合肥九中部编版2020学年高一数学上学期期中试题

2019学年第一学期高一期中考试
数学试题
时间：120分钟 总分：150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．设全集U ＝{x ∈Z|－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N|－1<x <4}，则B ∩(∁U A )＝( )
A ．{3}
B ．{0,3}
C ．{0,4}
D ．{0,3,4} 2．函数f (x )＝2x
＋3x 的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2) 3．函数y ＝
)
34(log 1
5.0-x 的定义域为( )
A.)1,4
3( B.),4
3(+∞ C ．(1，＋∞) D.)1,4
3(∪(1，＋∞)
4．若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]
1,0[,4)
0,1[,41x x x
x
，则f (log 43)＝( )
A.13
B.1
4 C ．3 D ．4
5．已知函数f )1
(x
x -
＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( )
A ．8
B ．9
C ．11
D ．10
6．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(－1,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
7．设a ＝3log 2
1，b ＝2.031⎪⎭⎫
⎝⎛，c ＝31
2，则( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c 8．函数f (x )＝4x
＋1
2
x 的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于y ＝x 对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋1
，x ≤0，
log 2x ，x >0，
若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( )
A.(8，＋∞) B ．(－∞，0)∪(8，＋∞) C ．(0,8) D ．(－∞，0)∪(0,8)
10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|<|x 2|，
则( )
A ．f (x 1)－f (x 2)<0
B ．f (x 1)－f (x 2)>0
C ．f (x 1)＋f (x 2)<0
D ．f (x 1)＋f (x 2)>0
11．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
|log 3x |，0＜x ≤9，
－x ＋11，x ＞9，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，
则abc 的取值范围是( )
A ．(0,9)
B ．(2,9)
C ．(9,11)
D ．(2,11)
12．设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若对所有的x ∈[－1,1]及任意的
a ∈[－1,1]都满足f (x )≤t 2－2at ＋1，则t 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞) C.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21 D.]21,(--∞∪{0}∪),21[+∞
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．设f (x )＝2x 2
＋3，g (x ＋1)＝f (x )，则g (3)＝________.
14．已知f (x )＝ax 3
＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 15．当A ，B 是非空集合，定义运算A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ＝{x |y ＝1－x }，
N ＝{y |y ＝x 2，－1≤x ≤1}，则M －N ＝________.
16．已知函数f (x )＝lg(2x
－b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取
值范围是________．
三、解答题(共70分,需写出解题过程)
17．(10分)计算： (1)lg 52＋23
lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2
；
(2)312
－2716
＋1634
－2×(8-
23
)－1
＋5
2×(4
-
25
)－1
.
18．(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R.
(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ； (2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．
19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋m x
，且此函数的图象过点(1,5)．
(1)求实数m 的值； (2)讨论函数f (x )在[2，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．
20．(12分)已知二次函数f (x )满足f (x )－f (x ＋1)＝－2x 且f (0)＝1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－1,1]时，不等式 f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的范围；
21．(12分)已知f (xy )＝f (x )＋f (y )．
(1) 若x ，y ∈R ，求f (1)，f (－1)的值； (2)若x ，y ∈R ，判断y ＝f (x )的奇偶性； (3)若函数f (x )在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x )＋f (x －2)≤3，
求x 的取值范围。

22．(12分)已知函数f(x)＝a－2
2x＋1
(a∈R).
(1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明；
(2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数，求a；
(3)对于(2)中的a，若f(x)≥m
2x
，当x∈[2,3]时恒成立，求m的最大值．
合肥九中2018－2019学年第一学期期中考试高一
数学参考答案
一、BBACC DADAA CB
二、13.11 14. －10 15. {x |x <0} 16. (－∞，1] 三、17解：(1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
(2)原式＝312
－(33
)16
＋(24
)34
－2×(23
)23
＋215
×(22
)25
＝312
－312
＋23
－2×22
＋215
×245
＝8－8＋2
+1455
＝2.
18.解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1＜x ＜6} ＝{x |1＜x ≤8}．
∵∁U A ＝{x |x ＜2或x ＞8}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1＜x ＜2}． (2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可，∴a ＜8. ∴a 的取值范围为(－∞，8)．
19．解：(1)∵f (x )过点(1,5)，∴1＋m ＝5⇒m ＝4.
(3)证明：任取x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2
＝(x 1－x 2)＋
4
x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－4
x 1x 2
.
∵x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增．
20.解：(1)令f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，代入已知条件，
得：⎩⎪⎨
⎪
⎧
a x ＋12
＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ，
c ＝1，
∴⎝ ⎛
a ＝1，
b ＝－1，
c ＝1，
∴f (x )＝x 2
－x ＋1.
(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )>2x ＋m 恒成立， 即x 2
－3x ＋1>m 恒成立；
令g (x )＝x 2
－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54
，x ∈[－1,1]．
则对称轴：x ＝3
2∉[－1,1]，g (x )min ＝g (1)＝－1，∴m <－1.
21. 解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0.
又令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 所以f (－1)＝0. (2)令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，由(1)知f (－1)＝0， 所以f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数．
(3)因为f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，所以f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3，
因为f (x )＋f (x －2)≤3， 所以f [x (x －2)]≤f (8)，
因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －2>0，
x x －2≤8，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x >2，－2≤x ≤4，
所以x 的取值范围是(2,4]．
22.解：(1)不论a 为何实数，f (x )在定义域上单调递增．
证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 由x 1<x 2可知0<2x 1<2x 2， 所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．
所以由定义可知，不论a 为何数，f (x )在定义域上单调递增． (2)由f (0)＝a －1＝0得a ＝1，经验证，当a ＝1时，f (x )是奇函数．
(3)由条件可得： m ≤2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝(2x ＋1)＋22x ＋1－3恒成立．m ≤(2x
＋1)＋22x ＋1－3
的最小值，x ∈[2,3]．
设t ＝2x
＋1，则t ∈[5,9]，函数g (t )＝t ＋2t
－3在[5,9]上单调递增，
所以g (t )的最小值是g (5)＝
125， 所以m ≤125，即m 的最大值是125
.。