第三节解析函数在无穷远点的性质
《复变函数论》课程教学大纲
《复变函数论》课程教学大纲课程编号：03110094 课程性质：专业必修课先修课程：数学分析总学时数：72学分：4 适合专业：数学与应用数学（一）课程教学目标《复变函数论》是数学与应用数学专业的一门重要基础课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。
它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
通过本课程的教学，使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解并掌握，培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能，加深对《数学分析》中基础理论的理解；认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系与相互影响，并对现代数学不同学科间的内在联系与相互渗透有一个初步的了解；进一步锻炼学习者的能力，培养和提高分析问题和解决问题的能力；为学习有关专业和扩大数学知识面提供必要的数学基础。
（二）课程的目的与任务复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识；使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高；同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而提高做好中学数学教育工作的能力。
（三）理论教学的基本要求《复变函数论》研究的主要对象是解析函数，通过本课程的学习，要求学生了解复函数的概念、性质和解析函数的特性；理解解析函数的基本概念和基本理论（积分理论、级数理论、几何理论）；掌握用复变函数论的基本方法解决问题的方法（复数的计算、判断复函数的可微性及解析性、复积分的计算、复函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求简单的共性映射等）；巩固和加深理解微积分学的有关知识。
解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法,给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式,为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.关键词:解析函数无穷远点奇点1问题的提出无穷远点是解析函数的孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。
所以,本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。
2解析函数的定义2.1 解析函数的定义定义2.1[1]如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.2.2 奇点的定义定义2.2[2]若函数在点不解析,但在的任一邻域内总有的解析点,则称为函数的奇点.奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类,而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0);极点(主要部分为有限多项);本质奇点(主要部分为无限多项).例2.1判定函数的奇点及其类型.解在平面上只有为孤立奇点,在其去心邻域内的洛朗展式为,因其主要部分为0,故为的可去奇点.3 解析函数在无穷远点的性质3.1 无穷远点的引入在复分析中,我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时,函数值可能趋于无穷大.为了讨论这种情况,我们在复数域中引入符号表示无穷大,并且约定.同时规定它和有限数的运算关系如下:(加减法) ,(乘法) ,(除法),,在此定义下无意义.由于在复平面上没有对应无穷远点的位置,因此在复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应,称之为无穷远点,仍记为,且把复平面加上点后称为扩充复平面,常记作.另外扩充复平面的几何模型是复球面,且北极与复平面上的无穷远点相对应.性质: 的实部﹑虚部及辐角都无意义, ;复平面上每一条直线都通过点,同时没有一个半平面包含点.3.2 无穷远点作为奇点的分类由于任一函数在处无意义,所以点总是的奇点.定义3.1 [3] 设函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称为的一个孤立奇点,否则为非孤立奇点.若在平面上有一列趋于无穷远点的奇点,则为的非孤立奇点.例3.1讨论的奇点的类型.解:此函数因分母不能为0,故有奇点和.由于有限奇点(它们各为一阶极点)以为极限,故为此函数的非孤立奇点.设为的孤立奇点, 在无穷远点的去心邻域内的洛朗展式为,在式中正幂部分称为在的主要部分,非正幂部分称为在的正则部分.定义3.2设为函数的孤立奇点.若在点的主要部分为零,则称为的可去奇点;若在点的主要部分为有限多项,设为,则称为的阶极点;若在点的主要部分有无限多项,则称为的本质奇点.注: 若为的可去奇点,我们定义,则在处解析.3.3 解析函数在无穷远点的性质根据定义3.2,不难得到定理3.1函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立: ;令, 为的可去奇点;在的某去心邻域内有界.例如, ,所以为函数的可去奇点.