高中数学 3.2二倍角的三角函数课件 苏教版必修4

接
A．－43
B.45
C．－23
D．4
答案(dáàn)：A
第六页，共30页。
7．函数 y＝sin 2xcos 2x 的最小正周期是( )
π
π
A．π B．2π
C. 2
D. 4
答案(dáàn)：C
栏 目
链
8．若 cosπ2 ＋α＝45，则 cos 2α＝__－_2_75____.
接
9．sin2π8 －cos2π8 的值是__－_2_2____．
链 接
第十三页，共30页。
知识点2 二倍角公式的逆用、变形(biàn xíng)应用
1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证
明中有广泛的应用．
栏
2．注意右边化为左边的应用，如 sin
3αcos
3α＝12sin
6α，
目 链 接
4sin
α4 cos
α4 ＝2sin
α 2tan 40° 2 ，1－tan240°＝tan
系式，通过缩小角的范围就可以解决．
解析：∵0<sin θ＋cos θ＝ 22<1，且 0<θ<34π，
栏 目
链
∴π2 <θ<34π，2θ∈π，32π，
接
将 sin θ＋cos θ＝ 22，两边平方得 sin 2θ＝－12，
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
第十九页，共30页。
方法指导：本题还可以通过判断π2 <θ<3π4 ，利用已知条
链 接
∴cos 2α＝sin π2 －2α
＝2sinπ4 －αcosπ4 －α
第二十一页，共30页。
＝2×153×1123＝112609，cosπ4 ＋α
＝sinπ2 －π4 ＋α＝sinπ4 －α＝153.
∴原式＝116290×153＝2143.
栏 目 链
接
第二十二页，共30页。
题型2 化简与证明 (zhèngmíng) 例3
x·1＋co2s
2x ＋cos
3x·sin
x·1－co2s
2x
＝12(sin 3xcos x＋cos 3xsin x)＋12cos 2x·(sin 3xcos x－
栏 目 链
接
cos 3xsin x)
＝12sin 4x＋12cos 2xsin 2x
＝34sin 4x，
∴fπ16＝34sinπ4 ＝38 2.
第二十七页，共30页。
题型3 二倍角公式的灵活(línɡ huó)应用 例 5 求 sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值．
栏
分析：通过诱导公式化为 20°，40°，60°，80°余
目 链
接
弦的积，其中 60°是特殊角，40°是 20°的 2 倍，80°是
40°的 2 倍，故可考虑逆用二倍角公式．
＝0 或 cos α＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．
若 cos 2α＝2cos α，则 2cos2α－2cos α－1＝0，即 cos α 栏
目
＝1－2 3cos α＝1＋2 3舍去.
链 接
2tan α 若 tan 2α＝2tan α，则1－tan2α＝2tan α，
∴tan α＝0，即α＝kπ(k∈Z)．
第十六页，共30页。
题型1 求值
例 1 已知 sin α＝45，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
分析：由 sin α＝45，而α所在象限没有给出，因此要分类讨论．
解析：∵sin α＝45，∴α为第一或第二象限角．
栏 目 链
接
(1)当α为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝35，tan α＝43，
数，或运算)，寻找联系(借助熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由
因导果或执果索因)，实现转化．
第二十九页，共30页。
变式训练(xùnliàn)
3．已知 f(x)＝sin 3xcos3x＋cos 3xsin3x，求 fπ16的值．
解 析 ： f(x) ＝ sin 3xcos3x ＋ cos 3xsin3x ＝ sin 3x · cos
栏 目 链 接
第二十六页，共30页。
变式训练(xùnliàn)
2．化简：2 sin 8＋1－ 2cos 8＋2.
解析：原式＝2 sin24＋2sin 4cos 4＋cos24－
栏 目 链 接
＝2|sin 4＋cos 4|－2|cos 4|. ∵π<4<32π，∴sin 4＋cos 4<0，cos 4<0. ∴原式＝－2sin 4－2cos 4＋2cos 4＝－2sin 4.
sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2245，
cos 2α＝1－2sin2α＝－275，
第十七页，共30页。
4
24
tan 2α＝12－tatnanα2α＝12－×4332＝－274或 tan 2α＝scions 22αα＝－22575
＝－274.
(2)当α为第二象限角时，cos α＝－ 1－sin2α＝－35，
栏 目
链
sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×－35＝－2245，
接
cos 2α＝1－2sin2α＝－275，
tan 2α＝csions 22αα＝274.
第十八页，共30页。
例 2 已知 sin θ＋cos θ＝ 22，0<θ<34π，求 sin 2θ，cos 2θ的
值．
分析：要解决 sin 2θ，cos 2θ的值，利用同角三角函数的关
第十二页，共30页。
3．二倍角公式不仅限于 2α是α的二倍的形式，其他如 4α是 2
α的二倍，α2 是α4 的二倍，3α是3α2 的二倍，α3 是α6 的二倍等，所有
这些都可以应用二倍角公式．
栏
目
α αα α α α 例如：sin 2 ＝2sin 4 cos 4 ，cos 3 ＝cos2 6 －sin2 6 等．
目 链
接
证 明 ： (1) 左 边 ＝ sin
2 α ＝ 2sin
α cos
α ＝ 2sin
αcos 1
α ＝
c2ossin2αα＋csoisn2αα＝12＋tatnanα2α＝右边．
第二十五页，共30页。
(2) 左 边 ＝ cos
2
α
＝
cos2
α
－
sin2
α
＝
cos2α－sin2α 1
＝
cos2α－sin2α 1－tan2α cos2α＋sin2α＝1＋tan2α＝右边．
链 接
在的，故可改用诱导公式．
例如：当α＝kπ＋π2 ，k∈Z 时，tan 2α＝tan 2·kπ＋π2 ＝ tan(2kπ＋π)＝tan π＝0.
