第三节解析函数在无穷远点的性质

那么 z 是f(z)的可去奇点的必要与充分
条件是：存在着某一个正数 0( R) ，使得f(z)
在 0 | z z0 | 内有界。
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Complex Function Theory
Department of Mathematics
z 是f(z)的可去奇点。
（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n
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，使得
n 0，那么 z 是f(z)的极点
。设对于正整数m，m 0 ，而当n>m时，n 0
那么我们称 z 是f(z)的m阶极点。按照
m=1或m>1，我们也称 z 是f(z)的单极
点或m重极点。 （3、如果有无限个整数n>0，使得 n 0 ，
第三节 解析函数在 无穷远点的性质
Department of Mathematics
解析函数在无穷远点的性质
设函数f(z)在区域
R | z |
内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。
在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：
f (z) n zn , n
其中系数由定理7.1中类似的公式确定。
令 z 1 ，按照R>0或R=0，我们得到在
那么我们说 z 是f(z)的本性奇点。
解析函数在无穷远点的性质
注解1、我们也称
n zn , n zn ,
n0
n1
分别为级数
n
z
n
,的解析部分和主要部分。
n
注解2、若 z 为f(z)的可去奇点，我们也
说f(z)在无穷远点解析。
注解3、上一段的结论都可以推广到无穷远 点的情形，我们综合如下：
w
0 | w | 1
R
解析函数在无穷远点的性质
或
0 | w |
内解析的函数 (w) f ( 1 )
w
其洛朗级数展式是：
(z)
n
n
wn
,
如果w=0是 (z) 的可去奇点、（m阶）极
点或本性奇点，那么分别说 z 是f(z)的
可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。
解析函数在无穷远点的性质
（1）、如果当时n=1,2,3,…， n 0 ，那么
解析函数在无穷远点的性质
定理9.1 设函数f(z)在区域 R | z | 内解析
，那么 z 是f(z)的可去奇点、极点或本
性奇点的必要与充分条件是：
存在着极限
lim
z
f
(
z)
、
无穷
极限或
不存在
有限
或无穷的极限 lim f (z) 。 z
系9.1设函数f(z)在区域 R | z | 内解析，