定理3.2函数的孤立奇点为阶极点的充要条件是下列条件之一成立: 令, 为的阶极点;在的某去心邻域内能表成,其中在的邻域内解析,且;以为阶零点(只要令).注:为的极点的充要条件是.例3.2试确定函数的奇点的类型.解:由,设,因在的邻域内解析且,所以为阶极点.定理3.3函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立:不存在;令, 为的本质奇点.例3.3试确定函数的奇点的类型.解:令,其在的空心邻域内的展式为,它的主要部分为无穷多项,故为的本质奇点.定理 3.4 (含点的区域的柯西积分定理)设是一条周线,区域是的外部(含点), 在内解析且连续到;又设,则,这里及是在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.证明:由已知有在解析,又,所以为可去奇点;设充分大,使及其内部全含于圆周的内部(图1),则得点的去心邻域: 在其内展成洛朗级数,设为( 可为0).因,所以.再就复围线(图1)应用柯西积分定理有:,,.定理3.5 (含点的区域的柯西积分公式)假设条件同定理3.4,则这里表示的方向,含点的区域恰在一人沿它前进的方向.证明:1)设,以为心作充分大的圆周,使及其内部全含于的内部(图2), 构成一复围线.则应用有界区域的柯西积分公式,.在(这里以为中心的点的去心邻域)内的洛朗展式可设为( 可为0),由此可得.当,有,所以.2) (即在图2中的阴影部分),有,所以.参考文献:[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2005年版.[2]陈广锋.无穷远点作为解析函数奇点时的讨论[J].西安教育学院学报,2000(3).。
解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法,给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式,为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.关键词:解析函数无穷远点奇点1问题的提出无穷远点是解析函数的孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。
所以,本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。
2解析函数的定义2.1 解析函数的定义定义2.1[1]如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.2.2 奇点的定义定义2.2[2]若函数在点不解析,但在的任一邻域内总有的解析点,则称为函数的奇点.奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类,而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0);极点(主要部分为有限多项);本质奇点(主要部分为无限多项).例2.1判定函数的奇点及其类型.解在平面上只有为孤立奇点,在其去心邻域内的洛朗展式为,因其主要部分为0,故为的可去奇点.3 解析函数在无穷远点的性质3.1 无穷远点的引入在复分析中,我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时,函数值可能趋于无穷大.为了讨论这种情况,我们在复数域中引入符号表示无穷大,并且约定.同时规定它和有限数的运算关系如下:(加减法) ,(乘法) ,(除法),,在此定义下无意义.由于在复平面上没有对应无穷远点的位置,因此在复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应,称之为无穷远点,仍记为,且把复平面加上点后称为扩充复平面,常记作.另外扩充复平面的几何模型是复球面,且北极与复平面上的无穷远点相对应.性质: 的实部﹑虚部及辐角都无意义, ;复平面上每一条直线都通过点,同时没有一个半平面包含点.3.2 无穷远点作为奇点的分类由于任一函数在处无意义,所以点总是的奇点.定义3.1 [3] 设函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称为的一个孤立奇点,否则为非孤立奇点.若在平面上有一列趋于无穷远点的奇点,则为的非孤立奇点.例3.1讨论的奇点的类型.解:此函数因分母不能为0,故有奇点和.由于有限奇点(它们各为一阶极点)以为极限,故为此函数的非孤立奇点.设为的孤立奇点, 在无穷远点的去心邻域内的洛朗展式为,在式中正幂部分称为在的主要部分,非正幂部分称为在的正则部分.定义3.2设为函数的孤立奇点.若在点的主要部分为零,则称为的可去奇点;若在点的主要部分为有限多项,设为,则称为的阶极点;若在点的主要部分有无限多项,则称为的本质奇点.注: 若为的可去奇点,我们定义,则在处解析.3.3 解析函数在无穷远点的性质根据定义3.2,不难得到定理3.1函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立: ;令, 为的可去奇点;在的某去心邻域内有界.例如, ,所以为函数的可去奇点.定理3.2函数的孤立奇点为阶极点的充要条件是下列条件之一成立: 令, 为的阶极点;在的某去心邻域内能表成,其中在的邻域内解析,且;以为阶零点(只要令).注:为的极点的充要条件是.例3.2试确定函数的奇点的类型.解:由,设,因在的邻域内解析且,所以为阶极点.定理3.3函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立:不存在;令, 为的本质奇点.