初中数学数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题及解析

一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）
A ．33
B ．27
C ．43
D ．223+
2．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，过A 点作AF ⊥BF ，垂足为F 并延长交BC 于点G ，D 为AB 中点，连接DF 延长交AC 于点E 。

若AB=12，BC=20，则线段EF 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．如图，在菱形ABCD 中，两对角线AC 、BD 交于点O ，AC =8，BD =6，当△OPD 是以PD 为底的等腰三角形时，CP 的长为（ ）
A ．2
B ．
185 C ．
75
D ．
52
4．如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，若3,9,AB BC ==则折痕
EF 的长度为（ ）
A ．3
B ．23
C ．10
D ．
310
2
5．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB
AD
的值是( )
A ．
32
B ．
22
C ．2
D ．3
6．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
7．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E 且AB ＝AE ，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF ．下列结论：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③BF ＝AD ；④S △BEF ＝S △ABC ；⑤S △CEF ＝S △ABE ；其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
8．如图，一张长方形纸片的长4=AD ，宽1AB =，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，将四边形ABFE 沿着EF 折叠后，点B 落在边AD 的中点G 处，则EG 等于（ ）
A 3
B ．3
C ．
178
D ．
54
9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作
DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )
A ．2.5
B ．2.4
C ．2.2
D ．2
10．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形
EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；
③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．
12．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________. 13．如图,在平面直角坐标系中,直线1
12
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当
MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．
14．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当
CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______
16．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．
17．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，
M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，
18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令
AF
n BC
=，EC
m BC
=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．
20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为
t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，
AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．
22．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿
BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．
（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由． （2）设
()01AB
m m AD
=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =． ②若
AE
n AD
=，用等式表示m n ，的关系． 23．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ． （1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时， ①BCF ∠= ；
②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．
（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，
1
3
CD BC =
，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．
．
24．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ． （1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH
BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，
AB 6=
，求AH 的长度；
（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN
CF ，分别交AB ，
CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：
①CEN DEG ∆∆≌； ②ENG ∆是等边三角形．
25．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．
(1)求证：AE ＝AF ；
(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是
(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
26．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由． （2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．
27．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．
（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：
AH CH =；
（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；
（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．
28．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .
(1)求出直线BC 的解析式；
(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值. (3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由. 29．（问题情境）
在△ABC 中，AB=AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF ．
图① 图② 图③
证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）
（变式探究）
当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
（结论运用）
如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
（迁移拓展）
在直角坐标系中.直线l1：y=
4
4
3
x
-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别
交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.
