陕西省宝鸡市金台区高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市金台区高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（）
A．在公园调查了1000名老年人的健康状况
B．在医院调查了1000名老年人的健康状况
C．调查了10名老年邻居的健康状况
D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取（）名学生．
A．40 B．50 C．60 D．70
3．某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其质量状况，我们采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（）
A．8 B．9 C．9.5 D．10
4．省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续5年棉花产量（千克/亩）的统计数据用茎叶图表示如图，则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）
A．棉农甲；棉农甲B．棉农乙；棉农甲
C．棉农甲；棉农乙D．棉农乙；棉农乙
5．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y（万元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）
A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元
6．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）
A．5，2 B．﹣1，5 C．5，﹣1 D．2，5
7．执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是（）
A．1 B．4 C．7 D．13
8．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
9．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q 取自△ABE内部的概率等于（）
A．B．C．D．
10．有长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的五条线段，任取三条线段，能以它们构成三角形的概率是（）
A．B．C．D．
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应的横线上）13．已知P（3，m）在过点M（2，﹣1）和点N（﹣3，4）的直线上，则m的值是．
14．假设小华和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．则小华比小明先到校的概率是．
15．过点M（﹣1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2﹣4x+6y﹣3=0相同的圆的方程是．
16．从一副扑克牌（去掉大、小王，共52X）中随机选取一X，给出如下四组事件：
①“这X牌是红心”与“这X牌是方块”；
②“这X牌是红色牌”与“这X牌是黑色牌”；
③“这X牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这X牌是方块”；
④“这X牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这X牌牌面是A，K，Q，J之一”，
其中互为对立事件的有．（写出所有正确的编号）
三、解答题（本大题共4个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：
（1）样本的容量是多少？
（2）列出频率分布表；
（3）成绩落在哪个X围内的人数最多？并求出该小组的频数，频率；
（4）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．
18．请阅读下列用For语句写出的算法，说明该算法的处理功能，并画出算法框图．
19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且
AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
20．一个盒子中装有 1个黑球和2个白球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球．计算下列事件的概率：
（1）取出的两个球都是白球；
（2）第一次取出白球，第二次取出黑球；
（3）取出的两个球中至少有一个白球．
2015-2016学年某某省某某市金台区高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（）
A．在公园调查了1000名老年人的健康状况
B．在医院调查了1000名老年人的健康状况
C．调查了10名老年邻居的健康状况
D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
【考点】收集数据的方法．
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现
【解答】解：由抽样的特征，抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，而公园，医院，10名老年邻居地理位置比较特殊，不具备广泛性与代表性
故A，B，C错误，
利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况具有广泛性与代表性，故D 正确．
故选：D．
2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取（）名学生．
A．40 B．50 C．60 D．70
【考点】分层抽样方法．
【分析】求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即得所求．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为
=，
故应从一年级本科生中抽取名学生数为
300×=60．
故选：C．
3．某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其质量状况，我们采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（）
A．8 B．9 C．9.5 D．10
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论．
【解答】解：∵362不能够被40整除，
∴先剔除2个，此时为360个，
∵360÷40=9，
∴抽样的间隔为9，
故选：B
4．省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续5年棉花产量（千克/亩）的统计数据用茎叶图表示如图，则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）
A．棉农甲；棉农甲B．棉农乙；棉农甲
C．棉农甲；棉农乙D．棉农乙；棉农乙
【考点】茎叶图．
【分析】根据茎叶图的数据求出甲、乙的平均值及方差，再根据方差的意义是反映一组数据波动大小，稳定程度的量，即可得出结论．
【解答】解：根据茎叶图的数据知，甲棉花产量为：68，69，70，71，72；
乙棉花产量为：68，68，69，69，71．
∴甲的平均值为=（68+69+70+71+72）=70；
乙平均值为=（68+68+69+69+71）=69；
∴甲方差为= [（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+（71﹣70）2+（72﹣70）2]=2，乙方差为= [（68﹣69）2+（68﹣69）2+（69﹣69）2+（69﹣69）2+（71﹣69）2]=1.2；所以棉农甲平均产量较高，棉农乙产量较稳定．
故选：C．
5．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y（万元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）
A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元
【考点】线性回归方程．
【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，
∴回归方程为=0.76x+0.4，
把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，
故选：B．
6．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）
A．5，2 B．﹣1，5 C．5，﹣1 D．2，5
【考点】顺序结构．
【分析】模拟计算机执行程序的过程，即可得出输出的结果．
【解答】解：模拟计算机执行程序的过程，如下；
a=2，b=3，a=2+3=5，b=5﹣3=2，
输出a=5、b=2．
故选：A．
7．执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是（）
A．1 B．4 C．7 D．13
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x＜2，计算并输出y的值为13．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=1
满足条件x＜2，执行循环体，x=2
不满足条件x＜2，y=13
输出y的值为13．
故选：D．
8．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．
【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；
