5-6函数y=Asin(ωx+φ)(教学课件)-高一数学人教A版(2019)必修第一册

(k∈Z).
(3)∵5sin
2
x-
π 6
≤0,
∴2kπ-π≤2x- π ≤2kπ(k∈Z).
6
∴kπ- 5π ≤x≤kπ+ π (k∈Z).
12
12
∴使y≤0的x的取值集合为 x
|
kπ-
5π 12
x
kπ
π 12
,k
Z.
解题模板
有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质的问题,要充分利用正弦曲线的性质,要特别注意整 体代换思想,借助图象提高直观想象能力.
4
位长度即可.
解析
由已知得y=
3
sin
2x+cos
2x=2sin
2x
π 6
,周期T=
2π 2
=π,向右平移
1 4
个周期,
即向右平移 π 个单位长度后,得到的图象对应的函数为y=2sin
4
2
x-
π 4
+
π 6
=2sin
2x-
π 3
,故选D.
第五章 三角函数
由函数y=sin
x的图象经过怎样的变换,可以得到函数y=-2sin
2x-
π 6
+1的图象.
思路点拨
本题考查三角函数的图象变换问题,可以从“先平移变换后伸缩变换”或“先伸
缩变换后平移变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.
解析 解法一:y=sin x的图象
y=2sin x的图象
y=-2sin x的图象
y=-2sin 2x的图象
y=-2sin
2
x-
π 6
的图象
φ.
②五点对应法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的点
-
φ ω
,0
为突破口.
第五章 三角函数
2.待定系数法 通过将若干特殊点代入函数解析式,可以求得待定系数A,ω,φ的值.这里需要注意的 是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一个点,并能正确代入函数解析式. 3.图象变换法 运用逆向思维,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关 的参数.
x
π 3
的图象的对称中心是
π
-kπ+3 ,0
(k∈Z).
(
✕
)
提示:由x+π3
=kπ(k∈Z),得x=-π3
+kπ(k∈Z),故对称中心是
kπ-
π 3
,0
(k∈Z).
5.在y=Asin(ωx+φ)的图象中,相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期. ( ✕ )
提示:相邻的两条对称轴间的距离为半个周期.
ω
-φ
,0
,k∈Z.
3.确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用换元法整体代换,将ωx+φ
看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调
区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.
第五章 三角函数
第五章 三角函数
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
1.了解参数的变化对函数图象的影响,掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关 系,并能正确地指出其变换步骤. 2.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
第五章 三角函数
第五章 三角函数
将函数y= 3 sin 2x+cos 2x的图象向右平移1 个周期后,所得图象对应的函数为
4
(D)
A.y=2sin
2x
π 4
B.y=2sin
2x
π 3
C.y=2sin
2x-
π 4
D.y=2sin
2
x-
π 3
第五章 三角函数
思路点拨
先将函数用辅助角公式化成一个角的函数,再根据平移规律,只需向右平移 π 个单
∴φ= π .
3
第五章 三角函数
∴y=3sin
2x
π 3
.
解法二(待定系数法):由题中图象知A=3.
∵图象过点
π 3
,0
和
5π 6
,0
,
∴
πω φ π, 3 5πω φ 2π,
6
解得
ω φ
π2,.∴y=3sin
3
2x
π 3
.
解法三(图象变换法):由题图知A=3,T=
解析
由题意知,平移后的解析式为y=sin
2x
2π 3
φ
,因为此函数为偶函数,
所以y轴为其图象的对称轴之一,所以将x=0代入可得 2π +φ= π +kπ(k∈Z),解得φ=- π
32
6
+kπ(k∈Z),由φ的取值范围可得φ=-
π 6
,所以f(x)=sin
2x-
π 6
,
令2x- π =kπ+ π ,k∈Z,解得x= kπ + π ,k∈Z,故函数f(x)的图象的对称轴方程为x= kπ + π ,
第五章 三角函数
函数y=sin x的图象与y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的关系
第五章 三角函数
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” . 1.把函数y=sin x的图象向右平移2个单位长度得到函数y=sin(x+2)的图象. ( ✕
)
2.把函数y=sin
2x的图象向左平移
2π
一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的周期是③ ω ,把y=sin(x+φ)图象上所有点 的横坐标④ 缩短 (当ω>1时)或⑤ 伸长 (当0<ω<1时)到原来的 1 倍(纵坐标
ω
⑥ 不变 ),就得到y=sin(ωx+φ)的图象.
第五章 三角函数
探索A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 一般地,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的 纵坐标⑦ 伸长 (当A>1时)或⑧ 缩短 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不 变)而得到.从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是⑨ [-A,A] ,最大值是A,最小值是-A.
6
2
k∈Z.
23
23
答案 x= kπ + π ,k∈Z
23
第五章 三角函数
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点P
π 12
,0
,图象与P点最近的一个
最高点坐标为
π 3
,5
.
(1)求该函数的一个解析式;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)求使y≤0的x的取值集合.
第五章 三角函数
第五章 三角函数
图象的平移变换与伸缩变换
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以看作是用下面的两种方法得 到的:
方法1:y=sin x的图象 y=sin(x+φ)的图象
y=Asin(ωx+φ)的图象. 方法2:y=sin x的图象
第五章 三角函数
y=sin ωx的图象 y=sin(ωx+φ)的图象 y=Asin(ωx+φ)的图象.
x-
π 6
.