30．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．
试探究下列问题：
（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=23，
BC=4，求EC的长.
【详解】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=1
2 AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，3BC=4，∴7，
故选A.
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．2．C
解析：C
【解析】
【分析】
由直角三角形的性质可求得DF=BD=1
2
AB，由角平分线的定义可证得DE∥BC，利用三
角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．【详解】
解:∵AF⊥BF，D为AB的中点，
∴DF=DB=1
2
AB=6，
∴∠DBF=∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠DFB=∠CBF，
∴DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=1
2
BC=10，
∴EF=DE−DF=10−6=4，
故选：C.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为△ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
过O作OE⊥CD于E．根据菱形的对角线互相垂直平分得出OB，OC的长，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据三角形的面积公式求出OE．在Rt△OED中，利用勾股定理求出ED．根据等腰三角形三线合一的性质得出PE，利用CP=CD-PD即可得出结论．【详解】
过O作OE⊥CD于E．
∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB
1
2
=BD
1
2
=⨯6=3，
OA =OC 12=AC 12=⨯8=4，AC ⊥BD ，由勾股定理得：CD 2222OD OC 34=+=+=5． ∵12OC ×OD =12
CD ×OE ，∴12=5OE ，∴OE =2.4．在Rt △ODE 中，DE =22OD OE -=223 2.4-=1.8．
∵OD =OP ，∴PE =ED =1.8，∴CP =CD -PD =5-1.8-1.8=1.4=75
．
故选C ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出OE 的长是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
设AE x =，根据勾股定理得到AE ，进而得出BE 的长，再证明5BF BE ==，根据EG AB =，求出GF 的长，最后在运用勾股定理即可得到EF ．
【详解】
解：过E 作EG BC ⊥于G ，
设AE x =，则9DE BE x ==-，
在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，
2223(9)x x ∴+=-
解得4x =，
4AE ∴=，
945BE DE ∴==-=，
DEF BFE ∠=∠，DEF BEF ∠=∠，
BFE BEF ∴∠=∠，
5BF BE ∴==，
1GF ∴=，
Rt EFG ∴
中，EF ===
即EF ，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．
5．C
解析：C
【分析】
由题意得△AED ≌△MED 、△BEG ≌△MEG 、△MGF ≌△CGF ，设CG=x ，用含x 的式子表示
AD =2x ，AB =，即可得出
AB AD 2x
==【详解】
∵ED 平分∠AEF
∴∠AED=∠DEM
在矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠BCD=90°
∵DG ⊥EF
∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°
∴∠A=∠DME=90°
∵DE=DE
∴△AED ≌△MED
∴ME=AE
∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点
∴AE=BE
∴ME=BE
∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG
∴Rt △BEG ≌Rt △MEG
∵AD ∥BC
∴∠ADG=∠CGD
∵ED ∥GF
∴∠EDM=∠FGM
∴∠ADE=∠CGF
∴∠CGF=∠FGM
∴△MGF ≌△CGF
∴MG=CG=BG
设CG=x
∴BC=2x
∴AD=DM=2x
∴DG=3x
根据勾股定理可得
CD =
∴AB =
∴AB AD ==故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．
【详解】
解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．
故答案为B ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．
7．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的性质可得AD//BC ，AD=BC ，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD ，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA ，即可证明∠EAD=∠ABE ，利用SAS 可证明△ABC ≌△EAD ；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD ，即可证明
∠ABE=∠BEA=∠BAE ，可得AB ＝BE ＝AE ，得出②正确；由S △AEC ＝S △DEC ，S △ABE ＝S △CEF 得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠BEA=∠EAD，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠BEA，
∴∠EAD=∠ABE，
在△ABC和△EAD中，
AB AE
ABE EAD BC AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE＝∠EAD＝60°，
∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD＝S△ABC，
∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC＝S△DEC，
∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．
若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，
∵△ABE是等边三角形，
∴AG=EH，
若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
综上所述：正确的有①②⑤．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练
掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
连接BE ，根据折叠的性质证明△ABE ≌△A GE '，得到BE=EG ，根据点G 是AD 的中点，AD=4得到AE=2-EG=2-BE ，再根据勾股定理即可求出BE 得到EG.
【详解】
连接BE ，
由折叠得：AE A E '=，A A '∠=∠=90°，AB A G '=,
∴△ABE ≌△A GE ',
∴BE=EG,
∵点G 是AD 的中点，AD=4，
∴AG=2，即AE+EG=2，
∴AE=2-EG=2-BE ，
在Rt △ABE 中，222BE AE AB =+，
∴ 222(2)1BE BE =-+,
∴EG=5BE 4
=
， 故选：D.
【点睛】
此题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，利用折叠证明三角形全等，目的是证得EG=BE ，由此利用勾股定理解题.
9．B
解析：B
【分析】
连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
【详解】
如图，连结CD .
∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，
∴AB 22AC BC +5.
∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACB ＝90°，
∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD .
由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的长最小，
此时，S △ABC ＝
12 BC ·AC ＝12AB ·CD ， 即12×4×3＝12
×5·CD ， 解得CD ＝2.4，∴EF ＝2.4.
故选B .
