2020-2021学年北京市昌平区高二数学下学期期末考试数学试题含解析

北京市昌平区2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解
析）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.
1．已知全集A＝{x|x2≤4}，B＝{x∈Z|x＞﹣1}，则A∩B＝（）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{x|﹣1＜x≤2} 2．已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y＝2，那么xy的最大值为（）A．B．C．1 D．2
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2|x|C．y＝D．y＝lnx
4．在等差数列{a n}中，a5＝4，数列{a n}的前9项的和为（）
A．4 B．8 C．36 D．72
5．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则函数f（x）＝cx2﹣x﹣a的图象可以为（）
A．B．
C．D．
6．为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
男女
需要志愿者40 30
不需要志愿者160 270 经计算可得X2≈9.967．由P（X2≥6.635）＝0.01，下列结论正确的是（）
A．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
B．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮
助与性别无关
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
7．已知奇函数如果f（x）＝a x（a＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）＝（）
A．B．C．2﹣x D．﹣2x
8．“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1．不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1，得到1即终止运算．已知正整数k，经过6次运算后得到1，则k的值为（）
A．32 B．32或5 C．64 D．64或10
9．设无穷等比数列{a n}，则“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在〖0，t〗这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在〖t1，t2〗这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在〖t2，t3〗这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在〖0，t1〗，〖t1，t2〗，〖t2，t3〗这三段时间中，在〖t2，t3〗的平均分出
量最大．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4}，则（∁U A）∪B ＝．
12．命题p：∃x＞0，x2+x﹣1≥0，则￢p：．
13．函数f（x）＝的定义域为．
14．已知数列{a n}满足a1＝17，a n+1＝a n﹣4，则当n＝时，数列{a n}的前n项和取得最大值．
15．已知函数f（x）＝xe﹣x，则f′（1）＝；若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是．
16．数列{a n}：a1，a2，…，a n，…；{b n}：b1，b2，…，b n，…
定义数列a n&b n：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7，…
①设a n＝，b n＝1，1≤n≤29，则数列a n&b n的所有项的和等于；
②设a n＝5n，b n＝4n﹣1，1≤n≤29，则数列a n&b n与b n&a n有个公共项．
三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}满足a3+a5＝20，a6＝4a2．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，c n＝a n+b n，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，求数列{c n}的前n项和S n．
条件①：b1＝1；
条件②：b5＝8b2；
条件③：b2+b3＝6．
18．已知函数f（x）＝+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在〖﹣2，2〗上的最大值和最小值．
19．记数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n＝．（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）设b n＝a n+2，求证：数列{b n}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣（a+1）x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x2﹣1在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．21．已知集合A＝{1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为A k，1，A k，
，A k，3，…，A k，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．
2
当1≤j≤m，j∈N*时，设A k，j＝{x1，x2，……，x k}，且x1＜x2＜x3＜…＜x k．
定义：S（A k，j）＝x k﹣x k﹣1+x k﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1；
T〖k〗＝S（A k，1）+S（A k，2）+S（A k，3）+…+S（A k，m）．
（Ⅰ）若n＝5，
（ⅰ）写出满足S（A4，j）＝2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；
（ⅱ）求T〖1〗+T〖2〗+〖3〗的值；
（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T〖1〗+T〖2〗+…+T〖n〗＝1024，求n的值．
▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）.
