提纲8.多元函数微积分
多元函数的微积分全篇
当点P(x， 沿 轴趋于点(0， 时函数的极限为零 时函数的极限为零， 当点 ，y)沿 x 轴、y 轴趋于点 ，0)时函数的极限为零， 当点P(x， 沿直线 沿直线y=k x 趋于点 ，0)时 趋于点(0， 时 当点 ，y)沿直线
0 < pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ
的一切点P(x， ∈ 的一切点 ，y)∈D ， 都有 |f (x，y)−A|<ε 成立， ， − 成立， 则称常数A为函数 ， 当 时的极限， 则称常数 为函数f (x，y)当x →x0，y →y0时的极限， 为函数 记为 这里ρ=|P P0|． ． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限
解
∂z = 3 x 2 y 2 − 3 y 3 − y, ∂x
∂ 2z = 6 xy 2 , ∂x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂z = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; ∂y
∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1; ∂y∂x
∂ 2z = 6 x 2 − 9 y 2 − 1, ∂x∂y
∂ 2z = 2 x 3 − 18 xy; ∂y 2
14
3. 二阶偏导数的计算
二阶偏导数： 二阶偏导数： 设函数z=f(x，y)在区域 内具有偏导数 设函数 = ， 在区域D内具有偏导数 在区域
∂f ∂f = f x ( x , y ), = f y ( x , y ). ∂x ∂y 那么在D 都是x， 的函数． 那么在 内fx(x，y)、fy(x，y)都是 ，y 的函数．如果这两个函数 ， 、 ， 都是
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
多元函数微积分学
3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则（重点）
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F( x0 , y0 ) 0， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4．设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分一、概念多元函数是指具有多个自变量的函数。
在多元函数中，自变量可以有两个、三个甚至更多。
相应地，函数的取值也不再是一个数，而是一个有序组。
多元函数的微积分研究的是多元函数的导数、偏导数、不定积分、定积分等性质。
二、多元函数的导数1. 偏导数在多元函数中，偏导数指的是只以其中一个自变量为变化量，其余自变量视为常数时求取的导数。
偏导数有两种表示形式，一种是用∂表示，被当作普通的符号；另一种是用d表示，表示它是一个变差量。
对于二元函数y=f(x, z)，其偏导数可以通过以下公式计算：∂f/∂x = ∂y/∂x = dy/dx∂f/∂z = ∂y/∂z = dy/dz2. 方向导数方向导数告诉我们，一个函数在给定点上沿着某个特定方向变化的速率。
对于函数f(x, y, z)而言，其在点(a, b, c)处沿着向量v=(v1, v2, v3)的方向导数可以通过以下公式计算：Dv(f) = ∂f/∂x * v1 + ∂f/∂y * v2 + ∂f/∂z * v3三、多元函数的积分1. 不定积分多元函数的不定积分与一元函数的不定积分类似，是求解原函数的过程。
对于多元函数f(x, y)，其不定积分可以写为：∫f(x, y) dx = F(x, y) + C1其中，C1是常数，F(x, y)是f(x, y)的一个原函数。
2. 定积分对于多元函数f(x, y)在区域D上的定积分，其结果为对D内每个小区域的积分之和。
具体计算过程中，常用的方法是先将区域D切割成许多小的面积，然后对每个小面积进行积分累加。
定积分的计算方法包括直接计算和变量替换两种方式。
四、应用领域多元函数的微积分在实际问题中有广泛的应用。
具体领域包括但不限于：1. 经济学：研究供给与需求函数、利润函数、效用函数等方面的微积分问题。
2. 物理学：研究质点的质量、速度、加速度等与时间和空间的关系。
3. 工程学：研究材料特性、电力电子等领域的微积分问题。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是数学中的一个重要分支，涉及到对具有多个变量的函数进行求导和积分的操作。
它在应用数学、物理学、工程学等领域中具有广泛的应用价值。
本文将从多元函数的定义和性质入手，介绍多元函数微积分的基本概念和方法，并通过一些具体的例子来说明其应用。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指具有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是实数。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
多元函数可以表示实际问题中的各种关系，如物体的位置随时间的变化、温度随空间位置的变化等。
多元函数的导数和偏导数是多元函数微积分的基本概念。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其导数是一个向量，表示函数在每个自变量方向上的变化率。
偏导数是多元函数在某个自变量上的导数，其他自变量保持不变。
导数和偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过极限的概念来定义。
