220第八章 弯曲变形

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2
qlx2 q 3 EI ( x) x C 4 6
qlx q 4 EIy( x) x Cx D 12 24
3
代入边界条件：x=0,y =0; x=l,y =0得D=0
1 qlx2 qx3 ql3 ( x) ( ) EI 4 6 24 3 4 3 1 qlx qx ql y ( x) ( x) EI 12 24 24
第 八 章
弯曲变形
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第八章 弯曲变形
§8-1 概述 §8-2 挠曲线的近似微分方程 §8-3 用积分法求梁的变形 §8-4 用叠加法求梁的变形 §8-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 §8-6 用变形比较法解简单超静定梁
目录
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§8-1 概 述
7-1
目录
1.基本概念
转角
挠度
挠曲线
挠曲线方程：
~
A
~
光滑连续条件
A
~
yA 0
yA
－弹簧变形
y AL y AR
~
AL AR
~
~
A 0
~
A A
yA A 0
AA
~
~
A
AA
A
A A
A
~
y AL y AR
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A
例1 由积分法求图示梁的yA、A。
F A l
y
解：1、弯矩方程
x x
M ( x) Fx
2、微分方程及积分
1 2 1 2 2 Fa C1 Fa Fa 2 2 1 3 1 3 1 3 2 3 Fa C1a D1 Fa Fa Fa 6 6 2 3
2
即：
7 3 C1 Fa ； D1 Fa 6 1 2 2 EI 1 Fx 1 Fa 2 1 3 7 3 2 EIy 1 Fx 1 Fa x1 Fa 6 6
dy2 Fb 2 F EI EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2
3
Fb 3 F EIy2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
4
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4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件
y
A
A
F
D
C
B
F 2 EI x C 2
d y EI 2 Fx dx F 3 EIy x Cx D 6
目录
2
3、确定积分常数
2
F 2 EI x C 2
F 3 EIy x Cx D 6
Fl y 0, D 3
3
Fl x l , 0 C ; x l, 2
Fb 2 Fb 2 EI 1 x1 (l b2 ) 2l 6l
FAy x1
ymax
x2
Fb 3 Fb 2 EIy1 x1 ( l b 2 ) x1 6l 6l
CB 段： a x2 l
a
b
Fb 2 F Fb 2 2 2 EI 2 x2 ( x2 a) (l b ) 2l 2 6l
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最后可得：
y A y1 x10
7 Fa3 D1 6 EI
（向下）
A 1 x10
Fa2 C1 EI
（逆时针）
小结： (1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数； (2) 由约束和连续条件求积分常数；
(3) 坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)；
y y( x )
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y
y
x
P
x
y 向下为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 顺时针为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
7-2
dx
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2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
M ρ EI
1

z
B
B x
FBy
x1 0, x2 l ,
y1 (0) 0 y2 (l ) 0
5 6
FAy x1
ymax
x2
a
b
光滑连续条件
x1 x2 a, x1 x2 a,
1 (a) 2 (a)
y1 (a) y2 (a)
7 8
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代入求解，得
将（7）式带入（1）式和（3）式，得
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4）由位移边界条件确定积分常数
dy 1 2 EI EI Flx Fx C A dx 2 1 1 2 EIy Flx Fx3 Cx D 2 6 边界条件 x 0, 0 x 0, y 0 A A
5）确定转角方程和挠度方程
y
F B
x
l
yB
B
x
C 0,
4、转角方程，弯矩方程
F (x2 l 2 ) 2 EI
F 3 2 3 y ( x 3l x 2l ) 6 EI
Fl yA 3EI
3
5、最大转角和最大挠度
Fl A 2 EI
2
（逆时针）
（向下）
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积分法求解梁位移的思路： ① 建立合适的坐标系；
d2y ③ 建立近似微分方程： EI 2 M x dx ④ 积分求 EI 和 EIy;
d y1 近似微分方程为： EI 2 M x1 Fx1 dx1 1 2 积分可得： EI 1 Fx1 C1 2
1 3 EIy 1 Fx1 C1 x1 D1 6
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2
F A a
x2
Fa
C EI a B
BC段：
a x2 2a
M x2 Fx2 Fa
yAA来自FDC
B
B x
FBy
Fab (l a )( ) 6 EIl
FAy x1
ymax
x2
a
b
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A
l/2 Ⅰ
F C D
Ⅱ
B x
A
x1 a y
yC
y max
B
b
当a>b时，右支座截面的转角绝对值最大，为：
max
Fab l a B 6lEI
对AD段，由y'1=0可得极值点位置为：
Fb 3 F Fb 2 2 3 EIy2 x2 ( x2 a) (l b ) x2 6l 6 6l
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6）确定最大转角和最大挠度
d 令 得， 0 dx x l , max B dy 令 得， 0 dx
l 2 b2 x , 3 ymax Fb ( l 2 b 2 )3 9 3 EIl ( )
由此可得： 即：
x2 2a 时， 2 0
C2 0
1 2 EI 2 Fx 2 Fax 2 2
y2 0 2 3 D2 Fa 3
1 3 1 2 3 2 EIy 2 Fx 2 Fax 2 Fa 6 2 3
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连续条件：x1 x2 a 处， 由此可得：
1 2；y1 y2
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
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由数学知识可知：
d y 1 dx dy [1 ( ) ] dx
2 2 2
O
M (x ) > 0 M (x ) > 0
x
3 2
y
dy dx 2 < 0
2
x O
M（X）<0 M（X）<0
略去高阶 微量，得 所以
d2y 2 dx 1
C1=C2
将（8）式带入（2）式和（4）式，得 D1=D2
将边界条件x1=0时，y1=0 带入(2)式得 D1=D2 =0 将边界条件x2=l 时，y2=0 带入(4)式得