1．已知全集A＝{x|x2≤4}，B＝{x∈Z|x＞﹣1}，则A∩B＝（）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{x|﹣1＜x≤2} 〖分析〗可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x∈Z|x＞﹣1}，
∴A∩B＝{x∈Z|﹣1＜x≤2}＝{0，1，2}．
故选：A．
2．已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x+y＝2，那么xy的最大值为（）A．B．C．1 D．2
〖分析〗根据题意，由基本不等式的性质可得xy≤（）2＝1，即可得答案．
解：根据题意，x＞0，y＞0，x+y＝2，
则xy≤（）2＝1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，
即xy的最大值为1．
故选：C．
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2|x|C．y＝D．y＝lnx
〖分析〗根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝1﹣x2，是二次函数，是偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于B，y＝2|x|＝，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝，其定义域为〖0，+∞），不是偶函数，不符合题意；
对于D，y＝lnx，是对数函数，，其定义域为（0，+∞），不是偶函数，不符合题意；
故选：B．
4．在等差数列{a n}中，a5＝4，数列{a n}的前9项的和为（）
A．4 B．8 C．36 D．72
〖分析〗利用等差数列的通项公式和前n项和公式直接求解．
解：在等差数列{a n}中，a5＝4，
∴数列{a n}的前9项的和为：
＝9a5＝36．
故选：C．
5．若不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则函数f（x）＝cx2﹣x﹣a的图象可以为（）
A．B．
C．D．
〖分析〗根据题意，分析可得方程ax2﹣x﹣c＝0的解为x1＝﹣1或x2＝，且a＜0，由根与系数的关系分析a、c的值，即可得f（x）的解析式，分析可得答案．
解：根据题意，不等式ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
则方程ax2﹣x﹣c＝0的解为x1＝﹣1或x2＝，且a＜0，
则有，解可得，
函数f（x）＝cx2﹣x﹣a＝﹣x2﹣x+2，是开口向下，对称轴为x＝﹣的二次函数，故选：C．
6．为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：
男女
需要志愿者40 30
不需要志愿者160 270 经计算可得X2≈9.967．由P（X2≥6.635）＝0.01，下列结论正确的是（）
A．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
B．有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
〖分析〗利用独立性检验中K2的统计意义判断．
解：因为9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
故选：B．
7．已知奇函数如果f（x）＝a x（a＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）＝（）
A．B．C．2﹣x D．﹣2x
〖分析〗根据函数的奇偶性，先求出函数f（x）的图象即可得到结论．
解：当x＞0时，函数单调递减，则0＜a＜1，
∵f（1）＝，
∴a＝，即函数f（x）＝（）x，
当x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（）﹣x＝﹣f（x），
则y＝﹣（）﹣x＝﹣2x，
即g（x）＝﹣2x，x＜0，
故选：D．
8．“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1．不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到1，得到1即终止运算．已知正整数k，经过6次运算后得到1，则k的值为（）
A．32 B．32或5 C．64 D．64或10
〖分析〗利用正整数k经过6次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到k的所有可能的取值．
解：根据题意，正整数k经过6次运算后得到1，
所以正整数k经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去），
经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，
所以正整数k的值为64或10，
故选：D．
9．设无穷等比数列{a n}，则“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
〖分析〗由已知求出等比数列的公比范围，然后结合通项公式判断{a n}的单调性，举出反例说明“{a n}为递减数列”不能得到“0＜a2＜a1”，进一步得出结论．
解：因为无穷等比数列{a n}，0＜a2＜a1，
所以公比q满足，
所以有a n＞a n+1＝a n q，即{a n}为递减数列；
而无穷等比数列{a n}如果是递减数列，它的第一项和第二项可以为负，
如，所有不一定可以得到0＜a2＜a1，
所以“0＜a2＜a1”是“{a n}为递减数列”的充分而不必要条件，
故选：A．
10．2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在〖0，t〗这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：
①在〖t1，t2〗这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在〖t2，t3〗这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在〖0，t1〗，〖t1，t2〗，〖t2，t3〗这三段时间中，在〖t2，t3〗的平均分出
量最大．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
〖分析〗利用平均变化率、瞬时变换率的含义理解统计表，并进行选项判断．
解：①在〖t1，t2〗这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．
②在〖t2，t3〗这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，
