【百强校】2017届福建连城县二中高三文上学期期中数学试卷(带解析)

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【百强校】2017届福建连城县二中高三文上学期期中数学试
卷（带解析）
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1、已知函数，若
是奇函数，则曲线
在点
处
的切线方程是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2、已知平面平面
，
，点
，
，直线
，直线
，
直线，
，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（）
4、从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A．B． C． D．
5、将正三棱柱截去三个角（如图1所示，，，分别是三边的中点）得
到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
6、设
，若函数
，
有大于零的极值点，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、命题“若函数（
，
），在其定义域内是减函数，则
”
逆命题（ ） A ．若，则函数（，）在其定义域内不是减函数 B ．若，则函数（，）在其定义域内不是减函数 C ．若，则函数（，）在其定义域内是减函数 D ．若
，则函数
（
，
）在其定义域内是减函数
8、已知，则使得
（
）都成立的的取值范围是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9、在等差数列
中，
，则此数列的前
项的和等于（ ）
A ．8
B ．13
C ．16
D ．26
10、已知平面向量，
，且
，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11、在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12、下面的结论正确的是（）
A．，则
B．，则
C．的解集是
D．正偶数是有限集
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13、设
是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、
，都有
、
、
、（除数），则称是一个数域，例如有理数集是数域，有下列命
题：
①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集，则书记必为数
域；④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是 ．
14、阅读如图的程序框图，若输入
，
，则输出 ，
．
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“
”或“”）
15、若变量，满足则
的最大值是 ．
16、的内角，，的对边分别为，，，若，，，
则
．
三、解答题（题型注释）
17、已知函数（
）．
（１）当时，求
在区间上的最大值和最小值； （2）若在区间
上，函数
的图象恒在直线
下方，求的取值范围．
18、设直线：与椭圆相交于
，
两个不同的点，
与轴相交于点
，记
为坐标原点．
（1）证明：；
（2）若
，
的面积取得最大值时椭圆方程．
19、设数列的前项和为，且
，
，…．
（1）求，
；
（2）求
的表达式．
20、如图1，在边长为12的正方形
中，
，且，
，
分别交
，
于点
，，将该正方形沿
、
折叠，使得
与
重合，构成如图2所示的三棱柱
．
（2）在底边上是否存在一点，满足平面，若存在试确定点的
位置，若不存在请说明理由．
21、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
（
发芽数
（1）求这5天的平均发芽率；
（2）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，用的
形式列出所有的基本事件，并求满足的事件的概率．
22、已知函数．
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
参考答案1、C
2、D
3、A
4、B
5、A
6、A
7、D
8、B
9、B
10、B
11、A
12、C
13、①④
14、
15、
16、
17、（1），；（2）.
18、（1）证明见解析；（2）.
19、（1），；（2）.
20、（1）证明见解析；（2）点满足时，平面.
21、（1）；（2）.
22、（1），（）；（2）.
【解析】
1、试题分析：由于函数，若是奇函数，则，即有，解得，导数，则在切点
处的斜率为，则切线的方程为：，故选C.
考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数研究曲线上某点切线方程.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即
在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
2、试题分析：因为直线，，，所以，所以正确，
正确，根据线面平行的判定定理可得正确，当直线不在平面内时，尽管，与平面可以平行，也可以相交（不垂直），所以不
一定成立，故选D.
考点：1、线面平行的判定与性质；2、面面垂直的性质及线面垂直的判定.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
3、试题分析：的单调变化情况为先增后减、再增再减因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.
考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
4、试题分析：，方差为
，则这人成
绩的标准差为，故选B.
考点：1、样本估计总体的应用；2、样本的平均数、方差及标准差.
5、试题分析：解题时在图的右边放扇墙（心中有墙），图所示方向的侧视图，由于平面仍在平面上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线
段，可得答案A，故选A.
考点：1、几何体的三视图；2、空间想象能力.
6、试题分析：，由题意知有大于的实根，由
，得，故选A.
考点：1、利用导数研究函数的极值；2、函数的零点与方程的根的关系.
7、试题分析：因为一个命题的逆命题就是将原命题的结论当条件，将原命题的条件当
结论组成的新命题，所以，命题“若函数（，），在其定义域内是减函数，则”逆命题是“若，则函数（，
）在其定义域内是减函数”，故选D.
考点：否命题的定义及应用.
8、试题分析：，所以解集为，
又，故选B.
考点：1、一元二次不等式的解法；2、不等式的性质.
9、试题分析：因为在等差数列中，，
，解得，所以数列的前项的和
，故选B.
考点：1、等差数列的前项的和；2、等差数列的性质.
10、试题分析：因为，，且，所以，
，故选B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
11、试题分析：因为复数，所以复数对应的点的坐标是
，这个点在第一象限，故选A.
