北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2．对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a Y n
-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数
列{}n a 的“美值”1
2
n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的
*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．712,
35⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．712,35⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．167,73⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．167,73⎛⎫
⎪⎝⎭
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式1
6125
n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列1
1
{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．
11
n + B ．
1
n n + C ．
1
n n
- D ．
1
1
n n -+ 6．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2
B ．3
C ．
269
D ．
259
7．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为10
11
，则项数为
（ ）． A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
8．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏
B ．128盏
C ．192盏
D ．256盏
9．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2
B ．1或－2
C ．1或2
D ．－1或－2
10．已知{}n a 是等比数列，且
2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1
224,[0,1)
()3,[1,2]
x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在
[2n -2,2n )上的最大值为*
()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B ．27,8⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．27,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D ．27,4⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
12．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116
a b
+取最小值时，n 的值是（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题
13．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()
3
,n n a a 处的切线经过点
()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②31
3
a =；③4
1
65
27
i i a ==
∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.
14．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________
15．已知等差数列{}n a 中，48a =，84a =，则其通项公式n a =__________ 16．在数列{a n }中，已知a 1＝1，1(1)sin 2
n n n a a π
++-=，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019＝______
17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11
2
a =
，110n n n a S S +++=，则2020S =______． 18．已知数列{}n a 满足112
a =，()*
112n n a a n +=∈N .设2n n n b a λ-=，*n ∈N ，且数列
{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是________.
19．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和
n S =___________.
20．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件：
①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0； ③S n ＝2a n +
1
p
（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______．
三、解答题
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n n =+，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，满足14b =，351024b b =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．在①11
9
n n a a +-=-
，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
23．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0d <，9
3
n n n
a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 24．已知等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，519a =，321S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
n n b S n
=
+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}
2
n a 的前n 项和
为n T ，且2
32n n n T S S =+，*n N ∈. （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若有111
n n b a +=
-，求证：231321
n b b b +++<
26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．
从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③1
2
2n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log n
n n
a b a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】
解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)
222
n n n n ----=
+⨯ 2
2235335353()157()157232624
n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为53
96
x =
≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402
min S ⨯-⨯+==．
故选：C ． 【点睛】
本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．
2．C
解析：C 【分析】
由1112222n n n n a a a Y n
-+++⋅⋅⋅+==，可得11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得
22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解
【详解】
由1112222n n n n a a a Y n
-+++⋅⋅⋅+==可得11
12222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，
当2n ≥时()2
12122
21n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，
又因为1
112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，
两式相减可得：()()1
112
2221n n n n n n n n a -+=--=+，
所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：
16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1
112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一
式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，
3．A
解析：A 【分析】
由等差数列的前n 和公式，求得1710a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】
由题意，根据等差数列的前n 和公式，可得1777()
352
a a S +==，解得1710a a +=， 又由等差数列的性质，可得17
452
a a a +==. 故选：A. 【点睛】
熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键
4．C
解析：C 【分析】
首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜
1
125
的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到
111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】
对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）
即：
111
-13
n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为1
3
-
的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×1
1-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
a n =8×1
1-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
+1
所以181********n n
n
S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭
|S n ﹣n ﹣6|=n
11-6-3125⎛⎫
⨯< ⎪⎝⎭
解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】
此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．
5．B
解析：B 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨
+=⎩
∴11
1a d =⎧⎨
=⎩
∴n a n =，则11111
(1)1
+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧
⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和为1111111111122334111n
n n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)()1111
n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1
k =； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；（4）
()()11122n n n =++ ()()()11
112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的
问题，导致计算结果错误.
6．C
解析：C 【分析】
由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】
因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，
当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，
111a S ==适合上式，故43n a n =-，
因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得26
9
k = 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】
分析：由已知，111(1)1n a n n n n =
=-++，利用裂项相消法求和后，令其等于10
11
，得到
n 所满足的等量关系式，求得结果.
详解：111(1)1
n a n n n n =
=-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和
11111
(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111
n n n =-=++，
当10
11
n S =
时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分
析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.
8．C
解析：C 【分析】
设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】
设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112
a S a -===-，解得13a =.
因此，塔的底层的灯的盏数为6
732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
9．A
解析：A 【解析】
分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：
546,,a a a -成等差数列，
所以5642a a a -+=，
24442a q a q a ∴-+=，
220q q ∴--=，
()()120q q ∴+-=，
1q ∴=-或2，故选A.
点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.
10．A
解析：A 【分析】
首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)
101a q a a a a a q
-++++=
=-，
2
2
2
2
2
210152
1
234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)
61a q q
+=+，即5112345(1)
61a q a a a a a q
+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.
【详解】
设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，
则5112345(1)
101a q a a a a a q -++++=
=-， 22
2
2
2
210152
1
234(1)
601a q q
a a a a a -=-++=++， 两式相除得210551112
(1)(1)(1)
6111a q a q a q q q q --+÷==--+， 所以5112345(1)
61a q a a a a a q
+-+-+=
=+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.