说法正确．
③在t2时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．
④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4}，则（∁U A）∪B ＝{3，4，5} ．
〖分析〗进行补集和并集的运算即可．
解：∵U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4}，
∴∁U A＝{4，5}，（∁U A）∪B＝{3，4，5}．
故答案为：{3，4，5}．
12．命题p：∃x＞0，x2+x﹣1≥0，则￢p：∀x＞0，x2+x﹣1＜0 ．
〖分析〗根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x＞0，x2+x﹣1＜0．
故答案为：∀x＞0，x2+x﹣1＜0．
13．函数f（x）＝的定义域为（，1）．
〖分析〗由题意根据函数的定义域的求法，得出x的范围．
解：对于函数f（x）＝，应有 2x﹣1＞0，1﹣x＞0，
求得＜x＜1，可得函数的定义域为（，1），
故答案为：（，1）．
14．已知数列{a n}满足a1＝17，a n+1＝a n﹣4，则当n＝ 5 时，数列{a n}的前n项和取得最大值．
〖分析〗根据条件求得数列{a n}是首项为17，公差为﹣4的等差数列，进而分析出何时项为正，何时为负即可求解结论．
解：∵数列{a n}满足a1＝17，a n+1＝a n﹣4，
∴数列{a n}是首项为17，公差为﹣4的等差数列，
∴a n＝17﹣4（n﹣1）＝21﹣4n，
∴当n≤5时，a n＞0，
当n＞5时，a n＜0，
∴当n＝5时，数列{a n}的前n项和取得最大值，
故答案为：5．
15．已知函数f（x）＝xe﹣x，则f′（1）＝0 ；若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（0，）．
〖分析〗根据题意，求出函数的导数，将x＝1代入可得第一空答案，由函数的导数分析f（x）的单调性，可得f（x）的最值，据此作出函数的大致图像，分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝xe﹣x，则其导数f（x）＝（x）′e﹣x+x（e﹣x）′＝（1﹣x）e﹣x，
则f′（1）＝（1﹣1）e﹣1＝0，
f′（x）＝（1﹣x）e﹣x，
在区间（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，
在区间（1，+∞）上，f′（x）＜0，则f（x）为减函数，
则f（x）≤f（1）＝，
在区间（﹣∞，0）上，f（x）＜0，
在区间（0，+∞）上，0＜f（x）≤，
若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，即函数y＝f（x）与直线y＝m有且仅有2个交点，
必有0＜m≤，即m的取值范围为（0，）．
故答案为：0，（0，）．
16．数列{a n}：a1，a2，…，a n，…；{b n}：b1，b2，…，b n，…
定义数列a n&b n：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7，…
①设a n＝，b n＝1，1≤n≤29，则数列a n&b n的所有项的和等于19 ；
②设a n＝5n，b n＝4n﹣1，1≤n≤29，则数列a n&b n与b n&a n有 2 个公共项．
〖分析〗①由题意可以得到数列a n&b n的通项公式，然后根据{a n}、{b n}的通项公式可以知道29个项里面有9个1，10个﹣1，10个2，从而得到问题解答；
②由题意可以得到数列a n&b n和b m&a m的通项公式，再令a n&b n＝b m&a m即可得到n、m的关系
式，最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答．
解：①由题意可得：
a n&
b n＝，
∴当1≤n≤29时，数列a n&b n的所有项的和为：
9×1+（15﹣5）×（﹣1）+（14﹣4）×2＝19；
②由题意可得：
a n&
b n＝，b m&a m＝，
很显然，要使a n&b n＝b m&a m，必须n、m同时为3的倍数或者同时不为3的倍数，
若n、m同时为3的倍数，则有5m＝4n﹣1，则n＝24或n＝9，此时m＝19或m＝7，不成立；
若n、m同时不为3的倍数，则有5n＝4m﹣1，则m＝4或14或19或29，此时对应的有n ＝3或11或15或23，
把与题意相矛盾的舍去，剩下m＝14，n＝11或m＝29，n＝23，
即a11&b11＝b14&a14或a23&b23＝b29&a29，
即数列a n&b n与b n&a n有2个公共项；
故答案为19；2．
三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}满足a3+a5＝20，a6＝4a2．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，c n＝a n+b n，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，求数列{c n}的前n项和S n．
条件①：b1＝1；
条件②：b5＝8b2；
条件③：b2+b3＝6．
〖分析〗（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，即可求得数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q，分别取条件①②、条件①③、条件②③作为已知条件，列关于首项与公比的方程组，求解首项与公比，即可求得数列{b n}的通项公式，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n项和公式求解．
解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由已知可得，解得．
∴a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2，
则数列{a n}的通项公式为a n＝3n﹣2；
（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q，
选择条件①②作为已知条件：则，解得，
∴；
选择条件①③作为已知条件：则，解得或（舍），∴；
选择条件②③作为已知条件：则，解得，
∴；
∴，
则
＝．
∴数列{c n}的前n项和S n＝．
18．已知函数f（x）＝+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在〖﹣2，2〗上的最大值和最小值．
〖分析〗（Ⅰ）求出函数的导数，就是f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值即可．
解：（Ⅰ）f′（x）＝x2﹣2x，则f′（1）＝﹣1，
