值范围是
剩下4种颜色给五个面涂色，
当只使用3种颜色涂色时，
可以有1，4同色，且2，5同色；
有1，4同色，且3，5同色；
有1，3同色，且2，4同色；
有1，3同色，且2，5同色；
有2，4同色，且3，5同色；
每一种情况都有C43A33=24种结果，
当用4种颜色涂色时，
1，3；1，4；2，4；2，5；3，5共有五种情况
每一种情况有A44=24种结果，
根据分类计数原理和分步计数原理知共有5×（5×24+5×24）=1200，
故答案为：1200
点评：本题考查分类和分步计数原理，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．
15．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是
．
考点：关于点、直线对称的圆的方程．
专题：计算题；转化思想．
分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．
解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，
∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=2，
根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2=0上，
把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2=0，即b=1﹣a，
则设m=ab=a（1﹣a）=﹣a2+a，
∴当a=时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，
则ab的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为（﹣∞，]．
点评：本题以直线与圆为载体，考查对称性，考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．
16．函数y=（）|x﹣1|+4cos2x﹣2（﹣3≤x≤5），则此函数的所有零点之和等于8．
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：化简y=（）|x﹣1|+4cos2x﹣2=（）|x﹣1|+2cos（πx）；从而得到其图象关于x=1对称，再化函数的零点个数即y=（）|x﹣1|与y=﹣2cos（πx）的交点的个数，从而求到个数，从而解得．
解答：解：y=（）|x﹣1|+4cos2x﹣2
=（）|x﹣1|+2cos（πx）；
其图象关于x=1对称，
此函数的零点个数即y=（）|x﹣1|与y=﹣2cos（πx）的交点的个数，
作y=（）|x﹣1|与y=﹣2cos（πx）的图象如下，
由图象可知，其共有8个零点，
又由其图象关于x=1对称知，
8个零点之和为8×1=8；
故答案为：8．
点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
三．解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.）
17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足
（1）若△BCD的面积为，求CD的长；
（2）若，求角A的大小．
考点：解三角形．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；
（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．
解答：解：（1）∵△BCD的面积为，，
∴
∴BD=
在△BCD中，由余弦定理可得
==；
（2）∵，∴CD=AD==
在△BCD中，由正弦定理可得
∵∠BDC=2∠A
∴
∴cosA=，∴A=．
点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；
（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．
考点：数列的求和；等比关系的确定．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）利用函数f（x）=x2+bx为偶函数，可得b，根据数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，可得b n+1+1=2（b n+1）
，即可证明数列{b n+1}为等比数列；
（2）由c n=nb n=n•2n﹣n，利用错位相减可求数列的和．
解答：（1）证明：∵函数f（x）=x2+bx为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），∴b=0
∵a n+1=2f（a n﹣1）+1，
∴a n+1﹣1=2（a n﹣1）2，
∵b n=log2（a n﹣1），
∴b n+1=1+2b n，
∴b n+1+1=2（b n+1）
∴数列{b n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得，b n+1=2n，
∴b n=2n﹣1
∴c n=nb n=n•2n﹣n，
∴S n=1•2+2•22+…+n•2n﹣
令T=1•2+2•22+…+n•2n，
2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1
两式相减可得，﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2
∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，
∴S n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，错位相减求数列的和的应用是求解的关键
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，
（1）求证：平面ABC⊥平面APC
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求BM的最小值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
专题：综合题．
分析：（1）证明平面ABC⊥平面APC，利用线面垂直证明，即证OP⊥平面ABC；
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）平面PAC的法向量，求出平面PAM的法向量，利用二面角M﹣PA ﹣C的余弦值为，可得n+2=m，从而可求B点到AM的最小值．
解答：（1）证明：取AC中点O，因为AP=BP，所以OP⊥OC
由已知，可得△ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC，
∵OP⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC
（2）解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，﹣2，0），
C（0，2，0），P（0，0，），
∴
设平面PBC的法向量，
由得方程组，取
∴
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．
（3）解：由题意平面PAC的法向量，
设平面PAM的法向量为，M=（m，n，0）
∵=（0，2），=（m，n+2，0），，
∴
取y=﹣1，可得=
∴=
∴n+2=m
∴BM的最小值为垂直距离d=．
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查平面法向量的求解，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确求出平面的法向量．
20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，离心率等于，它的两个顶点恰好是双曲线