考点：1、复数的几何意义；2、复数的基本运算.
12、试题分析：对于A，，则，若，但，故A不正确；对于B，，则{自然数}，{自然数}表示以自然数集作为元素的集合，故B不
正确；对于C，的解为，所以它的解集是，故C正确；对于D，正偶数集是无限集，故D不正确，故选C.
考点：1、集合的表示方法；2、集合与元素.
13、试题分析：当时，，故可知①正确；当
不满足条件，故可知②不正确；对③当中多一个元素则会出现所以它也
不是一个数域；故可知③不正确；根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确，故答案为①④.
考点：1、简单的合情推理；2、新定义问题及转化与划归思想.
【方法点睛】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验
证、运算，使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意、，都有
、、、这一性质展开的.
14、试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序旳作用是计算并输出和的最小公倍数.因为输入，而
，故此时，故答案为.
考点：1、程序框图应用；2、循环结构.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
15、试题分析：画出表示的可行域，如图所示，解得，则直线
过点时最大，所以，故答案为.
考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.
16、试题分析：因为中，，，，所以
，即，解得：，故答案为.
考点：余弦定理的应用.
17、试题分析：（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间上为增函数，所以为最小值，为最大值，即可求出；（2）令
，则的定义域为.证
在区间上恒成立即得证.求出分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出的范围即可.
试题解析：（1）当时，，；
对于，有，
所以在区间上为增函数，
所以，．
（2）令，则的定义域为．
在区间上，函数的图象恒在直线下方的等价于在区间
上恒成立．
∵，
①若，令，得极值点，，
当，即时，在上有，
此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间上是增函数，有
，不合题意；
②若，则有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只需满足，即，
由此求得的范围是．
综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．
考点：1、利用导数研究函数的单调性并求闭区间上函数的最值；2、不等式恒成立问题. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性并求闭区间上函数的最值、
不等式恒成立问题，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
18、试题分析：（1）设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合直线与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于，从而解决问题；（2）设，，由（1）得，由，得从而求得的面积，最后利用基本不等式求得其
最大值，及取得最大值时的值，从而即可求得的面积取得最大值时的椭圆方程.
试题解析：（1）依题意，直线显然不平行于坐标轴，故可化为，将代入，整理得，①
由直线与椭圆相交于两个不同的点，得，
化简整理即得．（*）
（2），，由①，得，②
因为，，由，得，③
由②③联立，解得，④
的面积，
上式取等号的条件是，即．
当时，由④解得；当时，由④解得．
将，及，这两组值分别代入①，
均可解出，
经验证，，满足（*）式．
所以，的面积取得最大值时椭圆方程为．
考点：1、直线与椭圆的位置关系；2、共线向量的性质、三角形面积公式及基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
19、试题分析：（1）把分别代入已知递推公式即可求解；（2）由题设，利用时，，代入整理得
，是首项为，公差为的等差数列，可求得的表达式.
试题解析：（1）当时，由已知得，解得，
同理，可解的．
（2）由题意，
当（）时，，代入上式，
得．所以，所以，∴，
∴是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以．
考点：1、递推公式的应用；2、等差数列的定义及通项公式.
20、试题分析：（1）根据三边满足，可知，而，，根据线面垂直的判定定理可知平面，又
平面，根据线面垂直的性质可知；（2）在底面上取点，使得，过作交于，连接，由得
，从而四边形为平行四边形，对边平行，由线面平行的判定定理得平面.
试题解析：（1）证明：因为，，
所以，从而，即，
又因为，而，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）假设存在一点满足平面，过作交于，连接
，由
因为，所以，
连接，因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
所以当点满足时，平面．
考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、直线与平面平行的判定定理.
21、试题分析：（1）要求种子的平均发芽率，把所有的发芽的种子数相加，除以所有参与实验的种子数，得到发芽的百分率，五天的发芽率的平均数就是平均发芽率；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件可以通过列举得到事件数，满足条件的事件也可以在前面列举的基础上得到事件数，根据古典概型概率公式得到结果.
试题解析：（1）这5天的平均发芽率为
．
（2），的取值情况有，，，，，，
，，，，基本事件总数为10．
设为事件，则事件包含的基本事件为，，，所以，
故事件的概率为．
考点：1、平均数的求法；2、古典概型概率公式.
22、试题分析：（1）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；（2）先根据正弦函数的单调性求
出的值域，再把方程有解转化为与的取值范围相同即可求实数的取值范围.
试题解析：解：（1）
．
周期；
，
解得单调增区间为（）．
（2），所以，
，
所以的值域为，
而，所以，即．
考点：1、诱导公式、二倍角的余弦公式；2、两角差的正弦公式及三角函数的单调性.。