例3.3试确定函数的奇点的类型.解:令,其在的空心邻域内的展式为,它的主要部分为无穷多项,故为的本质奇点.定理 3.4 (含点的区域的柯西积分定理)设是一条周线,区域是的外部(含点), 在内解析且连续到;又设,则,这里及是在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.证明:由已知有在解析,又,所以为可去奇点;设充分大,使及其内部全含于圆周的内部(图1),则得点的去心邻域: 在其内展成洛朗级数,设为( 可为0).因,所以.再就复围线(图1)应用柯西积分定理有:,,.定理3.5 (含点的区域的柯西积分公式)假设条件同定理3.4,则这里表示的方向,含点的区域恰在一人沿它前进的方向.证明:1)设,以为心作充分大的圆周,使及其内部全含于的内部(图2), 构成一复围线.则应用有界区域的柯西积分公式,.在(这里以为中心的点的去心邻域)内的洛朗展式可设为( 可为0),由此可得.当,有,所以.2) (即在图2中的阴影部分),有,所以.参考文献:[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2005年版.[2]陈广锋.无穷远点作为解析函数奇点时的讨论[J].西安教育学院学报,2000(3).。
解析函数的主要性质综述
解析函数的主要性质综述作者：安辉燕来源：《科学导报》2017年第75期一、导引解析函数是一类具有某种特性的可微函数，它将我们所熟悉的数学分析中的一些内容推广到复数域上并研究其性质。
本文通过搜集材料，系统总结了解析函数的几个主要性质：解析函数的唯一性、零点的孤立性、零点的分布问题、解析函数在无穷远点的性质、解析变换的特征及解析函数、共轭解析函数和复调和函数之间的关系，并通过举例进行了深入、详细的分析。
二、预备知识1.定义如果函数在区域D内是可微的，则称为区域D内的解析函数。
复变函数中解析函数的充要条件有多种形式，最常见的有以下几种。
2.定理函数在区域D内解析的充要条件：A（1）二元函数在区域D内可微；（2）在D内满足方程。
B（3）在D内连续；（4）在D内满足方程。
C 在D内任意一点的邻域内可以展成的幂级数，也就是泰勒级数。
D C为D内任意一条周线，则。
三、解析函数的主要性质1.解析函数的唯一性定理（解析函数的唯一性）如果函数在区域D内解析，是D内彼此不同的点，并且点列的极限点，若有，则在D内必有。
根据定理我们可得到以下结论：推论1 如果函数在区域D内解析，且在区域内某点的邻域内有，则在D内必有。
推论2 如果函数在区域D内解析，且在区域D内某一曲线上有，则在内必有。
2.解析函数零点的孤立性定理如果在内的解析函数不恒为零，是的一个零点，则必存在的一个邻域使得在其中无其他零点。
（即：不恒为零的解析函数的零点具有孤立性）此性质是解析函数的特殊性质，实函数不具有此性质。
3. 解析函数零点的分布问题解析函数的零点的分布问题是复变函数论中的一个重要问题，一下就复多项式的零点可以全部分布在一个指定的区域内这个问题进行讨论。
定理1若复平面上多项式在虚轴上无零点，则它的零点全分布在右半平面上的充要条件为。
定理2若复平面上多项式在实轴上无零点，则它的零点全分布在上半平面的充要条件为。
四、解析变换的特性解析函数的特性是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。
5.3解析函数在无穷远点的性质
定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级 极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
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1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2 z z
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铃
补充例 2：求出下列函数的 奇点，并确定他们的类 型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点 也要加以讨论。
(1)
f
(z)
z6 z(z2
例4
问函数
1 sec
z 1
在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.
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例5 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又 若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证 a必为f(z)的本性奇点。
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定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点∞为本 性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
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不等于零; (2) lim f (z) 广义不存在(即当z趋向于∞
z
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例1 f (z)
5.3解析函数在无穷远点的性质