二、多元函数的微分和积分多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以近似地表示函数在该点的变化。
多元函数的微分可以通过导数和偏导数来计算，具体的计算方法与一元函数类似。
微分在数学和物理中有广泛的应用，如近似计算、优化问题等。
多元函数的积分是对函数在某个区域上的求和操作，可以用来计算函数在该区域上的平均值、总和等。
多元函数的积分可以通过重积分来计算，即将区域分成小块，然后对每个小块进行积分，最后将结果相加。
重积分的计算方法与一元函数的积分类似，可以通过定积分的定义来推导。
三、多元函数微积分的应用多元函数微积分在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，可以利用多元函数微积分来描述物体的运动和力学性质；在经济学中，可以利用多元函数微积分来描述供需关系和最优化问题；在工程学中，可以利用多元函数微积分来解决工程设计和优化问题等。
例如，考虑一个二维平面上的函数f(x, y)，表示某个物体的高度。
多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数的微积分是微积分学中的一个重要分支，它研究的是多个变量之间的关系。
与一元函数的微积分不同，多元函数的微积分需要考虑多个自变量对因变量的影响，因此在计算过程中需要运用到一系列的技巧和方法。
在多元函数的微积分中，我们首先要了解的是偏导数的概念。
偏导数是指在多元函数中，对于其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。
通过偏导数，我们可以得到函数在某个点上关于某个自变量的变化率。
在计算偏导数时，我们可以通过使用极限的概念，将多元函数转化为一元函数进行求导。
除了偏导数，多元函数的微积分还涉及到多元函数的极值问题。
在一元函数的微积分中，我们可以通过求导来判断函数在某个点上的极值，而在多元函数中，我们需要使用偏导数来进行判断。
具体而言，我们可以通过计算函数的偏导数，并令其等于零，来求解函数的临界点。
通过判断二阶偏导数的正负，我们可以得到函数在临界点上的极值情况。
多元函数的微积分还涉及到多元积分的计算。
多元积分是对多元函数在一个区域上的求和或求平均的操作。
与一元函数的定积分类似，多元积分需要将函数分割成无穷小的小块，并对每个小块进行求和。
在多元积分中，我们可以使用重积分或累次积分的方法进行计算。
除了上述基本概念和技巧外，多元函数的微积分还涉及到一些高级的内容，如隐函数求导、参数方程求导、向量微积分等。
这些内容在工程、物理、经济等领域中都有广泛的应用。
总结起来，多元函数的微积分是研究多个变量之间的关系的数学工具，它包括了偏导数、极值问题和多元积分等内容。
通过学习多元函数的微积分，我们可以更深入地理解多元函数的性质，并应用于实际问题的求解中。
多元函数的微积分在现代科学和工程领域中具有重要的地位，它为我们研究和解决复杂的问题提供了强有力的工具。
微积分第八章多元函数笔记
微积分第八章多元函数笔记微积分第八章多元函数是在一元函数的基础上拓展而来的，主要涉及多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、多元函数的微分、多元函数的导数以及拉格朗日乘数法等内容。
本文将重点探讨多元函数的微分和拉格朗日乘数法，并尝试用卷积的角度解释其中的概念。
一、多元函数的微分多元函数的微分是一种线性近似，它描述了函数在其中一点附近的变化情况。
多元函数的微分可以通过偏导数来求解。
对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处可以定义偏微分算子∂=∂/∂x和∂/∂y，其定义为：∂f/∂x=f_x(x0,y0)=(f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0))/Δx∂f/∂y=f_y(x0,y0)=(f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0))/Δy其中Δx和Δy分别表示变量x和y的增量。
∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在点(x0,y0)处对变量x和y的变化率。
考虑函数f(x,y)的微分形式，可以表示为：df=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy其中dx和dy分别表示x和y的增量。
df表示函数f在点(x0,y0)处的全增量。
可以将df看作是函数f的线性近似，其包含了对x和y的变化的线性度量。
二、卷积的思维解释卷积是一种线性运算，它用来描述信号经过系统处理后的结果。
在微积分中，可以将多元函数的微分看作是函数f和无穷小增量dx、dy的卷积操作。
其中，函数f可以看作是输入信号，dx和dy可以看作是脉冲响应。
通过卷积运算，可以得到函数f在(dx,dy)范围内的局部增量。
具体来说，可以将函数f(x,y)表示为一个二维矩阵，矩阵的每个元素对应函数f在不同点的值。
将增量dx、dy表示为一个二维矩阵，矩阵的大小与函数f相同，每个元素都是一个脉冲。
通过卷积运算，将函数f和增量dx、dy进行卷积，可以得到函数f在(dx,dy)范围内的局部增量。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。
多元函数的微积分
多元函数的微积分多元函数微积分指的是对多元函数进行求导和积分的过程。
多元函数是含有多个自变量的函数，通常表示为f(x1, x2, ..., xn)。
在多元函数的微积分中，我们可以将每个自变量分别进行求导，得到偏导数。
偏导数告诉我们函数在一些自变量上的变化率。