第十一页，共30页。
2．一般情况下：sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2
α≠2tan α.
若 sin 2α＝2sin α，则 2sin αcos α＝2sin α，即 sin α
第八页，共30页。
12．化简 1＋sin 10°＋ 1－sin 10°＝________.
解析： 1＋sin 10°＋ 1－sin 10°
＝ cos25°＋2sin 5°cos 5°＋sin25°＋
栏
目
cos25°－2sin 5°cos 5°＋sin25°
链 接
＝(cos 5°＋sin 5°)＋(cos 5°－sin 5°)＝2cos 5°.
栏 目 链 接
分析：依据化简问题的基本原则，减少角的种类，使 形式尽量简洁，因此，本题化简首先从分母的化简入手．
第二十三页，共30页。
解析：原式＝
sin 2x
2sin
x2cos
x2－2sin2x22sin
x2cos
x2＋2sin2x2
sin 2x
sin 2x
＝4sin2x2cos2x2－sin2x2＝4sin2x2cos x
式的转化．这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一，在学习 栏
目
过程中，要注意应用．
链
接
4．在理解倍角公式的同时，结合前面学过的内容，从中体会到
三角函数公式中充满了辩证法．非同角公式中“和与差”“倍与半”
“弦与切”“升与降”既是相对的概念，又可以求同存异、相辅相成．
第十五页，共30页。
栏 目 链 接
第三十页，共30页。
第二十八页，共30页。
解析：原式＝cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°
23·sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝
23·2sin 20°
sin 160° sin 20° 1
＝16sin 20°＝16sin 20°＝16.
栏 目
链
◎规律总结：三角恒等变形的基本步骤：观察差异(或角，或函 接
第七页，共30页。
10．tan A＋tan1 A＝m，则 sin 2A＝________.
解析：tan
A＋ta1n
A＝scions
AA＋csoisn
A A
sin2A＋cos2A 2
2
＝ sin Acos A ＝sin 2A＝m，∴sin 2A＝m.
栏 目 链
接
答案：m2 11．y＝cos x－sin2x－cos 2x＋74的最大值为____2____．
答案：2cos 5°
第九页，共30页。
栏 目 链 接
第十页，共30页。
知识点1 二倍角的正弦、余弦(yúxián)、正切公式
1．公式 S2α，C2α中的角α没有限制．但公式 T2α需在α≠12kπ＋
π4 和α≠kπ＋π2 (k∈Z)时才成立．
栏
目
当α＝kπ＋π2 ，k∈Z 时，虽然 tan α不存在，但 tan 2α是存
栏 目 链 接
xx
＝4sin4si2nc2ox2sco2scxos
x ＝
1
tan
x. 2
第二十四页，共30页。
例 4 证明：(1)sin 2α＝12＋tatnanα2α；
1－tan2α (2)cos 2α＝1＋tan2α.
分析：弦切转化是利用同角三角函数的商数关系．整式与分式
栏
的转化是运用 1 作分母．
80°，cos22α－sin22
α＝cos 4α等．
第十四页，共30页。
3．把 cos2α＝1＋co2s
2α，sin2α＝1－co2s
2α 称为降幂公式，
把 1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α称为升幂公式，这几
个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形
件及 sin2θ＋cos2θ＝1，分别解出 sin θ，cos θ，然后求
出 sin 2θ，cos 2θ.
栏
目
链
接
第二十页，共30页。
变式训练
(xùnliàn)
1．解已析知：∵siαnπ∈4 －0，απ4＝，153∴，π40<－αα<∈π4 ，0，求π4coc，sosπ4 ＋2αα的值．
栏
目
又∵sinπ4 －α＝153，∴cosπ4 －α＝1123.
α＝β
2cos2α－1 1－2sin2α
2sinαcosα
cos2α－sin2α
2tan α 1－tan2α
栏 链
接
第五页，共30页。
5. 2－sin22＋cos 4的值是( )
A．sin 2
B．－cos 2
C. 3cos 2
D．－ 3cos 2
答案(dáàn)：D
栏
目
链
6．设 f(tan x)＝tan 2x，则 f(2)＝( )
第3章 三角(sānjiǎo)恒等变换 3．2 二倍角的三角(sānjiǎo)函数
第一页，共30页。
栏 目 链 接
第二页，共30页。
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用
条件．
栏
2．熟练运用倍角公式进行化简，求值和证明．
目
链
接
第三页，共30页。
栏 目 链 接
第四页，共30页。
α＝β α＝β