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高中数学的解析函数的性质及应用解析
高中数学的解析函数的性质及应用解析解析函数是高中数学中的重要概念，其性质及应用在数学学科及其他学科中具有广泛的应用。
本文将围绕解析函数的定义、性质和应用展开讨论。
一、解析函数的定义解析函数又称为复变函数，它是指在复数域上有定义的函数。
具体而言，对于一个定义在复数域上的函数f(z)，如果对于复数域上任意一个复数z，该函数都有唯一的函数值w与之对应，那么f(z)即为解析函数。
解析函数的定义可以用数学符号表示为：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别表示复变函数的实部和虚部。
二、解析函数的性质1. 连续性：解析函数在其定义域上连续，即实部和虚部都是连续函数。
2. 可微性：解析函数在其定义域上可导，即满足柯西-黎曼方程的充分必要条件。
柯西-黎曼方程表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。
3. 奇点：解析函数在其定义域上无奇点，即没有使函数值发散或不唯一的点。
根据解析函数的性质，我们可以推导出一些重要的结论。
例如，解析函数的导函数也是一个解析函数，解析函数的连续叠加仍然是一个解析函数等。
三、解析函数的应用解析函数的应用非常广泛，不仅在数学学科中有重要意义，也被应用于其他学科中。
1. 数学学科中的应用：解析函数可以用于复数域的积分计算，例如对于沿闭合曲线C的积分∮Cf(z)dz，由于解析函数是可导的，我们可以通过柯西定理将曲线内部的积分等于曲线上的积分，简化计算。
2. 物理学中的应用：解析函数被广泛应用于物理学中的电磁场、流体力学等领域。
例如，对于电势、磁场等物理量的描述往往使用解析函数的方法，通过假设解析函数满足某些条件，可以方便地求解实际问题。
3. 工程学中的应用：解析函数在工程学中的应用也非常重要。
例如，在信号处理领域，解析函数可以用于信号的频谱分析、信号的模拟与合成等方面。
总之，解析函数作为高中数学中的重要概念，其性质和应用在数学学科及其他学科中都有广泛的应用。
第三讲 无穷远点
1 1 Re s[ f ( z ), ] Re s[ f ( ) 2 ,0] z z 1 2 z2 1 lim [ z e 2 ] 0 1! z 0 z z17 2) f (z) 2 ( z 2) 3 ( z 3 3)4 1 1 1 f( ) 2 z z z(1 2 z 2 )2 (1 3 z 3 )4 1 1 Re s[ f ( z ), ] Re s[ f ( ) 2 ,0] z z 1 lim z 1 2 3 3 4 z 0 z(1 z ) (1 z )
3) 函数sin z 的展开式：
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2 n 1 z3 z5 z sin z z ( 1)n 3! 5! ( 2n 1)! 含有无穷多的正幂项， 所以 是它的本性奇点。
强调：对 的奇点分类是以 处洛朗展式的正幂项为 判断依据的，这与有限点处不一样！
n
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z 例 5 计算积分 4 dz, C 为正向圆周： z 2. Cz 1
z 在 z 2 的外部，除 点外没有其他 解： 函数 4 z 1 奇点。 因此根据定理 2 与规则 4， 1 1 z 4 dz 2i Re s[ f ( z ), ] 2iRes[ f ( ) 2 ,0] z z Cz 1 z 2iRes[ 4 ,0] 0 1-z 例 6 计算积分，其中C 为正向圆周： z 2. dz , 10 C ( z i ) ( z 1)( z 3)
i)可去奇点； ii)m级极点；
iii)本性奇点。
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利用函数在有限点的奇点等价性质和上述定义可得： 孤立奇点 为 f ( z ) 的
1） 可去奇点，2）极点，3）本性奇点 的充分必要条件分别是 1） lim f ( z ) a ( ) ； 2） lim f ( z ) ；
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生理解复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
大学_《复变函数与积分变换》(李江涛著)课后答案下载
《复变函数与积分变换》(李江涛著)课后答案下载《复变函数与积分变换》(李江涛著)内容介绍第1章复数与复变函数1.1 复数1.1.1 复数域1.1.2 复平面、复数的模与辐角1.1.3 复数的乘幂与方根1.1.4 共轭复数1.1.5 无穷远点与扩充复平面1.2 复平面点集1.1 1平面点集1.2.2 区域1.2.3 Jordan曲线1.2.4 单连通区域与多连通区域1.3 复变函数的极限与连续1.3.1 复变函数的概念1.3.2 复变函数的极限1.3.3 复变函数的连续性习题1第2章解析函数2.1 解析函数的概念2.1.1 复变函数的导数与微分 2.1.2 解析函数2.2 C.-R.