此外，我们还可以对多元函数进行积分来计算函数在一定范围内的总量。
一、多元函数的偏导数1.偏导数的定义偏导数是多元函数对一些自变量的求导结果。
记多元函数f(x1,x2, ..., xn)，则f对第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) (f(x1, x2, ..., xi + h, ..., xn) - f(x1,x2, ..., xi, ..., xn)) / h表示在其他自变量保持不变的条件下，f关于xi的变化率。
2.偏导数的计算对于多元函数的偏导数的计算，可以按照和一元函数求导的规则类似的方法进行。
对于每个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)=x^2+y^2，我们可以分别对x和y求偏导数。
对x求偏导数时，将y视为常数，得到∂f/∂x=2x。
对y求偏导数时，将x视为常数，得到∂f/∂y=2y。
3.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
例如，对于二阶连续可微函数，偏导数的次序可以交换，即：∂^2f/(∂x∂y)=∂^2f/(∂y∂x)这是因为二阶偏导数的定义中，先对x求导后对y求导与先对y求导后对x求导的结果是相等的。
二、多元函数的积分1.多元函数的积分概念2.定积分的计算对于多元函数的定积分，我们需要确定积分的区域或曲面，并进行适当的参数化和积分限的确定。
计算定积分时，可以按照类似于一元函数的积分法进行。
例如，对于二元函数f(x,y)，我们可以通过对x或y的积分将其化简为一元函数的积分。
例如，对于三元函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2，在三维空间中表示一个球体。
我们可以计算球体的体积，即球体上的函数f(x,y,z)在整个球体上的积分。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点
1.多元函数的极限：多元函数的极限是在多个自变量趋于一些点时函
数的极限。
多元函数的极限可以通过分量法、夹逼法等方法计算。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意
一点上都存在极限并与函数值相等。
可以利用多元函数的分量函数连续来
判断多元函数的连续性。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指多元函数对自变量的偏
导数。
求多元函数的偏导数时，只对一个自变量求导，把其他自变量视为
常数。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分是指函数在特定点的微分。
全微分可以理解为函数在该点的线性逼近。
5.多元函数的方向导数：方向导数是指多元函数在其中一点沿着给定
方向的变化速率。
方向导数的计算可以通过梯度来进行。
6.多元函数的梯度：梯度是多元函数在其中一点的导数，其方向与函
数在该点取得最大值的方向相同，数值上等于方向导数的最大值。
7.多元函数的积分：多元函数的积分是指对多元函数进行求和或求定
积分。
与一元函数积分类似，多元函数积分需要确定积分区域和积分方法。
8.曲线积分：曲线积分是指沿着曲线进行的积分，曲线积分可以对向
量场和标量场进行。
9.曲面积分：曲面积分是指对曲面上的函数进行积分。
曲面积分可以
对向量场和标量场进行。
10.格林定理：格林定理是指曲线与曲面积分之间的关系，即把曲面积分转化为曲线积分的定理。
11.斯托克斯定理：斯托克斯定理是格林定理的推广，是把曲线积分转化为曲面积分的定理。
(整理)微积分第八章 多元函数的微积分学
第八章多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。
一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。
多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。
一、教学目标与基本要求(1)理解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。
(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
(5)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。
(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。
了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。
(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。
二、教学内容的重点及难点：重点：1．多元函数的极限与连续；2．偏导数的定义；全微分的定义3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4．多元函数的极值与最值的求法5．二重积分概念，二重积分的计算。
难点：1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的求导法则；4．条件极值的求法5．对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2．多元复合函数的求导法则的应用；3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。
大学数学基础教程：多元函数微积分
大学数学基础教程：多元函数微积分
多元函数微积分是高等数学中的一个重要分支，它的研究主要集中在表示具有多个变量的函数的微分和积分的计算。
