P4-最优化设计-4

min f ( X ), X R n s.t. g u ( X ) 0 (u 1,2,, m) hv ( X ) 0 (v 1,2,, p; p n)
将约束条件引入原目标函 数中，构造新目标函数
Φ( X , r1( k ) , r2( k ) ) f ( X ) r1( k ) G[ gu ( X )] r2( k ) H [hv ( X )]
机械最优化设计54约束优化方法机械最优化设计54约束优化方法541541外点惩罚函数法外点惩罚函数法max可行域内可行域外在可行域内在可行域外机械最优化设计54约束优化方法541541外点惩罚函数法外点惩罚函数法0250505075050750875105105机械最优化设计54约束优化方法541541外点惩罚函数法外点惩罚函数法1选取适当的初始条件和收敛精度
1 (k ) x ( r ) 1 2r ( k ) Φ( x, r ( k ) ) (k ) 1 2r (1 x) x Φ ( x , r ( k ) ) 1 1 4r ( k )
r (k )
Φ( x, r (1) )
Φ( x, r )
（3）进行收敛判断。
X (r ( k ) ) X (r ( k 1) ) 1; Φ( X , r ( k ) ) Φ( X , r ( k 1) ) 2 ( k 1) Φ( X , r )
5 机械最优化设计
外点惩罚函数法
5.4 约束优化方法
Φ( X , r ) f ( X ) r
… … …
0
x (r (k ) )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1 1
Φ( x , r (k ) )
5 机械最优化设计 5.4.2 内点惩罚函数法
5.4 约束优化方法
（1）选取适当的初始条件和收敛精度；
初始条件：初始罚因子 (0)； r 缩减系数c；初始迭代点 ( 0) X 收敛精度：迭代点距离 充分小1；函数值距离充分小 2
( 0)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.25 -1 0
0.5 0 0.5
1 0.5
2 0.75
… … …

