2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.2.2第2课时直线的两点式方程与一般式方程

解 (1)由点斜式,得直线方程为 y-3= 3(x-5),
即 3x-y-5 3+3=0.
(2)由斜截式,得直线方程为 y=4x-2,
即 4x-y-2=0.
-(-1)
-5
,
=
(3)由两点式,得直线方程为
-1-5 2-(-1)
即 2x+y-3=0.


(4)由截距式,得直线方程为 + =1.
-3 -1
2021
第二章
第2课时 直线的两点式方程与一般式方程
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课前篇 自主预习
激趣诱思
同学们,在初中我们已经知道两点确定一条直线,那么,在平面内经过两个
定点的直线的方程能否用“公式”写出来呢?若这两个点的坐标为
A(x1,y1),B(x2,y2),你有几种思路写出上述所求的“公式”呢?我们学过的直线
x轴
课堂篇 探究学习
探究一
直线的两点式方程
例1已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,
(1)求BC边所在的直线方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 (1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2),
-(-4)
-5
由两点式,得
=
,
-2-(-4) 0-5
即2x+5y+10=0,
①斜率是-
1
2
,且经过点A(8,-6)的直线方程为
②在x轴和y轴上的截距分别是
3
2
;
和-3的直线方程为
③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为
.
(2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为(
x-3y+5=x-3y-5=0
x+4y-5=x+4y+5=0
;
)
答案 (1)①x+2y+4=0
,即27 + 27 =1,
-3-2 6-5
5
故直线在 x 轴上的截距为 27,故选 D.
(2)解 因为 A(2,-1),B(2,2),A,B 两点横坐标相同,直线 AB 与 x 轴垂直,所以其方
程为 x=2.
-1
-4
因为 A(2,-1),C(4,1),由直线的两点式方程可得 AC 的方程为
=
,即
反思感悟1.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满
足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用
两点式求方程.
2.由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺
序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,
即x2与y2是同一点坐标,而x1与y1是另一点坐标.

解 由题意,得 lAB:3 + 4=1,所以线段 AB 的方程为 4x+3y-12=0(0≤x≤3).
4
所以 xy=x· 4- 3
3 2
4 2 4
=4x-3x =-3 - 2 +3.
3
所以当 x= 时,xy 取得最大值 3.
2
反思感悟对直线的截距式方程应注意以下几点:

(1)在方程 + =1中,要求a≠0,b≠0,即直线在x轴与y轴上的截距都不为0,因
.
微思考
在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,当A=0或B=0时方程分别表示怎样的直线?
提示 在方程 Ax+By+C=0(A +B ≠0)中,若 B=0,则
2
2
C
x=- ,它表示一条与
A
行或重合的直线,此时直线的斜率不存在;若 A=0,则
平行或重合的直线,此时直线的斜率为 0.
y 轴平
C
y=-B ,它表示一条与
此它不能表示过坐标原点或平行于x轴、y轴的直线.
(2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式来求解,注
意截距都为0,即直线过原点这种情况.
变式训练2在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(
)
x+3y-12=x-3y+12=0
x+3y-1=x-3y+1=0
答案 B

解析 根据直线方程的截距式写出直线方程 + 4=1,化简得 4x-3y+12=0,故
变式训练1(1)经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为(
A.2
B.-3
)
C.-
(2)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求△ABC三条
边所在直线的方程.
(1)答案 D
-2
-5


解析)×
(2)×
(3)×
)
微练习
(1)在平面直角坐标系中,直线x+
°
°
°
3 y-3=0的倾斜角是(
°
答案 C
解析 直线斜率 k=-
3
,所以倾斜角为
3
150°,故选 C.
)
(2)已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,直线恒过定点
答案 (3,1)
解析 kx-y+1-3k=0可化为y-1=k(x-3),所以直线过定点(3,1).
满足(
)
A.m≠0
3
B.m≠-2
C.m≠1
3
D.m≠1,m≠- ,m≠0
2
(2)若直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则a=
.
答案 (1)C
(2)1
解析 (1)因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以
2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得m≠1.
方程的各种形式,最后能否都归为一种形式呢?带着这些问题,让我们进入
今天的课题吧!
知识点拨
1.直线的两点式方程
名师点析(1)若直线 l 过点 A(0,b),B(a,0),且 ab≠0,则直线 l 的方程可利用两点式
x
得出并化简为
a
+
y
=1
b
的形式,这一方程形式可以称之为直线的截距式方程,
其中 a 是直线在 x 轴上的截距,b 是直线在 y 轴上的截距.

2 3
因为直线 l 过点 P(2,3),所以 + =1,得 a=5.