条件2.3 初等函数2.3.1 指数函数2.3.2 对数函数2.3.3 幂函数2.3.4 三角函数与双曲函数2.3.5 反三角函数与反双曲函数习题2第3章复变函数的积分3.1 复变函数的积分3.1.1 复变函数积分的`定义3.1.2 积分的存在性与计算3.1.3 复积分的基本性质3.2 Cauchy积分定理3.2.1 单连通区域上的Cauchy积分定理 3.2.2 多连通区域上的Cauchy积分定理 3.3 Cauchy积分公式及其应用3.3.1 Cauchy积分公式3.3.2 解析函数的无穷可微性3.3.3 Cauchy不等式与Liouville定理 3.3.4 Morera定理3.4 解析函数与调和函数的关系习题3第4章解析函数的级数展开及其应用 4.1 复级数的概念及基本性质4.1.1 复数数列4.1.2 复数项级数4.1.3 复变函数项级数4.2 幂级数4.2.1 幂级数收敛圆及收敛半径4.2.2 幂级数的性质4.2.3 Taylor级数4.2 ，4解析函数的唯一性定理4.3 双边幂级数表示及其应用4.3.1 双边幂级数4.3.2 Laurent级数4.3.3 孤立奇点及其分类4.3.4 解析函数在无穷远点的性态习题4第5章留数及其应用5.1 留数5.1.1 留数的概念5.1.2 留数定理5.1.3 留数的计算……第6章共形映射第7章 Fourier变换第8章 Laplace变换《复变函数与积分变换》(李江涛著)课程目录《复变函数与积分变换》全书共8章，内容包括：复数与复变函数，解析函数，复变函数的积分，解析函数的级数展开及其应用，留数及其应用，共形映射，傅里叶变换，拉普拉斯变换等。
第3节 解析函数在无穷远点的性质
z b z > Max{a , b}, 内分出单值解析分支,
z a a b ln = ln(1 ) ln(1 ) + 2kπi z b ∞ z n1 ∞ z (1) a n (1)n1 b n = 2kπi + ∑ ( ) ∑ ( ) n z n z n=1 n=1 ∞ bn an 1 = 2kπi ∑(1)n1 n zn n=1 ∞ f 可 奇 . k = 0,1,2,; 故 为 (z)的 去 点
f (z) = z (z)
m
(5.11) ;
'
其 (z)在 =∞的 域 内 析 (∞) ≠ 0; 中 z 邻 N 解 ,且
1 (3) g(z) = 以z = ∞为m 阶零点只要令g(∞) = 0). ( f (z)
例2研 函 f (z) = (1 z)(2 z)的 点 =∞的 型 究 数 奇 z 类 .
即 是 (z)的 孤 奇 , 0 f 非 立 点
故 (z)在 = 0的 心 域 不 展 Laurent级 . f z 去 邻 内 能 为 数
内 0 , , 例7 若函数f (z)在 < z a < R 解析且不恒为零 又 f (z)有 列 于 但 与 为 点 零 , 证 若 一 异 a 都 a 聚 的 点试 a 必 f (z)的 质 点 为 本 奇 .
lim f (z) = ∞.
z→∞
孤 奇 ∞ 本 奇 的 要 件 4 定 5.6' f (z)的 立 点 为 质 点 充 条 是 理
下列两条中任何一条成立
(1) f (z)在 =∞的 要 分 无 多 正 不 于 ; z 主 部 有 穷 项 幂 等 零 (2) lim f (z)不存在即当z趋向∞时 f (z)不趋向于任 ( ,
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
《复变函数》课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲适用专业:数学与应用数学执笔人：王小灵审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《复变函数》课程教学大纲课程代码：200072英文名：Complex Variable Function课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析后置课：概率论、数学物理方程、偏微分方程学分：2学分课时：54课时主讲教师：王小灵等选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.课程概述：复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。
复变函数是在数学分析的基础上，复变函数又称复分析，也称为解析函数论.是实变函数微积分的推广和发展。
因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。
复变函数是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。
教学目的：复变函数是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。
本课程可根据需要安排课堂讨论。
第3节 解析函数在无穷远点的性质
b n n z
b1 b0 b1 z z
bn z n
当 z 逐渐增大趋向 时, 主要与次要互相转化.
3.定义5.5 若w 0为 ( w)的可去奇点(解析点), m阶
极点或本质奇点; 则我们相应地称z 为f ( z )的可去奇 点(解析点), m阶极点或本质奇点. 4. f ( z)在N {}: z r 0内Laurent展式为
第三节 解析函数在 无穷远点的性质
Department of Mathematics
一 解析函数在无穷远点的性态
1.定义5.4 设函数f ( z)在无穷远点(去心)邻域
N {}: z r 0
内解析, 则称点为f ( z)的一个孤立奇点.
注 若是f ( z)的奇点的聚点, 则为f ( z)的非孤立奇点. 1 2. 为f ( z)的孤立奇点,利用倒数变换 w z 1
( w)
bn w
n 1
n
b0 b n wn
n 1
主要部分
正则部分
( w)
b w
n 1 n
n
b0 b n wn
n 1
(1) 若bn 0, n 1, 2,
; 则0为 (w)的可去奇点;
(2) 若只有有限个bn 0(n 0), 则0为 (w)的极点; (3) 若有无穷个bn 0(n 0), 则0为 (w)的本质奇点.