1 Fb3 C1 C2 Fbl 6 6l
27
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5）确定转角方程和挠度方程
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
AC 段： 0 x1 a
FAy x1
ymax
x2
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l a x2 l
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3）列挠曲线近似微分方程并积分
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
AC 段：
Fb M x1 FAy x1 x1 , 0 x1 a l
x
M A Fl
2）写出x 截面的弯矩方程
y
M ( x) M A FAX x Fl Fx
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3）列挠曲线近似微分方程并积分
y
F
x
l
yB
d y EI M ( x) Fl Fx 2 dx
积分一次
2
A
B
B
x
dy 1 2 EI EI Flx Fx C dx 2 再积分一次 EIy 1 Flx 2 1 Fx 3 Cx D 2 6
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接 判别。
② 求弯矩方程M(x) ；
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例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转 角和最大挠度，梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
MA
FAx 0,
FAy F ,
A
x
l
yB
F B
B
FAX FAY
l 2 b2 aa 2b x1 3 3
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当a>b时，可见x1将小于a，则最大挠度在AD段，为：
Fb 2 2 3 y max y1 x x l b 1 9 3lEI 当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
提高梁刚度的措施1选择合理的截面形状目录2改善结构形式减少弯矩数值85梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录2改善结构形式减少弯矩数值85梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录3采用超静定结构85梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录3采用超静定结构85梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录大型载重汽车86用变形比较法解简单超静定梁1
D0
1 1 2 ( Flx Fx ) EI 2
6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 x l , max B , 2 EI
1 1 1 3 2 y ( Flx Fx ) EI 2 6
ymax Fl 3 yB 3 EI
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例3 图示简支梁受分布力作用，确定其挠度方程、转 角方程及最大挠度和转角，EI为常数。
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
y
d y 0 dx
2 2
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由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠 曲线的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似 微分方程为：
d y M ( x) dx EI
2 2 z
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转 角和挠度。
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挠曲线的近似微分方程：
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
CB 段： a
x2 l
l
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a) x 2 F ( x2 a )
FAy x1
ymax
x2
a
b
d 2 y2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l
3
ql3 C 24
ql max A B , 24EI
5ql ymax 384EI
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4
例4 由积分法求图示梁的yA、A。
F A a y
x1
Fa
C
EI a
B
x
解：1) 坐标系如图； 2) 分两段进行分析：
AC段： 0 x1 a
M x1 Fx1
x
A
FA ql 2
q l
FB ql 2
B
x
解：1、弯矩方程为： ql q 2 M ( x) x x 2 2 代入微分方程并积分得
y
d y ql q 2 EI 2 x x dx 2 2 qlx2 q 3 EI ( x) x C 4 6
qlx3 q 4 EIy( x) x Cx D 12 24
d 2 y1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l
FAy x1
ymax
x2
a
b
dy1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 dx1 2l
Fb 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 6l
1
2
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3）列挠曲线近似微分方程并积分
d y M ( x) dx EI
2 2 z
积分一次得转角方程：
z z
d y EI M ( x) dx
2 z 2
dy EI EI M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度方程：
EI y M ( x)dxdx C x D
z
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积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条 件确定。 位移边界条件
近似微分方程为：
d 2 y2 EI 2 Fx2 Fa dx2
积分可得：
1 2 EI 2 Fx 2 Fax 2 C2 2 1 3 1 2 EIy 2 Fx 2 Fax 2 C2 x2 D2 6 2
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利用约束和连续条件确定C1 、D1 、C2、D2四个常数：
约束条件：
(4) 注意x1 、 x2的范围。
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例5 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和 最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
A
A
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAy Fb Fa , FBy l l
F
D
C
B
B x
FBy
2）弯矩方程 AC 段：
Fb M x1 FAy x1 x1 ,0 x1 a l