所以直线l的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
正解2由题意知,直线l的斜率存在,且不为0.
设直线方程为y-3=k(x-2),且k≠0.
3
令 x=0,则 y=3-2k;令 y=0,则 x=2-.
名师点析(1)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的方程形
式及适用范围.
(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
微判断
(1)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.(
)
(2)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的
直线.(
)
(3)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线.(
y-y1
x-x1
示;只需将 y -y = x -x 变形为(x-x1)·(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)的形式,就能适用于
2 1
2 1
所有直线了.
2.直线的一般式方程
所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是实常数,而
且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程.
2
2
由直线 l 化为斜截式方程
2 -2-3
6-2
2 -2-3
得 y= 2
x+ 2
,得 2
=1,
2 +-1 2 +-1 2 +-1
得m=-2或m=-1(舍去).
∴m=-2.
延伸探究对于本例中的直线l的方程,若直线l与y轴平行,求m的值.
解 ∵直线 l 与 y 轴平行,
2 -2-3 ≠ 0,
-3
选 B.
探究三
直线的一般式方程
例3根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是 3 ,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1;
(5)经过点B(4,2),且平行于x轴.
(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;
(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.
解 (1)由题意知 m2-2m-3≠0,即 m≠3 且 m≠-1.
2-6
令 y=0,则 x= 2
,
-2-3
2-6
5
∴ 2
=-3,得 m=- 或 m=3(舍去).
3
-2-3
5
∴m=-3.
1
(2)由题意知,2m +m-1≠0,即 m≠ 且 m≠-1.
故所求的直线方程为 x+y-5=0.
错因分析忘记截距为0的情况,而导致丢解.
【规范答题】
正解1(1)当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),
3-0 3
所以直线 l 的斜率为 k=
= 2,
2-0
3
所以直线 l 的方程为 y=2x,即 3x-2y=0.

(2)当截距不为 0 时,可设直线 l 的方程为 + =1.
1
2
∴ -(2 + -1) = 0,∴m=2.
6-2 ≠ 0,
反思感悟1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为零.
2.令x=0可得在y轴上的截距,令y=0可得在x轴上的截距,若确定直线的斜率
存在,可将一般式化为斜截式.
3.解分式方程要注意验根.
变式训练4(1)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m
3
3
由题意,知 3-2k=2-,解得 k=2或 k=-1.
3
故满足条件的直线方程是 y-3=2(x-2)或 y-3=-(x-2),即 3x-2y=0 或 x+y-5=0.
当堂检测
1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为(
x+3y-25=x-3y-25=0
x-5y-25=x-3y+25=0
答案 B
-0
-5
解析 由两点式得
=
,
-5-0 2-5
所以得 5x-3y-25=0.
即x+3y+3=0.
(5)y-2=0.
反思感悟1.在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据
给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式.
2.当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足下列条件时,直线Ax+By+C=0
有如下性质:
(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;
(2)若直线 l
x
的方程为a
+
y
=1,则
b
①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+ a2 + b 2 ;
②直线与坐标轴围成的三角形的面积为
1
S=2|ab|;
③当直线在两坐标轴上的截距相等时,直线 l 的斜率 k=-1,故常设直线方程为
x+y=a.
微判断
(1)直线的两点式方程适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.(
(2)由题意知a≠0,当x=0时,y=2;
2
2
当 y=0 时,x= ,∵2= ,∴a=1.


素养形成
易错点——因忽视截距为0的情况而致错
案例求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.

错解 设直线方程为 + =1,
2 3
将 x=2,y=3 代入,得 + =1,解得 a=5.
②2x-y-3=0
③x+y-1=0
(2)A
解析 (2)在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点(-y,-x)在直
线l:3x-4y+5=0上,
∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,故选A.
探究四
含参数的一般方程的有关问题
例4设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0.
(2)设 BC 的中点为 M(a,b),
5+0 5
-4+(-2)
则 a=
= ,b=
=-3,
2
2
2
5
所以 M( ,-3),
2
又 BC 边的中线过点 A(-3,2),
-2
-(-3)
所以
=5
,即 10x+11y+8=0,
-3-2
-(-3)
2
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0.
(2)过原点的直线不适用两点式方程.(
答案 (1)
(2)×
)
)
微练习
过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为
答案 5x-y-13=0
解析
y-2
由
7-2
=
x-3
,整理得
4-3
5x-y-13=0.
.
微思考
两点式表示直线方程的条件是什么?两点式怎样变形就能适用于所有过两
点的直线了?
提示 两点式除了不适用于斜率为0与斜率不存在的直线,其他情况均可表
(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;
(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
变式训练3(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
-1-1 2-4
x-y-3=0.
-2 -2
同理可由直线的两点式方程得直线 BC 的方程为
=
,即 x+2y-6=0.
1-2 4-2
所以三边AB,AC,BC所在直线的方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
探究二
直线的截距式方程
例2已知点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,求xy的最大值.