第五章 三角函数
(2)∵函数的单调递增区间满足2kπ- π ≤2x- π ≤2kπ+ π (k∈Z),
2
6
2
∴2kπ- π ≤2x≤2kπ+ 2π (k∈Z),
3
3
∴kπ- π ≤x≤kπ+ π (k∈Z).
6
3
∴函数y=5sin
2x-
π 6
的单调递增区间为
kπ-
π 6
,kπ
π 3
由图象变换得到解析式.
解析
解法一(逐一定参法):由题中图象知A=3,T=
5π 6
-
-
π 6
=π,
∴ω= 2π =2,∴y=3sin(2x+φ).
T
∵点
-
π 6
,0
在函数图象上,
∴0=3sin
-
π 6
2
φ
.
∴- π ×2+φ=kπ(k∈Z),
6
得φ= π +kπ(k∈Z).
3
∵|φ|< π ,
2
5π 6
-
-
π 6
=π,∴ω=
2π T
=2,又点
-
π 6
,0
在图象上,
π
可知函数图象是由y=3sin 2x的图象向左平移 6 个单位长度得到的,所以y=3sin
2
x
π 6
,即y=3sin
2x
π 3
.
第五章 三角函数
三角函数性质的综合应用
1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ+
第五章 三角函数
如图是函数y=Asin(ωx+φ)
A
0,ω
0,|φ|
π 2
的图象的一部分,求此函数的解析
式.
思路点拨
解法一:由图象确定A和ω的值
取点
-
π 6
,0
确定φ的值.
解法二:由图象确定A的值
将点
π 3
,0
和
5π 6
,0
代入函数式列关于ω和φ的方程
第五章 三角函数
组 解方程组. 解法三:确定基础函数y=3sin 2x
π 2
,k∈Z求得,即x=
kπ
π 2
ω
-φ
,k
∈Z;图象的对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即为
kπ-φ ω
,0
,k∈Z.
kπ-φ
2.函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即x= ω ,k∈Z;图
象的对称中心由ωx+φ=kπ+
π 2
,k∈Z求得,即为
kπ
π 2
3
3
第五章 三角函数
由y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象确定解析式的方法
1.逐一定参法
(1)由函数图象上的最高点、最低点来确定A.
2π
(2)由函数图象与x轴的交点确定T,由T=|ω| 确定ω.
(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值.其方法有两种:
①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)(此时A与ω已知),求得
第五章 三角函数
y=-2sin
2x-
π 6
+1的图象.
解法二:y=sin x的图象
y=sin
x-
π 6
的图象
y=sin
2x-
π 6
的图象
y=-sin
2x-
π 6
的图象
第五章 三角函数
y=-2sin
2
x-
π 6
的图象
y=-2sin
2
x-
π 6
+1的图象.
第五章 三角函数
利用图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
第五章 三角函数
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0).将f(x)的图象向左平移 个单位长度后所得
的函数为偶函数,则函数f(x)的图象的对称轴方程是
.
思路点拨
先确定函数平移后的解析式,由偶函数的性质确定φ,根据y=sinπx的图象的对称性,
3
利用整体代换的思想求解.
第五章 三角函数
在物理中,作简谐运动的单摆的位移y与时间x的关系、交流电的电流强度y与 时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数.若单摆摆动的轨迹满足函数f(x)= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),函数图象如图所示.
第五章 三角函数
问题
1.由函数图象,能求出A,ω的值吗? 提示:能.由题中函数图象的最高点可知,A= 3,T=2|MN|=π,可得ω= 2π =2.
4.有关三角函数奇偶性问题的解题思路:
(1)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z).
(2)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+
π 2
(k∈Z).
(3)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+
π 2
(k∈Z).
(4)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
π 4
个单位长度,得到函数y=sin
2x
π 4
的图象.
(✕)
提示:应得到y=sin
2
x
π 4
=sin
π
2x+ 2
的图象.
3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin 2x的图象.
(✕)
提示:应得到y=sin
1 2
x的图象.
第五章 三角函数
4.函数f(x)=sin
T
2.你能求出函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式吗? 提示:能.由问题1可知,A= 3 ,ω=2, 故f(x)= 3 sin(2x+φ).
将
π 3
,0
代入,得
3 sin
2π +φ
3
=0,
则 2π +φ=2kπ,k∈Z,
3
即φ=- 2π +2kπ,k∈Z,
3
可以取φ=- 2π ,得f(x)= 3 sin 2x- 2π .
探索φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ)的图象的影响 一般地,当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时,对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠ 0),把正弦曲线上的所有点向① 左 (当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移② |φ| 个 单位长度,就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
探索ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
解析
(1)∵图象的一个最高点的坐标为
π 3
,5
,
∴A=5.
∵T =π- π =π,
4 3 12 4
∴T=π,∴ω= 2π =2.
T
∴y=5sin(2x+φ).
代入点
π 3
,5
,
得sin
2π 3
φ
=1.
∴ 2π +φ=2kπ+ π ,k∈Z.
3
2
令k=0,则φ=- π ,
6
∴y=5sin
2