多元函数微积分的研究内容包括多元函数的微分、积分和极限的概念、多个变量函数的极限和极值、多元函数的微分和积分的计算方法以及相关应用。
多元函数微积分的基本概念是：多元函数是指有任意多个自变量的函数，它的微分和积分的概念是建立在单元函数微积分的基础上的，只是由于自变量的多个性，使得微分和积分的计算更加复杂，也更加有趣。
多元函数微积分的基本概念中涉及了多元函数的微分和积分的概念，其中微分概念是微积分的基础，它是指用来表示函数极限值变化率的量，微分是微积分中最重要的概念，它是指在某一特定方向上函数的变化率或变化速度，微分的计算方法有多种，例如：对多元函数的各个变量的偏导数，和变量的极限的计算等。
积分概念是指把一个多元函数的曲线上某一特定区域的面积积分，它是微积分的另一个重要的概念，积分的概念可以用来计算函数的变化量，也可以用来表示函数的极值，积分的计算方法也有很多，例如：曲面积分、曲线积分等，这些计算方法都可以用来计算某个多元函数的积分值。
多元函数微积分的研究不仅仅是为了计算多元函数的微分和积分，更重要的是要理解多元函数的极限和极值，以及多元函数的变化规律，它可以为研究多元函数的变化规律提供有效的方法，也可以帮助我们更好的理解多元函数的变化规律，从而帮助我们做出正确的判断和决策。
总之，多元函数微积分是高等数学中一个重要的分支，它是从单元函数微积分中发展而来的，它的研究集中在表示具有多个变量的函数的微分和积分的计算，它对研究多元函数的变化规律有重要的意义。
大学数学微积分第八章 多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续性知识点总结
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分的一个重要分支，它主要研究含有多个变量的函数的微分、积分和相关性质。
相比于一元函数微积分，多元函数微积分具有更高的复杂性和更丰富的应用领域。
以下是多元函数微积分的一些重要的知识点：1.多元函数的极限：多元函数的极限定义与一元函数相似，但需要考虑多个变量同时趋于一些点或正负无穷的情况。
可以使用极限运算定理、夹逼定理等方法求解多元函数的极限。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，也可以使用极限的性质证明多元函数的连续性。
此外，也有类似于一元函数的极限运算定理和连续函数的性质定理适用于多元函数。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数描述了函数在一些变量方向上的变化率。
对于二元函数，可以求出两个变量的偏导数；对于三元函数及以上的函数，可以求出每个变量的偏导数。
求偏导数时，将其他变量当作常数对待。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分也称为多元函数的导数。
通过偏导数可求得多元函数在特定点的各个方向的变化率，进而求得多元函数在特定点的全微分。
5.多元函数的方向导数：多元函数的方向导数描述了函数在一些给定方向上的变化率。
通过求解偏导数和方向向量的点积，可以求得多元函数在一些方向上的方向导数。
6.多元函数的梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数在特定点变化最快的方向，大小表示这个变化的速率。
梯度的方向与等高线垂直。
7.多元函数的二阶偏导数：对于多元函数，可以求出其各个变量的一阶偏导数，进一步可以求出相应的二阶偏导数。
二阶偏导数刻画了多元函数在一些变量方向上的变化率的变化率，即函数的曲率。
8.多元函数的泰勒展开：多元函数的泰勒展开是将一个多元函数近似表示为以一些点为中心的多项式的形式。
泰勒展开可以用于函数求值的近似计算和函数性质的分析。
9.多元函数的极值与最值：类似于一元函数，多元函数也有极值和最值的概念。
可以通过求解偏导数和二阶偏导数来判断函数的极值和最值，并应用拉格朗日乘数法等方法求解约束条件下的最值问题。
高等数学 第八章 多元函数微分学
例. 设方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求
z z , . x y
解：方法1.(公式法): 方程左边是x, y, z的复合函数， 用链式法则求F'x , F'y , F'z . F'x = F '12x+F '2 cosxy y = 2xF '1+ ycosxy F '2 F'y = F '12y+F '2 cosxy x = 2yF '1+ xcosxy F '2 F'z = F '12z
n ( Fx( x0 , y0 , z0 ), Fy( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 ))
例. 在曲面 平面 解: 设所求点为
y f ( x) 2) 与柱面交线. 空间光滑曲线 : z g ( x, y )
F ( x, y , z ) 0 3) 面交式曲线. 空间光滑曲线 : G ( x, y, z ) 0
切向量: S n1 n2
2. 曲面的切平面与法线 1) 显式情况. 空间光滑曲面 法向量 n ( f x , f y , 1) 2) 隐式情况 . 空间光滑曲面 曲面 在点 的法向量
例. 若f (x, y, z) 恒满足关系式 f (tx, ty, tz ) t k f ( x, y, z )
则称它为 k 次齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足 xf1( x, y, z ) yf 2( x, y, z ) zf3( x, y, z ) kf ( x, y, z ) 证: 记 u tx, v ty, w tz, f (tx, ty, tz ) t k f ( x, y, z ) 两边对 t 求偏导.