x (r (k ) )
1 1
Φ( x , r (k ) )
0.75 0.875
5 机械最优化设计 5.4.1 外点惩罚函数法
5.4 约束优化方法
（1）选取适当的初始条件和收敛精度；
gu ( X ) ( gu ( X ) 0, 可行域外) max[gu ( X ),0] ( gu ( X ) 0, 可行域内 ) 0
f ( X ) r ( k ) [ g u ( X )]}Z (在可行域外) uI1 Φ( X , r ( k ) ) f (X ) (在可行域内 )
5.4 约束优化方法
内点法与外点法的比较
内点法 初始点 适用条件 迭代过程 可行域内 不等式约束条件 外点法 可行域内或可行域外 不等式约束条件和等式 约束条件计 5.4.3 混合惩罚函数法
对于约束优化问题：
5.4 约束优化方法
min f ( X ), X R n s.t. g u ( X ) 0 (u 1,2,, m) hv ( X ) 0 (v 1,2,, p; p n)
u 1 v 1
m
p
5 机械最优化设计
惩罚函数法:
5.4 约束优化方法
Φ( X , r1( k ) , r2( k ) ) f ( X ) r1( k ) G[ gu ( X )] r2( k ) H [hv ( X )]
u 1 v 1
m
p
惩罚因子：随着迭代次数不断调整的参数。(正实数数列) 惩罚项：由惩罚因子和约束函数构成的复合函数。
5.4 约束优化方法
过大：惩罚函数等值线形状畸变，求解困难； 过小：增加迭代次数和计算时间。 由经验公式：
r (0) 1
c 5 ~ 10
罚因子递增系数的选取： r ( k ) c r ( k 1) 初始迭代点的选取：X ( 0) 对等式约束的处理：Φ( X , r ) f ( X ) r
u 1
m
（3） 进行收敛判断。
X (r ( k ) ) X (r ( k 1) ) 1; Φ( X , r ( k ) ) Φ( X , r ( k 1) ) 2 ( k 1) Φ( X , r )
5 机械最优化设计 5.4.1 外点惩罚函数法
初始罚因子的选取：r ( 0 )
5 机械最优化设计 5.4.1 外点惩罚函数法
算例： min f ( x) x
5.4 约束优化方法
解：构造一个外点惩罚函数
s.t. g ( x) 1 x 0
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1
Φ( x, r (3) )
Φ( x, r )
( 2)
Φ( x, r ( k ) ) f ( x) r ( k ) {max[g ( x),0]}2 x r ( k ) (1 x) 2 ( x 1) ( x 1) x
Φ( x, r ( k ) ) 1 求极值点 1 r (k ) x (1 x) 2
x (r ( k ) ) 1 r ( k ) Φ( x , r ( k ) ) 1 2 r ( k )
r (k )
1 2 3
0.1 1.316 1.632
0.01 0.001 1.1 1.2 1.032 1.063
最优设计方案 X [ x1 , x2 ,, xn ]T
最优解
最优目标函数值 f ( X )
5 机械最优化设计
依据处理约束条件的不同方式：
5.4 约束优化方法
在迭代过程中逐点考察约束，对每一个迭代点进行 可行性条件和适用性条件的检查
复合形法
把约束条件引入目标函数，将约束优化问题转化为 无约束优化问题，再用无约束优化方法求解。
5 机械最优化设计 5.4.2 内点惩罚函数法
初始罚因子的选取：r ( 0 )
5.4 约束优化方法
过大：增加迭代次数和计算时间；
过小：惩罚函数性态畸变，计算不稳定。
r ( 0) 1 ~ 50
罚因子缩减系数的选取：
r ( k ) c r ( k 1)
(c 1.0)
c 0.1 ~ 0.5
惩罚函数法
5 机械最优化设计
5.4 约束优化方法
5.4.1 外点惩罚函数法 5.4.2 内点惩罚函数法 5.4.3 混合惩罚函数法
5 机械最优化设计
5.4 约束优化方法
惩罚函数法（SUMT）：根据约束特性构造惩罚函数，将 其加到原目标函数中，从而取消了约束，将约束优化问题 转化为一系列无约束极值问题。
5 机械最优化设计 5.4.2 内点惩罚函数法
算例： min f ( x) x
5.4 约束优化方法
解：构造一个内点惩罚函数
s.t. g ( x) 1 x 0
Φ( x, r ( k ) ) f ( x) r ( k )
1 1 x r (k ) g ( x) 1 x
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
初始条件：初始罚因子 ( 0)； r 递增系数c；初始迭代点 ( 0) X 收敛精度：迭代点距离 充分小1；函数值距离充分小 2
（2） 构造外点惩罚函数，并求其无约束极值点；
min Φ( X , r ) f ( X ) r
(k ) (k )
{max[gu ( X ),0]}2 X (r ( k ) )
Φ( X , r1( k ) , r2( k ) ) f ( X )
5 机械最优化设计
5.4 约束优化方法
若惩罚项和惩罚函数满足以下三个极限性质条件：
lim r
k (k ) 1
G[ g u ( X ( k ) )] 0
u 1 p
m
lim r
k k
(k ) 2
H [hv ( X ( k ) )] 0
（2）构造内点惩罚函数，并求其无约束极值点；
min Φ( X , r ( k ) ) X (r ( k ) )
（3）进行收敛判断。
X (r ( k ) ) X (r ( k 1) ) 1; Φ( X , r ( k ) ) Φ( X , r ( k 1) ) 2 ( k 1) Φ( X , r )
构造一个惩罚函数（混合惩罚函数）：
1 1 Φ( X , r ) f ( X ) r u 1 g u ( X ) r (k )
(k ) (k ) m
[hv ( X )]2
v 1
p
r ( 0) r (1) r ( 2) r ( k )
lim r ( k ) 0
v 1
lim Φ( X , r1( k ) , r2( k ) ) f ( X ( k ) ) 0
( min Φ ( X, r1( 0 ) , r2( 0 ) ) X0 )
Φ( X , r , r )
(k ) 1 (k ) 2
( min Φ ( X, r1(1) , r2(1) ) X1)
(k )
(k )
[hv ( X )]2
v 1
p
5 机械最优化设计 5.4.1 外点惩罚函数法
5.4 约束优化方法
用外点法求解下述优化问题的约束最优解：
min f ( X ) x x
2 1
2 2
s.t. g ( X ) 1 x1 0
5 机械最优化设计 5.4.2 内点惩罚函数法
(k )
(k )
{max[gu ( X ),0]} r
2 u 1
m
(k )
[hv ( X )]2
v 1
p
内点惩罚函数法
Φ( X , r
Φ( X , r
(k )
) f (X ) r
(k )
(k )
1 g( X ) u 1
m
(k )
) f (X ) r
ln[ g ( X )]
u 1
m
m
混合惩罚函数法
1 1 Φ( X , r ) f ( X ) r u 1 g u ( X ) r (k )
工程优化设计问题大多数属于约束非线性问题：
min f ( X ), X R n s.t. g u ( X ) 0 (u 1,2,, m) hv ( X ) 0 (v 1,2,, p; p n)
求解约束优化问题的实质：在约束
条件形成的可行域内，求得目标函
数的极值点，即约束最优点。
k
5 机械最优化设计 5.4.3 混合惩罚函数法
5.4 约束优化方法
（1）依据内点法选取初始条件，给定收敛精度；
初始条件：初始罚因子 ( 0)； r 缩减系数c；初始迭代点 ( 0) X 收敛精度：迭代点距离 充分小1；函数值距离充分小 2
（2）构造混合惩罚函数，并求其无约束极值点；
min Φ( X , r ( k ) ) X (r ( k ) )
初始迭代点的选取：X ( 0)
原则：在可行域内（应注意不要在约束边界上）
5 机械最优化设计 5.4.2 内点惩罚函数法
5.4 约束优化方法
用内点法求解下述优化问题的约束最优解：
min f ( X ) x x
2 1
2 2
s.t. g ( X ) 1 x1 0
5 机械最优化设计
《现代设计理论及方法》课程
课堂讲授主要内容
绪论
设计方法学
有限单元法 机械优化设计 机械可靠性设计
机械工程学院 机械装备与控制工程系
第五章 机械最优化设计
5.1 最优化设计的基本概念 5.2 优化方法的数学基础 5.3 无约束优化方法
5.4 约束优化方法
5 机械最优化设计
5.4 约束优化方法
内点法惩罚函数的一般形式：
Φ( X , r
(k )
5.4 约束优化方法
) f (X ) r
(k )
1 g( X ) u 1
m
m
Φ( X , r ( k ) ) f ( X ) r ( k ) ln[ gu ( X )]
u 1
r ( k )：惩罚因子 r (0) r (1) r ( 2) 0 ,

X
(0)
( ，X1)， X
5 机械最优化设计 5.4.1 外点惩罚函数法
5.4 约束优化方法
Φ( X , r ( k ) ) f ( X ) r ( k ) {max[gu ( X ),0]}Z
u 1
m
Z：惩罚函数的指数 Z 2 ,
r ( k )：惩罚因子 0 r (0) r (1) r ( k ) ,