1 在w平面上点w 0的去心邻域K {0}: 0 w r 内解析, w 0为 (w)之一孤立奇点.
于是 ( w) f ( ) f ( z ) w
(5.12)
注1 处理无穷远点作孤立奇点的方法,作倒数变换,
函数在无限远处极限
利用等价无穷小求极限
等价无穷小
在自变量的某个变化过程中，两个无穷小量 可以相互替换，它们的比值为常数。利用等 价无穷小求极限时，需要找到与原函数等价 的无穷小量，并将其代入原函数中，从而简 化计算过程。
举例
求函数 f(x) = sin(x)/x 在 x = ∞ 处的极限。 利用等价无穷小，将 sin(x) 替换为 x，得到 f(x) = x/x = 1，因此 lim(x→∞) sin(x)/x = 1。
无穷大量与无界量
无穷大量和无界量是数学中的两个概念，它们描述的是趋于无穷的变量。在判断函数在无穷远处的极 限时，需要区分这两个概念。
无穷大量指的是一个变量趋于无穷的速度比任何正数都快，即其增长速度超过任意正数。无界量则是 指一个变量的取值范围没有上界或下界。在判断函数在无穷远处的极限时，需要注意区分这两个概念 ，因为它们的性质和行为不同。
函数在无限远处的极限
目录
• 函数在无穷远处的极限定义 • 函数在无穷远处的极限性质 • 函数在无穷远处的极限应用 • 函数在无穷远处的极限的求法 • 函数在无穷远处的极限的注意事项
01 函数在无穷远处的极限定 义
函数在正无穷远处的极限
定义
如果对于任意正实数$A$，存在一个 正实数$B$，当$x > B$时，有$f(x) < A$，则称函数$f(x)$在正无穷远处的 极限为A。
极限的局部有界性
有界性
如果函数f在无穷远处有极限，那么存 在一个正数M，当x足够大时， |f(x)|<=M。
局部有界性
如果函数f在无穷远处有极限，那么存 在一个正数N和M，当x>N时， |f(x)|<=M。
03 函数在无穷远处的极限应 用
5.4皮卡定理与解析函数在无穷远的性质
无穷远点是可去奇点的特征
定理5.3' 如果∞为函数 f(z) 的孤立奇 定理 则下列三条是等价的.它们中的任何 点，则下列三条是等价的 它们中的任何 一条都是可去奇点的特征. 一条都是可去奇点的特征 1. f(z) 在点∞的主要部分为零 的主要部分为零. 2. lim f ( z ) = b ( ≠ ∞ ) z→∞ 3. f(z) 在点 ∞ 的某去心领域内有界 的某去心领域内有界.
故 ϕ (ζ ) = e(1 − 2ζ + 6ζ + ⋯)
2
2 6 故 f ( z ) = e (1 − + 2 + ⋯) z z
(2 <| z |≤ ∞ )
1 (| ζ |< ) 2
在点z=∞的去心邻域内将函数 例5.13 在点 的去心邻域内将函数
f (z) = e
展成洛朗级数. 展成洛朗级数.
{zn} ，使得
lim f ( zn ) = ∞ = A. zn → a 一个收敛于a （2）当A≠∞时，若存在一个收敛于 的点列 ） 时 f ( zn ) = A. {zn} ，使得
则定理已经得证. 则定理已经得证 的某去心邻域K-{a}内 （3）相反的情形是 ）相反的情形是: 在a的某去心邻域 的某去心邻域 内 f(z) ≠A, 则 a 必为函数 ϕ(z) = 1 的本质奇点 的本质奇点.