《高等数学》 第八章(下)多元函数微积分简介
x2
y2
xdy x2
ydx
x2
y
y2
dx
x2
x
2．全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x ，y) 在点 P0(x0 ，y0 ) 可微，则函数在点 P0(x0 ，y0 ) 的全增量为 z f (x0 x ，y0 y) f (x0 ，y0 ) fx(x0 ，y0 )x f y(x0 ，y0 )y () ，
1
y x2
y2
，
所以 全微分为
z 1 ，z 1 ． x (1，1) 3 y (1，1) 3 dz z x z y 1 x 1 y ．
x y 3 3
第二节 多元函数微分学
例 16 求 z arctan y 的全微分． x
解
dz
d arctan
y x
1
1 y x
2
d
y x
x2
x y dz z x z y ．
x y 在一元函数里，可微和可导是等价的，定理 1 告诉我们，二元函数可微一定 存在偏导数，反过来，是否成立呢？也就是就，若二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处存在偏导数，那么二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 是否可微呢？回 答是否定的．
第二节 多元函数微分学
定理 4 （充分性）若函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 邻域内存在关于 x ， y 的两 个偏导数 z ，z ，且它们在该点连续，则函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处可微．
x y 此定理说明，只有当二元函数的两个偏导数在该点连续，才能保证其可微． 习惯上，把自变量的改变量 x ， y 分别记作 dx ，dy ，并称为自变量的微分， 所以二元函数的全微分可以表示为 dz fxdx f ydy ． 类似地，二元函数的微分及性质可以推广到三元以及三元以上的函数．
多元微积分复习提纲
微积分复习提纲一、多元函数微分学及其应用1、会求多元函数的偏导数，进而会求函数的全微分df 或者梯度函数f grad ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③高阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由方程确定的隐函数的偏导数 ①“显”方程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象方程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8③由方程组()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 的导数dx dz dx dy ,，（直接法：在方程两端同时对x 求导，求导过程中把z y ,都看做是x 的函数，然后解方程组即可）， 见P35例14，P37习题9④由方程组()()⎩⎨⎧==0,,,0,,,v u y x G v u y x F 确定的隐函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 的偏导数（直接法）见P37习题93、多元函数微分学的几何应用①空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(x z x y t x ωφϕ在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程，见P46 例1，例2， P50习题1、2②空间曲线()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切线方程及法平面方程见P46 例3， P50习题2③曲面()0,,=z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切平面方程与法线方程 见P46 例5，例6， P50习题3 二、多元函数积分学及其应用 1、二重积分的计算步骤：1）画出积分区域D ，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此二重积分 3）化二重积分为二次积分4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个自变量积分的时候，要把其他的自变量看做常数。
(整理)多元函数微分
第八章多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。
一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。
多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。
一、教学目标与基本要求(1)理解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。
(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
(5)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。
(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。
了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。
(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。
二、教学内容的重点及难点：重点：1．多元函数的极限与连续；2．偏导数的定义；全微分的定义3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4．多元函数的极值与最值的求法5．二重积分概念，二重积分的计算。