∵f（1）＝，∴切点是（1，），
故切线方程是y﹣＝﹣（x﹣1）即3x+3y﹣4＝0；
（Ⅱ）令f′（x）＝x2﹣2x＝0，解得：x＝0或x＝2，
x，f′（x），f（x）在〖﹣2，2〗的变化如下：
x﹣2 （﹣∞，0）0 （0，2） 2
f′（x）+ + 0 ﹣0
f（x）
﹣递增极大值递减
﹣
∴f（x）在〖﹣2，0）递增，在（0，2〗递减，
∴f（x）地方极大值是f（0）＝1，又f（2）＝﹣，f（﹣2）＝﹣，∴f（x）在〖﹣2，2〗的最大值是f（0）＝1，
f（x）在〖﹣2，2〗在最小值是f（﹣2）＝﹣．
19．记数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n＝．（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）设b n＝a n+2，求证：数列{b n}是等比数列；
（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．
〖分析〗（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式和赋值法的应用求出结果；
（Ⅱ）利用递推关系式的应用求出数列为等比数列；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．
解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n，都有S n＝．当n＝1时，解得a1＝4，
当n＝2时，，解得a2＝16．
（Ⅱ）由于①，
当n≥2时，②，
①﹣②得：a n＝3a n﹣1+4，
由于b n＝a n+2，
所以b n+1＝a n+1+2＝3a n+6，
故，
所以数列{b n}是以6为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
故a n＝b n﹣2＝6×3n﹣1﹣2，
所以．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣（a+1）x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a＝0时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x2﹣1在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．〖分析〗（Ⅰ）求出f'（x），令f'（x）＝0，求出x的值，然后利用f'（x）的正负确定函数f（x）的单调性，由函数极值的定义求出函数f（x）的极值，即函数f（x）的最值，从而得到f（x）的取值范围，即可证明；
（Ⅱ）求出g'（x），然后分a≤0，0＜a＜1和a≥1三种情况，分别利用导数判断函数的单调性，结合函数极值的定义分析求解即可．
〖解答〗（Ⅰ）证明：函数f（x）＝lnx﹣（a+1）x+1，定义域为（0，+∞），
当a＝0时，f（x）＝lnx﹣x+1，则f'（x）＝，
令f'（x）＝0，解得x＝1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，
当x＞1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
所以当x＝1时，函数f（x）取得唯一的极大值f（1）＝0，
故f（x）的最大值为0，
所以f（x）≤0；
（Ⅱ）解：函数g（x）＝f（x）+x2﹣1，
则g'（x）＝，
①当a≤0时，则ax﹣1＜0，
当0＜x＜1时，x﹣1＜0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，
当x＞1时，x﹣1＞0，则g'（x）＜0，故g（x）单调递减，
所以当x＝1时，g（x）取得极大值，符合题意；
②当0＜a＜1时，则ax＜x，
当0＜x＜1时，ax﹣1＜x﹣1＜0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，
当1＜x＜时，x﹣1＞0，ax﹣1＜0，则g'（x）＜0，故g（x）单调递减，
所以当x＝1时，g（x）取得极大值，符合题意；
③当a≥1时，当x＞1时，ax﹣1≥x﹣1＞0，则g'（x）＞0，故g（x）单调递增，
所以1不是函数g（x）的极大值．
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．
21．已知集合A＝{1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为A k，1，A k，，A k，3，…，A k，m，其中1≤k≤n，k∈N*，m∈N*．
2
当1≤j≤m，j∈N*时，设A k，j＝{x1，x2，……，x k}，且x1＜x2＜x3＜…＜x k．
定义：S（A k，j）＝x k﹣x k﹣1+x k﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1；
T〖k〗＝S（A k，1）+S（A k，2）+S（A k，3）+…+S（A k，m）．
（Ⅰ）若n＝5，
（ⅰ）写出满足S（A4，j）＝2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；
（ⅱ）求T〖1〗+T〖2〗+〖3〗的值；
（Ⅱ）若存在唯一的n∈N*，使得T〖1〗+T〖2〗+…+T〖n〗＝1024，求n的值．
〖分析〗理解定义：S（A k，j）＝x k﹣x k﹣1+x k﹣2﹣…+（﹣1）k+1x1，T〖k〗＝S（A k，1）+S（A k，
）+S（A k，3）+…+S（A k，m）．（Ⅰ）用特殊值和枚举法解题，（Ⅱ）分类讨论．
2
解：（Ⅰ）若n＝5，
（i）取A4，j＝{1，2，3，4}，S（A4，j）＝4﹣3+2﹣1＝2．
j的最大值为3．
（ii）枚举法：集合A含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，则T〖1〗＝15；
集合A含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，
5}，{3，4}，{3，5}，则T〖2〗＝20；
集合A含有3个元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，则T〖3〗＝30；
∴T〖1〗+T〖2〗+T〖3〗＝65．
（Ⅱ）对于集合A的子集，可以分两类，一类含n，一类不含n；
如果有集合{x1，x2，...，x k，n}（x1，x2，...，x k，n∈Z，且x1＜x2＜...＜x k＜n），则存在唯一与之对应的集合{x1，x2，...，x k}，
满足S（{x1，x2，...，x k}）+S（{x1，x2，...，x k，n}）＝n，且这样的集合有（1≤k＜n）组，最后还剩下集合{n}；
∴T〖1〗+T〖2〗+…+T〖n〗＝n（++...+）+n＝2n﹣1•n，
令2n﹣1•n＝1024，得n＝8．。