11．B
解析：B 【分析】
运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为1
3
的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】
解：当[0,2]x ∈时，且1
224,[0,1)
()3,[1,2]
x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，
可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，
12x <≤时，()f x 的最大值为39
()24
f =，
即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为
9
4
，
当24x ≤<时，1()(2)3
f x f x =-的最大值为912，
当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为9
36
， ……
可得数列{}n a 为首项为
94，公比为1
3
的等比数列， 所以91
(1)2712743(1)183813
n n n
S -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278
k ≥
， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，
故选：B 【点睛】
此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题
12．B
解析：B 【分析】
设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】
设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,
所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即
116
255204a b +=,当且仅当16b a a b
=,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,
所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】
本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.
二、填空题
13．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递
推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而 解析：①③④
【分析】
先利用导数求得曲线3y x =在点()
3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.
【详解】
∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()
3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-， 则()32
13n n n n a a a a +-=-. ∵0n a ≠，∴123
n n a a +=， 则{}n a 是首项为1，公比为23
的等比数列， 从而223a =，349a =，4412165322713
i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④.
故答案为：①③④
【点睛】
本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.
14．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数 解析：320
【分析】
先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850
a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，
所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+，
所以数列{}n b 的公比q 为21
3b b = ， 所以448(13)32013
S ⨯-==-. 故答案为：320
【点睛】
本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题. 15．【解析】∵等差数列{an}中a4=8a8=4∴解得a1=11d=−1∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n
解析：12n -
【解析】
∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4，
∴4181
3874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得a 1=11，d =−1， ∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .
16．1010【分析】推导出从而得到数列是一个以4为周期的数列由此能求出的值【详解】数列中；可以判断所以数列是一个以4为周期的数列故答案为：1010【点睛】本题考查数列的求和考查数列的周期性三角函数性质等 解析：1010
【分析】 推导出1(1)sin 2
n n n a a π++=+，从而得到4n n a a +=，数列{}n a 是一个以4为周期的数列，由此能求出2019S 的值．
【详解】
数列{}n a 中，11a =，1(1)sin 2
n n n a a π++-=， 1(1)sin 2
n n n a a π++∴=+， 21sin 1a a π∴=+=，323sin 1102
a a π=+=-=， 43sin 20a a π=+=，545sin
0112
a a π=+=+=， 511a a ∴==； 可以判断4n n a a +=，
所以数列{}n a 是一个以4为周期的数列.
201945043=⨯+，
20191234122504()504(1100)1101010S a a a a a a a ∴=⨯++++++=⨯++++++=，
故答案为：1010．
【点睛】
本题考查数列的求和，考查数列的周期性、三角函数性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．【分析】代入再证明为等差数列继而求得的通项公式再计算即可【详解】因为所以两边同除以得：所以数列是以为首项1为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法属 解析：12021
【分析】
代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式再计算2020S 即可. 【详解】
因为110n n n a S S +++=,所以,11n n n n S S S S ++-=-,
两边同除以1n n S S +-得：1111n n
S S +-=， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以()1211n n n S =+-=+，所以11
n S n =+， 所以202012021S =
故答案为：
12021
【点睛】 本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.
18．【分析】根据题意可得数列的通项公式代入表示根据数列是递增数列所以得恒成立参变分离以后计算【详解】由可得数列是首项和公比均为的等比数列所以则又因为是递增数列所以恒成立即恒成立所以所以故答案为：【点睛】 解析：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ 【分析】
根据题意可得数列{}n a 的通项公式，代入表示n b ，根据数列{}n b 是递增数列，所以得10n n b b +->恒成立，参变分离以后计算.
【详解】
由()*112n n a a n +=
∈N 可得，数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，所以12n n a =，则()222n n n
n b n a λλ-==-，又因为{}n b 是递增数列，所以()()()11122222220n n n n n b b n n n λλλ++=+---=+->-恒成立，即220n λ+->恒成立，所以()min 223n λ<+=，所以32λ<
. 故答案为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算1n n a a +-判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解min ()a f n <或者max ()a f n >. 19．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键 解析：()11332
n n +-- 【分析】
根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果.
【详解】
由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，
因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，
所以1133
3n n n a -+=⨯=，所以31n n a =-， 所以1233333n n S n =++++-
3(13)13
n n -=-- ()11332
n n +=--. 故答案为：
()11332
n n +-- 【点睛】 关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.
20．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出
判断【详解
解析：①③
【分析】
选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断.
【详解】
在①中，令1m n ==，得221a a =；
在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即 12n n a a +=；
在③中，11112,2n n n n S a S a p p
++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，
若选①②，则22112,1
a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；
若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩
得 1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩
，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③.