难点：1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的求导法则；4．条件极值的求法5．对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2．多元复合函数的求导法则的应用；3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 多元函数微积分本章主要知识点● 一阶偏导数计算 ● 可微与全微分 ● 二阶偏导数● 二重积分—直角坐标系 ● 二重积分—极坐标系一、一阶偏导数计算多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。
（2）复合函数一阶偏导。
（3）隐函数一阶偏导数。
1．显函数的一阶偏导数例8.1．2sin()x y u xe =，求,u ux y∂∂∂∂。
解：()22sin 2sin 2cos()1cos x y x y xy ue xy x y e xy x y e x∂=+=+∂ 23sin 2cos x y ux e x y y∂=∂ 例8.2．()y y zu x y zx =++，求,,u u u x y z∂∂∂∂∂∂。
解：()11110y y y y y u yx y zx z yx yz x x ----∂=++=+∂， ()()zx zy zy x x y u yz y ln ln 1++=∂∂-， 11ln ln 0--+=++=∂∂y y z y y z z yx y y z y x y y zu，例8.3．(ln z x =+＋yx ，求,u u x y∂∂∂∂。
解：111y y u yx yx x --⎛⎫∂=+=+∂，ln ln y y z x x x x y ∂==∂。
2．复合函数的求偏导我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。
例如()x xy y x f u sin ,,+=，其中f 为已知可微三元函数，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,,。
第一步：变量z y x ,,的关系网络图123x y x u y x ⎧∨→⎪∆⎪⎪∨⎪→⎨∆⎪⎪→→∨⎪⎪⎩其中1，2，3分别表示x xy y x sin ,,+第二步：寻找与x 对应的路径()∨，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”1231231cos cos uf f y f x f f y f x x∂''''''=⋅+⋅+=+⋅+∂ 同理，寻找与y 对应的路径()∆，12121uf f x f f x y∂''''=⋅+⋅=+⋅∂。
例8.4．()22sin(),x yu f xy e +=，求,u u x y∂∂∂∂。
解：22212cos()x y uf xy y f e x +∂''=⋅⋅+⋅∂ 22122cos()2x y uf xy xy f e y+∂''=⋅⋅+⋅∂ 例8.5．2(,sin(23),)xyzu f xz z y ze =+求zu y u x u ∂∂∂∂∂∂,,。
解：123x z y u f z x y z ⎧⎪∨⎪→⎪∆⎪*⎪=→⎨∆⎪⎪∨⎪→*⎪⎪∆⎩2213xyz uf z f z ye x ∂''=⋅+⋅∂ 2233cos(23)xyz uf z y f xz e y ∂''=⋅++⋅∂ 12322cos(23)(1)xyz uf xz f z y f e xyz z∂'''=⋅+⋅++⋅+∂。
3．隐函数一阶偏导由方程0),,(=z y x F 决定隐函数),(y x z z =。
求偏导公式为：x z F zx F '∂=-'∂，y z F z y F '∂=-'∂ 例8.6．),(y x z z =由方程132222+=++++zy x e z y x 决定，求yzx z ∂∂∂∂,。
解： 222231x y zF x y z e++=++--2323232x y z x x y zz F zx e x F e z ++++'∂-=-='∂- 23232232x y z y x y zz F z y e y F e z++++'∂-=-='∂-. 例8.7．1)2sin(22+=++z yz y x x ，求yzx z ∂∂∂∂,。
解：22sin(2)1F x x y yz z =++--222sin(2)2cos(2)cos(2)2x z F zx y yz x x y yz x F xy x y yz z'∂-++-++=-='∂++- 22(2)cos(2)cos(2)2y z F zx y z x y yz y F xy x y yz z'∂-+++=-='∂++-。
二、全微分),(y x f u =，全微分dy y fdx x f du ∂∂+∂∂=),,(z y x f u =，全微分dz zfdy y f dx x f du ∂∂+∂∂+∂∂=例8.8．tan xu xy y=，求du 。
解：221tan sec tan sec u x x x x y yx y x x y y y y y∂=+⋅=+∂ 222222tan sec tan sec tan sec u x x x x x x x x x x xy x xy x y y y y y y y y y y∂---=+⋅=+=+∂ 2(tan sec )u u x x du dx dy y x dx x y y y ∂∂=+=++∂∂22(tan sec )x x x x dy y y y-+例8.9．yxxyu x y x y =+++，求du 。
解:1ln (1ln )y x x uyx y y x x x -∂=+++∂ 1ln (1ln )y x y ux x xy y y y-∂=+++∂ 11(ln (1ln ))(ln (1ln ))y x x y x y du yxy y x x dx x x xy y y dy --=+++++++例8.10．y x y x u 2sin 22++=，求)2,1(π==y x du 。