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
10．A
解析：A
【分析】
根据正方形的性质，以及中点的性质可得△FGN ≌△HAN ，即证①；利用角度之间的等量关系的转换可以判断②；根据△AKH ∽△MKF ，进而利用相似三角形的性质即可判断③；设AN=12AG=x ，则AH=2x ，FM=6x ，根据△AKH ∽△MKF 得出2163
AH x MF x ==，再利用三角形的面积公式求出△AFN 的面积，再利用DHKM ADM AKH S S
S =-即可求出四边形DHKM
的面积，作比即可判断④．
【详解】 ∵四边形EFGB 是正方形，CE=2EB ，四边形ABCD 是正方形
∴G 为AB 中点，∠FGN=∠HAN=90°，AD=AB
即FG=AG=GB=12
AB 又H 是AD 的中点 AH=12
AD ∴FG=HA
又∠FNG=∠HNA
∴△FGN ≌△HAN ，故①正确；
∵∠DAM+∠GAM=90°
又∠NFG+∠FNG=90°
即∠FNG=∠GAM
∵∠FNG+∠NFG+90°=180°
∠AMD+∠DAM+90°=180°
∠FNG=∠GAM=∠AMD
∴DAM NFG ∠=∠，故②正确；
由图可得：MF=FG+MG=3EB
△AKH ∽△MKF ∴
13
KH AH KF MF == ∴KF=3KH
又∵NH=NF 且FH=KF+KH=4KH=NH+NF
∴NH=NF=2KH
∴KH=KN
∴FN=2NK ，故③正确；
∵AN=GN 且AN+GN=AG
∴可设AN=12
AG=x ，则AH=2x ，FM=6x 由题意可得：△AKH ∽△MKF 且相似比为：
2163AH x MF x == ∴△AKH 以AH 为底边的高为：
11242x x ⨯= ∴212
AFN S AN FG x =⨯⨯= 112225DHKM ADM AKH S S S AD DM AH x =-=⨯⨯-⨯⨯ 211172422222
x x x x x =⨯⨯-⨯⨯= ∴2:7
AFN DHKM S S =，故④正确； 故答案选择A ．
【点睛】
本题考查了矩形、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识．
二、填空题
11．①②③④
【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得
AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；
③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；
⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴
AE =
． ∵
AD =，∴AE =AD ．
在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），
∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；
∵∠AHB 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．
∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；
∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．
在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，
HE =DF ，故③正确；
由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；
∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
12．9或9(31)
+．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA交DC于点F，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=1
2
AC=3，
则△ACE的面积为：1
2
AE×CF=
1
2
×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=1
2
AE，AF=CF=
2
2
AC=32
∵AB=BE=6，
∴AE=2
∴2236
AE AF
-=
∴
EC=EF+FC=则△ACE 的面积为：12
EC×AF=11)2
⨯⨯=． 故答案为：9
或1)．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
13．(3,2)-
【分析】
如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．
【详解】
如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴 对于112
y x =+ 当0y =时，
1102
x +=，解得2x =-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B
2,1,OA OB AB ∴====四边形ABCD 是正方形
90BAD ∴∠=︒
，CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒
DAE ABO ∴∠=∠
在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ADE BAO AAS ∴≅
1,2AE OB DE OA ∴====
213OE OA AE ∴=+=+=
则点D 的坐标为(3,2)D -
同理可证：CBF BAO ≅
1,2CF OB BF OA ∴====
123OF OB BF ∴=+=+=
则点C 的坐标为(1,3)C -
由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=
MDC ∴△的周长为5CD DM CM DM C M '++=++
由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-
22(31)(23)17DC '∴=--+-=
则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+
故答案为：(3,2)-，517+．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 14．16或10
【分析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=18．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形
（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°
又GH∥AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，
又B'D=B'C，
∴DH＝HC＝18
3
CD=，AG=DH=8，
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，
EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt△EGB'中，由勾股定理得：
GB′22
13512，
∴B'H=GH×GB'=18-12=6，
在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22
6810
+=
综上，DB'的长为16或10．
故答案为： 16或10
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．
15．120 13
【分析】
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．
【详解】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，
∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO2222
135
AC CO
-=-12．
利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13
．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13