一个收敛于a 故存在一个收敛于 的点列 {zn} ，使得 1 lim ϕ ( z n ) = lim = ∞ , 即 lim f ( z n ) = A. zn → a zn → a f ( z ) − A zn → a n
f (z) − A
例 5.9
i 1.若 A = ∞ ， 取 z n = 即 可 . n −n n
02-5.3函数在无穷远点的性态教学课件
思考： z 是 ez 什么类型的孤立奇点？
如 z 是 f (z) z3 的孤立奇点。
设 z 是
f
(z) 的孤立奇点，作变换
z
1，记
()
(z)
f
1
，则
()
在 0 1 解析， 0 是() 的孤立奇点。
R
定义3： 若 0 是() 的可去奇点、m 级极点或本性奇点，则称 z 为函数
同样地， 也可以通过观察 lim f (z) 来进行分类： z 1. lim f (z) 存在且有限，则 为可去奇点 z 2. lim f (z) ，则 为极点 z 3. lim f (z) 不存在且不为 ，则 为本性奇点 z
例4：
z
是否为函数
f
(z)
f (z) 的可去奇点、m 级极点或本性奇点。
定义4：设 z 为函数 f (z) 的孤立奇点， 若 f (z) 的洛朗级数展开式中 ⑴不含正幂项，则称 z 为 f (z)的可去奇点； ⑵含有限多正幂项，其最高幂为 zm，则称 z 为 f (z)的 m 级极点； ⑶含无穷多正幂项，则称 z 为 f (z)的本性奇点。
复变函数与积分变换logo沈阳工业大学理学院一孤立奇点二零点与极点的关系三函数在无穷远点的性态三函数在无穷远点的性态定义2
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复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
一、孤立奇点 二、零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态*
三、函数在无穷远点的性态*
定义2： 若函数 f (z) 在无穷远点 z 的去心邻域 R z 内解析，则称 为函数 f (z)的孤立奇点。
复变函数课件
定义： 内解析, 称点∞为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w = 把扩充z平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞ z 1 0 映射成扩充w平面上原点的去心邻域：<| w |< . R 又 f ( z ) = f ( 1 ) = ϕ ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞
tan
1 z k = 1 k + π 2
(k = 0,±1,±2,L)为本性奇点
z = 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念 整函数与亚纯函数的概念 4.1 整函数 4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z )为一整函数，则 f ( z )只以 z = ∞ 为孤立奇点，
且可设： f ( z ) =
∑
∞
n=0
c n z n (0 ≤| z |< +∞ ) (5.14)于是有
定理5.10 若 f (z ) 为一整函数，则 为一整函数， 定理 (1) z = ∞ 为的可去奇点的充要条件是f (z )为常数； 为常数； (2) z = ∞为 f (z )的 m 级极点的充要条件是f (z ) 是一 个m 次多项式. 次多项式 (3) z = ∞为的本性奇点的充要条件是 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 有无穷 不等于零.(这样的整函数称为超越整函数 这样的整函数称为超越整函数) 多个 c n不等于零 这样的整函数称为超越整函数
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
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w
0 | w | 1
R
解析函数在无穷远点的性质
或
0 | w |
内解析的函数 (w) f ( 1 )
w
其洛朗级数展式是：
(z)
n
n
wn
,
如果w=0是 (z) 的可去奇点、（m阶）极
点或本性奇点，那么分别说 z 是f(z)的
可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。
解析函数在无穷远点的性质
（1）、如果当时n=1,2,3,…， n 0 ，那么
那么 z 是f(z)的可去奇点的必要与充分
条件是：存在着某一个正数 0( R) ，使得f(z)
在 0 | z z0 | 内有界。
本节结束 谢谢！
Complex Function Theory
Department of Mathematics
第三节 解析函数在 无穷远点的性质
Department of Mathematics
解析函数在无穷远点的性质
设函数f(z)在区域
R | z |
内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。
在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：
f (z) n zn , n
其中系数由定理7.1中类似的公式确定。
令 z 1 ，按照R>0或R=0，我们得到在
z 是f(z)的可去奇点。
（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n
，使得
n 0，那么 z 是f(z)的极点
。设对于正整数m，m 0 ，而当n>m时，n 0
那么我们称 z 是f(z)的m阶极点。按照
m=1或m>1，我们也称 z 是f(z)的单极
点或m重极点。 （3、如果有无限个整数n>0，使得 n 0 ，
那么我们说 z 是f(z)的本性奇点。
解析函数在无穷远点的性质
注解1、我们也称
n zn , n zn ,
n0
n1
分别为级数
n
z
n
,的解析部分和主要部分。
n
注解2、若 z 为f(z)的可去奇点，我们也
说f(z)在无穷远点解析。
注解3、上一段的结论都可以推广到无穷远 点的情形，我们综合如下：
解析函数在无穷远点的性质
定理9.1 设函数f(z)在区域 R | z | 内解析
，那么 z 是f(z)的可去奇点、极点或本
性奇点的必要与充分条件是：
存在着极限limz来自f(z)
、
无穷
极限或
不存在
有限
或无穷的极限 lim f (z) 。 z
系9.1设函数f(z)在区域 R | z | 内解析，