解：y x x u2sin 2+=∂∂ y x y xu2cos 22+=∂∂2cos 2,22,12,1-=+=∂∂=∂∂====πππππy x y x yu xu2(2)du dx dy π=+-三、二阶偏导数例如),(y x f u =，有四个偏导数222222,,,u u u ux x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂。
分别定义为)(22x u x x u ∂∂∂∂=∂∂，)(2yux y x u ∂∂∂∂=∂∂∂， )(2x u y x y u ∂∂∂∂=∂∂∂，)(22y u y y u ∂∂∂∂=∂∂ 在连续条件下xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22。
例8.11．已知23x u x y y =++求u 的所有二阶偏导数．解：223x x u x y y =+-232y x u x y =-522364xx yu xy y x=++ 232221132xy yx x u u x y x ==-- 232yy x u y=例8.12．)ln(22y x x u ++=求yx u∂∂∂2。
解：2222221)1(1yx yx x y x x x u +=++++=∂∂233222222122()()u y y x y x y x y ∂-=-⋅=∂∂++例8.13．已知),(y x z z =由方程222z ye y x z+=+决定，求yx z∂∂∂2。
解：方程两边对x 求偏导得：x z z x z ye x z∂∂+∂∂=22 即，xz z ye x z∂∂+=)2(2 （*） zye xx z z22+=∂∂ 两边对y 求偏导得： yz z y z yee y zz∂∂+∂∂+=22 zye e y y z zz22+-=∂∂ （*）两边对y 求偏导得：yx z z ye y z y z y z ye e zzz∂∂∂++∂∂∂∂+∂∂+=2)2()2(0 zye yz ye y z e yx zz z z2))(2(22+∂∂+-∂∂-=∂∂∂zye zye e y ye z ye e y e zz z zz z z2)22)(2(222++-+-+-⋅-=32)2()2)(2()2)(2(z ye e y ye z ye e y e z z z z z z +-+-+--=。
例8.14．2(,sin ,)yu f xy x x e =，其中f 为已知三元函数，求2ux y∂∂∂。
解：123cos 2y uf y f x f xe x∂'''=⋅+⋅+⋅∂ 222111132123()cos ()y y uf y f x f x e x f x f x e x y∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅∂∂ ＋23313322()y y y xe f xe f x f x e '''''+⋅+⋅。
四、偏导数应用1.曲面的切平面及法线方程（1）(,)z f x y =在0p 的法向量0{,,1}|x yp n f f ''=- （2）曲面方程为F(x,y,z)=0，在0p 的法向量0{,,}|x y z p n F F F '''= 2.多元函数极值求解流程：（1）驻点00(,)x y ，0000(,)0,(,)0.x y f x y f x y ''==（2）计算000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ''''''===； 2,B AC ∆=-则当0∆>时，无极值；当0∆<时，A>0取极小，A<0取极大。
例8.15．求曲面3ze z xy -+=在点P(2,1,0)处的切平面和法线方程。
解：令(,,)3zf x y z e z xy =-+-，则,,1zx y z f y f x f e '''===-P 点法向量(2,1,0){,,}|{1,2,0}x y z n f f f '''== 切平面为：(1)2(1)0x y -+-= 法线方程为：11120x y z--==。
例8.16．求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值。
解：由22222(2)0(22)0x xx f e x y y e x f e y y∂⎧=+++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=∂⎪⎩解得驻点1(,1)2-22224(21),2(22),2x x x xxxy yy f e x y y f e y f e ''''''=+++=+= 2220,0,2,40A e B C e B AC e =>==∆=-=-<, 点1(,1)2-取极小值，min .2e f =-五、累次积分累次积分()2211()()()(,)(,)bx b x ax a x dx f x y dy f x y dy dx ϕϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰例8.17．计算⎰⎰xxxydy dx 21解：原式21212xx x ydx ⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 12401()2x x x dx =-⎰ 111124624⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 例8.18．⎰⎰2010sin y dx y ydy 解：原式11200sin sin y y dy y ydy y=⋅=⎰⎰ 11100cos cos cos yd y y y ydy =-=-+⎰⎰10cos1sin sin1cos1y =-+=-。