．
所以此时MN最小值为2OH＝120 13
．
故答案为：120 13
．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
16．6
【分析】
先证明△AEB≌△FEB≌△DEF，从而可知S△ABE =1
3
S△DAB，即可求得△ABE的面积．
【详解】
解：由折叠的性质可知：△AEB≌△FEB ∴∠EFB=∠EAB=90°
∵ABCD为矩形
∴DF=FB
∴EF垂直平分DB
∴ED=EB
在△DEF 和△BEF 中
DF=BF EF=EF ED=EB
∴△DEF ≌△BEF
∴△AEB ≌△FEB ≌△DEF ∴13666AEB FEB DEF ABCD S S S S ∆∆∆====
⨯=矩形． 故答案为6．
【点睛】
本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB ≌△FEB ≌△DEF 是解题的关键．
17．2
【分析】
根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．
【详解】
解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =
∴在Rt ABD △中，114222
DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ==
=⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠
∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠
22MAE MAD =∠-∠
()2MAE MAD =∠-∠
2DAC =∠
60=︒
∵=DM EM
∴DME 是等边三角形，且边长为2
∴122
EDM S =⨯=
故答案是：2
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．
18．7
【分析】
①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=
+四边形即可得出答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形
//,AD BC AD BC ∴=
,,AF EC n m BC BC
m n === AF EC ∴=
AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =
∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形
//,//AE CF BF DE ∴
∴四边形EGFH 是平行四边形
综上，图中共有4个平行四边形
如图，连接EF
1,,AF EC n m BC B n C
m ==+= AF EC BC AD ∴+==
AF DF AD +=
EC DF ∴=
AF BE ∴=
∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴=
= 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=
+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+
12874
=⨯= 故答案为：4；7．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．19．【分析】
作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【详解】
解：作AB的中点M，连接EM、CM．
在Rt△ABC中，AB＝22
AC BC
+＝22
86
+＝10，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝1
2
AB＝5．
∵E是BD的中点，M是AB的中点，
∴ME＝1
2
AD＝2．
∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．
20．2或3.5
【分析】
分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．
【详解】
如图，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE= 1
2
BC=9，
①当Q运动到E和B之间，则得：
3t﹣9=5﹣t，
解得：t=3.5；
②当Q运动到E和C之间，则得：
9﹣3t=5﹣t，
解得：t=2，
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】
“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
三、解答题
21．（1）见解析；（211
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=1
2
AC，在
Rt ACE
∆应用勾股定理即可解答．【详解】
（1）证明：∵AB CD
∥，
∴OAB DCA
∠=∠，
∵AC为DAB
∠的平分线，
∴OAB DAC
∠=∠，
∴DCA DAC
∠=∠，
∴CD AD AB
==，
∵AB CD
∥，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD AB
=，
∴ABCD 是菱形；
（2）
∵四边形ABCD 是菱形
∴AO CO =
∵CE AB ⊥
∴90AEC ∠=︒
∴26AC OE ==
在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE -故答案为（211．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-
【分析】
（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；
（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；
②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．
【详解】
（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ，
所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．
若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，
与AB AD =矛盾，
所以点F 不会落在CE 上．
（2）①因为()01AB m m AD
=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，
所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，
所以BF BA CD == ．
因为//AD BC ，
所以DEC FCB ∠=∠ ，
所以BCF CED ≅ ，
所以CF DE =．
②若AE n AD
=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，．
因为//AD BC ，
所以BEA EBC ∠=∠ ．
因为BEF BEA ∠=∠ ，
所以EBC BEC ∠=∠ ，
所以1CE CB AD === ．
在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，， ，
所以22211()n m -+= ，
所以²²20m n n =+-．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．
23．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，3【分析】
（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；
（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；
（3）依据≅△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ∆是等边三角形，AH BC ⊥，可得132==
=BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．。