对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；
对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；
对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；
故选D．
9．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q 取自△ABE内部的概率等于（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．
【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．
10．有长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的五条线段，任取三条线段，能以它们构成三角形的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】统计出从511条线段中抽取3条线段的所有可能情况，再统计出能构成三角形的三条线段的所有组合，利用概率公式解答即可．
【解答】解：从长度分别为1cm，3cm，5cm，7cm，9cm的4条线段中任取3条，所有的取法有=10种，能构成三角形的有以下情况
①3cm，5cm，7cm，
②3cm，7cm，9cm，
③5cm，7cm，9cm，
∴P=
故选C
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
12．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．10
【考点】两点间的距离公式．
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y2+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2，
∴|MN|=4．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应的横线上）13．已知P（3，m）在过点M（2，﹣1）和点N（﹣3，4）的直线上，则m的值是﹣2 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程，求出m的值．
【解答】解：
据题意知
∴﹣5=﹣5（﹣1﹣m）
解得m=﹣2
故答案为：﹣2
14．假设小华和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．则小华比小明先到校的概率是．
【考点】几何概型．
【分析】只需考虑小华、小明到校的顺序问题，2人到校的顺序共2种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型．
【解答】解：∵小华、小明早上到校先后的可能性是相同的，
∴小华比小明先到校的概率相等，
∴事件“小华比小明”的概率是．
故答案为：．
15．过点M（﹣1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2﹣4x+6y﹣3=0相同的圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25 ．
【考点】圆的一般方程．
【分析】化已知圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，由两点间的距离公式求出|CM|，代入圆的标准方程得答案．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣4x+6y﹣3=0，得
（x﹣2）2+（y+3）2=16，
∴圆C的圆心坐标为C（2，﹣3），
而|CM|=，
∴点M（﹣1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2﹣4x+6y﹣3=0相同的圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．
故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=25．
16．从一副扑克牌（去掉大、小王，共52X）中随机选取一X，给出如下四组事件：
①“这X牌是红心”与“这X牌是方块”；
②“这X牌是红色牌”与“这X牌是黑色牌”；
③“这X牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这X牌是方块”；
④“这X牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这X牌牌面是A，K，Q，J之一”，其中互为对立事件的有②④．（写出所有正确的编号）
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】由题意和互斥事件和对立事件的定义，逐个判断即可．
【解答】解：从一副扑克牌（去掉大、小王，共52X）中随机选取一X，
①“这X牌是红心”与“这X牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；
②“这X牌是红色牌”与“这X牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；
③“这X牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这X牌是方块”不是互斥事件，故更不会为对立事件；
④“这X牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这X牌牌面是A，K，Q，J之一”是对立事件．
故答案为：②④
三、解答题（本大题共4个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：
（1）样本的容量是多少？
（2）列出频率分布表；
（3）成绩落在哪个X围内的人数最多？并求出该小组的频数，频率；
（4）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．
【分析】（1）根据最右边一组的频数是6，而频率等于该组的面积在整个图形面积中的百分比，因此可得样本容量为48；
（2）（3）根据表格进行分组，求出频数和频率，画出表格，图中矩形面积最大的一组就是人数最多的组，由此找出最高的矩形，在[60，70）这一组，再用公式求出其频数、频率；（4）用样本估计总体：在样本中算出[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100）这四个组占总数的百分比，就可以估计出成绩高于60分的学生占总人数的百分比．
【解答】解：频率分布直方图中，长方形高之比=面积之比=频数之比=频率之比．
（1）∵最右边一组的频数是6，从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2
∴设样本容量为n，
得（1+3+6+4+2）：n=2：6，
∴样本的容量为
（1+3+6+4+2）×=48
（2）频率分布表如下：
（3）成绩落在[70.5，80.5）内的人数最多，频数为，频率为：
（4）估计成绩高于60分的学生占总人数的
18．请阅读下列用For语句写出的算法，说明该算法的处理功能，并画出算法框图．
【考点】循环结构．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序得出该程序的作用是累加并输出S的值，
结合题意画出算法框图即可．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出
S=1+2+3+…+20的值．
根据题意画出算法框图，如下．
19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB
（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．
【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，
∴S△VAB=，
∵OC⊥平面VAB，
∴V C﹣VAB=•S△VAB=，
∴V V﹣ABC=V C﹣VAB=．
20．一个盒子中装有 1个黑球和2个白球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球．计算下列事件的概率：
（1）取出的两个球都是白球；
（2）第一次取出白球，第二次取出黑球；
（3）取出的两个球中至少有一个白球．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）把2个白球记为白1，白2，利用列举法求出基本事件总数，设“取出的两个球都是白球”为事件A，利用列举法求出事件A包括的基本事件数，由此能求出取出的两个球都是白球的概率．
（2）设“第一次取出白球，第二次取出黑球”为事件B，利用列举法求出事件B包括的基本事件个数，由此能求出第一次取出白球，第二次取出黑球的概率．
（3）设“取出的两个球中至少有一个白球”为事件C，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两个球中至少有一个白球的概率．
【解答】（本小题满分18分）（必修3课本149页第11题）
解：（1）把2个白球记为白1，白2．…
所有基本事件有：（黑，黑），（黑，白1），（黑，白2），（白1，黑），（白1，白1），
（白1，白2），（白2，黑），（白2，白1），（白2，白2）共9种．…
设“取出的两个球都是白球”为事件A．…
事件A包括的基本事件有（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4种．…
∴取出的两个球都是白球的概率．…
（2）设“第一次取出白球，第二次取出黑球”为事件B．…
事件B包括的基本事件有（白1，黑），（白2，黑）共2种．…
∴第一次取出白球，第二次取出黑球的概率．…
（3）设“取出的两个球中至少有一个白球”为事件C，
则就表示“取出的两个球都是黑球”，的结果只有1种，…
∴取出的两个球中至少有一个白球的概率．…。