﹣=1的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P（2，3），Q（2，﹣3），在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由题意和双曲线可得b值，进而由离心率和系数的关系可a值，可得椭圆C的方程；
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入消y并整理可
得x的二次方程，由韦达定理可得面积S的表达式，由二次函数的最值可得；②设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，分别联立直线和椭圆的方程由韦达定理可得
x1+2=，x2+2=，可得x1+x2=，x1﹣x2=，代入斜率公式计算可得定值．
解答：解：（1）由题意设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），
又可得双曲线﹣=1的焦点为（0，±2），
∴b=2，又离心率e==，a2=b2+c2，联立解得a=4，
∴椭圆C的方程为；
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，
代入消y并整理可得x2+tx+t2﹣12=0，
由△=t2﹣4（t2﹣12）＞0可解得﹣4＜t＜4，
由韦达定理可得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12，
四边形APBQ的面积S=×6×|x1﹣x2|=3，
由二次函数可知当t=0时，S取最大值12
②当∠APQ=∠BPQ时，直线PA和PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，
∴直线PA的方程为y﹣3=k（x﹣2），
联立消去y并整理可得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0 由韦达定理可得x1+2=，
理可得直线PB：y﹣3=﹣k（x﹣2），可得x2+2==，
∴x1+x2=，x1﹣x2=，
k AB====，
∴直线AB的斜率为定值
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及圆锥曲线的取值范围和最值，属难题．21．已知函数f（x）的定义域（0，+∞），若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函
数”．把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A1，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2
（1）已知函数f（x）=x3﹣2hx2﹣hx，若f（x）∈A1且f（x）∉A2，求实数h的取值范围（2）已知f（x）∈A2，且存在常数k，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k，求k 的最小值．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）由f（x））∈A1且f（x）∉A2知g（x）==x2﹣2hx﹣h在（0，+∞）上为增函数，F（x）==x﹣﹣2h在（0，+∞）上不是增函数，求导F′（x）=1+；从而
确定h的取值范围；
（2）利用反证法先证明f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）成立，再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，从而可是当f（x）∈A2时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，故当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；从而求最小值．
解答：解：（1）∵f（x））∈A1且f（x）∉A2，
即g（x）==x2﹣2hx﹣h在（0，+∞）上为增函数，
∴h≤0；
而F（x）==x﹣﹣2h在（0，+∞）上不是增函数，
且F′（x）=1+；
当F（x）是增函数时，有h≥0；
所以当F（x）不是增函数时，h＜0；
综上，h＜0．
（2）先证明f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）成立，
假设存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，
记=m＞0，因为f（x）∈A2，
所以f（x）为“二阶比增函数”，
即是增函数，
所以当x＞x0＞0时，＞=m，
即f（x）＞mx2；
所以一定存在x1＞x0＞0，使得f（x1）＞m＞k成立，
这与f（x）＜k对任意的x∈（0，+∞）成立矛盾，
所以f（x）≤0对任意的x∈（0，+∞）都成立；
再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解，
假设存在x2＞0，使得f（x2）=0；
∵f（x）为“二阶比增函数”，即是增函数，
∴一定存在x3＞x2＞0，使得＞=0成立，
这与上述的证明结果矛盾．
所以f（x）=0在（0，+∞）上无解，
综上所述，当f（x）∈A2时，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0成立，
所以当常数k≥0时，使得对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜k；
故k的最小值为0．
点评：本题考查了学生对新定义的接受与转化运用的能力，同时考查了导数的综合应用，属于难题．
选修题
22．己知抛物线y=x2+m的顶点M到直线（t为参数）的距离为1
（Ⅰ）求m：
（Ⅱ）若直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求|S△MAN﹣S△MBN|的值．
考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）利用点到直线的距离公式即可得出；
（2）当m=3时，直线与抛物线不相交，舍去．当m=﹣1时，抛物线的方程为y=x2﹣1．
将直线l的一个标准参数方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系及其参数的
意义即可得出．
解答：解：（1）抛物线y=x2+m的顶点M（0，m），
由直线（t为参数），
消去参数t得到的直线l的一般方程．
则M到直线l的距离为=1，
解得m=﹣1，或3．
（2）当m=3时，直线与抛物线不相交，舍去．
当m=﹣1时，抛物线的方程为y=x2﹣1．
将直线l的一个标准参数方程代入抛物线方程可得：．
∴，t 1t2=﹣8．
∴|S△MAN﹣S△MBN|==．
点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（﹣2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）当a=2时，不等式即|x﹣2|≥1，可得x﹣2≥1，或 x﹣2≤﹣1，解得x的范围，可得不等式的解集．
（Ⅱ）由于 f（x）的解析式及a＞0，可得函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，
可得f（﹣2）=a﹣2≥0，由此求得a的范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x﹣2|≥1，∴x﹣2≥1，或 x﹣2≤﹣1．
解得x≤1，或x≥3，故不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}．
（Ⅱ）∵f（x）=，a＞0，故函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．
再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，可得f（﹣2）=a﹣2≥0，解得a≥2．故a的范围是[2，+∞）．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，属于中档题．。