故答案为：①③
【点睛】
思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：
（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.
三、解答题
21．（1）2n a n =，12n n b +=；（2）()
41n n T n =+. 【分析】
（1）由11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，由已知条件计算出等比数列{}n b 的公比，进而可求得等比数列{}n b 的通项公式；
（2）计算得出11141n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，利用裂项求和法可求得n T . 【详解】
（1）当1n =时，112a S ==；
当2n ≥时，()()()2
21112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
. 12a =满足2n a n =，所以，对任意的n *∈N ，2n a n =.
设等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >，262635141024b b b q q ∴==⨯=，解得2q ， 1111422n n n n b b q --+∴==⨯=；
（2）()()111111112214141n n n c a a n n n n n n +⎛⎫===⋅=- ⎪⨯+++⎝⎭
， ()121111111111422314141n n n T c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=++
+=-+-+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.
22．答案见解析
【分析】
选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，
选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；
选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值.
【详解】
选① 因为119
n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列. 所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+
⎪⎝⎭. 由182099
n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+
⨯-= ⎪⎝⎭
，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13
-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
1︒当n 为奇数时，1913271114313
n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =； 2︒当n 为偶数的，1913271114313
n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434
n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9.
选③
因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，
所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-，
以上1n -个等式相加得
()()21791171622
n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422
n n n a n -+=≥， 又19a =也满足上式，所以217342
n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大．
23．（1） 11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈；（2）51112423n n
n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ．
【分析】
（1）由123,22,5a a a +成等比数列求得公差后可得通项公式n a ；
（2）对23n b b b +++用错位相减法求和．
【详解】
解：（1）∵123,22,5a a a +成等比数列，∴()2231225a a a +=⋅，整理得2340d d --=，
解得1d =-或4d =，
当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+；
当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+．
所以11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈．
（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ，
∵0d <，∴1d =-，11n a n =-+
23n n
n b -= 当1n =时，13n S =
， 当2n ≥时，2341012233333n n n S -=
++++⋅⋅⋅+ 令34
122333n n T -=+++，则45111223333n n T +-=+++
两式相减可得32345111112111122331333333313
n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++⋯+-=-- 整理可得11112423n n T ⎛⎫=
+-⨯ ⎪⎝⎭， 则511,212423n n n S n ⎛⎫=
+-⨯≥ ⎪⎝⎭ 且113
S =满足上式， 综上所述：51112423
n n n S ⎛⎫=
+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【点睛】 本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．
数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．
24．（1）41n a n =-；（2）2(1)
n n T n =
+. 【分析】
（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；
（2）求出n S 及n b 的通项公式，由裂项相消求和可得答案.
【详解】
（1）∵313321S a d =+=①，51419a a d =+=②
由①②得13a =，4d =．
∴1(1)41n a a n d n =+-=-；
（2）由（1）知41n a n =-，13a =， ()234122n n n S n n +-∴=
=+； ∴111112(1)21n n b S n n n n n ⎛⎫=
==- ⎪+++⎝⎭， ∴11111111122233412(1)
n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.
25．（1）11a =，12n n a ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在2
32n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式；
（2）4n ≥时，由111212(2)2n n n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可
证得不等式成立．
【详解】
（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =，
又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②
②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++， 因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④， ③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，
12n n a a +=， 又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又
20a >，所以22a =，所以
212a a =． 所以12n n
a a +=，*n N ∈． 所以{}n a 通项公式为12n n a ； （2）由（1）111121n n n
b a +=
=--， 4n ≥时，11111212122
2(2)22n n n n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅， 所以1
18121152n n -≤⋅-， 所以23341118111()3715222n n b b b -++
+<+++++ 11081110210313()2115422115212121
n -=+-<+<+=． 【点睛】
关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立．
26．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n n
n T +=-． 【分析】
（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与
已知条件两式相减可求得2n n a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1）知2n
n a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和.
【详解】
（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列，
所以32442a a a =+-，
又因为数列{}n a 的公比为2，所以23
11122242a a a ⨯=+⨯-， 即1118284a a a =+-，解得12a =，
所以1222n n n a -=⨯=．
选②：因为22n n S a =-，
当1n =时，1122S a =-，解得12a =．
当2n ≥时，1122n n S a --=-，
所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-．
即()122n n a a n -=≥．
所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．
故1222n n n a -=⨯=．
选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，
当2n ≥时，122n n S -=-，
所以()()
1122222n n n n n n a S S +-=-=---=， 当1n =时，112
2a ==依然成立．
所以2n n a =． （2）由（1）知2n
n a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以23
23412222n n n T +=++++， ① 231
123122222n n n n n T ++=++++， ②
①－②得2311
1111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122
n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322
n n ++=-． 所以3
32
n n n T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和3
32n n n T +=-
． 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1n n a f n =-类型，可采用两项合并求解.。