华师一附中届高三(新课标)第一轮复习教案(第六章)第一讲： 不等关系与不等式

第一讲 不等关系与不等式
教学目的：掌握并能运用不等式的性质，灵活运用实数的性质；掌握比较两个实数大小的一般步骤。

教学重点：不等式的性质的灵活应用与两实数大小比较的方法。

教学难点：不等式的性质的灵活应用
【知识概要】
知识点1 不等式的定义
用不等号（<、>、≤、≥、）表示不等关系的式子叫不等式． 指出：不等式的分类：
严格不等式：用“<”或“>”号连结的不等式叫严格不等式； 非严格不等式：用“≤”或“≥”号连结的不等式叫非严格不等式.
同向不等式：对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式.
异向不等式：对于两个不等式如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式
绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式. 条件不等式：如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式.
矛盾不等式：如不论用什么样的实数代替不等式中的字母它都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式. 知识点2 不等式的基本（性质实数的大小顺序与运算性质之间的关系）
0>-⇔>b a b a 0<-⇔<b a b a 0=-⇔=b a b a 指出：（1）实数的两个特征：任意实数的平方不小于0，即a ∈R ⇔a 2≥0. 任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数．
（2）实数比较大小的依据和方法：如果a-b 是正数，那么a>b ；如果a-b 是负数，那么a<b ；如果a-b 等于零，那么a=b ，反之也成立，就是a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b,a-b<0⇔a<b. 知识点3 不等式的性质
（1）对称性：a b b a <⇔> ； a b b a >⇔<。

（2）传递性：c a c b b a >⇒>>, ；c a c b b a <⇒<<,。

（3）可加性：c b c a b a +>+⇒>，（即移项法则：b c a c b a ->⇒>+） 推论：同向不等式相加：d b c a d c b a +>+⇒>>,。

（4）可乘性：bc ac c b a >⇒>>0,，bc ac c b a <⇒<>0,。

推论1：乘法性质：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0； 推论2：乘方性质：n
n b a b a >⇒>>0； 推论3：开方性质：n
n b a b a >
⇒>>0
指出：（1）不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强
（2）还有常用的倒数法则：111100,00a b a b a b a b
>>⇒<<<<⇒>>。

【基础题典例解析】
例1 （概念的应用）
（1）已知三个不等式： ①ab>0 ②bc>ad ③a c >b
d
,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题
（2）有三个条件：① ac 2>bc 2；②
c a ＞c
b
；③ a 2>b 2，能分别成为a>b 的充分条件的个数有多少个。

（3）判断下列命题是否正确，并说明理由. ① 若a>b ，则ac 2>bc 2； ② 若2c a >2c
b ，则a>b ； ③ a>b,ab≠0，则
a 1<b
1
； ④ 若a>b ，c>d ，则ac>bd. 解：（1）可以组成下列三个命题： 命题一：若ab>0，a c >b d , 则bc>ad ； 命题二：若ab>0，bc>ad 则a c >b
d
； 命题三：若
a c >b
d
, bc>ad 则ab>0。

由不等式的性质得知这三个命题均为真命题 （2）① 由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故ac 2>bc 2是a >b 的充分条件
② c <0时，a <b ； ③a <0时，a <b ，故②、③不是a >b 的充分必要条件，故有一个。

（3）①错误，当c=0时不成立.
②正确.∵c≠0且c 2>0，在2c a >2c
b 两边同乘以
c 2，不等式方向不变.∴a>b. ③错误.a>b ⇔
a 1<b
1
成立条件是ab>0. ④错误.a>b,c>d ⇔ac>bd,当a,b,c,d 均为正数时成立． 例2 （比较大小）
若0>>b a ，0<<d c 解：,0<<d c Θ则0c d ->->，110,c d ∴<-
<- 又,0>>b a ,0>->-∴c
b
d a
>
=-=-c
b d
a 3
3
<∴。

例3 （比较大小） 设a>0,且a≠1,t>0,比较21log a t 与log a 2
1+t 的大小. 解：∵log a
21+t -21log a =log a t t 21+,又t>0，由不等式性质t+1≥2t ,∴t
t 21
+≥1.当0<a<1时， log a
t
t 21+≤log a 1=0,∴log a
21+t ≤21log a t ；当a>1时,log a t
t 21
+≥log a 1=0,∴log a 21+t ≥21log a t. 例4 （比较大小）
设),(1)(212x x x x f ≠+=试比较|||)()(|2121x x x f x f --与的大小.
解：12|()()||f x f x -=22
212
22111|
|x
x x x +++-=
,11||||22
21
2121x
x x x x x +++-+=
.111|
||||)()(|22
21212121<++++=--∴
x x x x x x x f x f |||)()(|2121x x x f x f -<-∴。

例5 （比较大小）
已知函数)0()(2
>++=a c bx ax x f ，方程x x f =)(的两根是21,x x ，且a
x x 1
12>
-； 若10x t <<，试比较1)(x t f 与的大小.
解：)0)()(()(21>--=-a x x x x a x x f Θ，
]1)()[(]))(([)(211211+--=-+--=-∴x t a x t x t x t x t a x t f ，0,1
,0121>>
-<a a
x x x 且Θ， .1
,0221a
x x t x t -<<-<-∴01)(2<+-∴x t a ，11)(,0)(x t f x t f >>-∴即.
例6 （比较大小）
已知函数()b ax x x f ++=2
，1=+q p ，试比较()()y qf x pf +与()qy px f +的大小．
解： ()()y qf x pf +—()qy px f +=()()
b ay y q b ax x p +++++2
2()2
qy px +-()b qy px a -+-
()()pqxy y q q x p p 21122--+-=()()()2
2
1y x p p y x pq --=-=
（1）当y x =时，()()012
=--y x p p 得()()y qf x pf +=()qy px f +。

（2）当y x ≠时，()02
>-y x ∴①当0,1==orp p 时，()()012
=--y x p p 。

得()()y qf x pf +
=()qy px f +。

② 当10<<p 时，()()012
>--y x p p 得()()y qf x pf +>()qy px f +。

③当01<>orp p 时，()()012
<--y x p p 得()()y qf x pf +<()qy px f +。

综上所述：当y x =或0,1==orp p 时()()y qf x pf +=()qy px f +。

当y x ≠且10<<p 时()()y qf x pf +>()qy px f +。

当y x ≠且01<>orp p 时()()y qf x pf +<()qy px f +。

【综合题典例解析】
例1 已知a
D a c a B a A a -=+=-=+=<<-11,11,1,1,0212
2，则比较A 、B 、C 、D 的大小.
解：本题考查两实数大小，若两两比较，则需比较62
4=C 次，运算量较大，我们不妨将问题简单化.
41,021-=<<-
a a 不防取Θ ，这时,1615,1617==B A 5
4
,34==D C .由此猜测：D B A C >>>. a a a a a a A C +++-=+-+=-1)1()1(112
2a a a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=1]4321[2
，,0,01>->+a a Θ043212>+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+a ，A C >∴，02)1()1(2
2
2
>=--+=-a a a B A ，B A >∴，a
a a a a a D B ---=--
-=-1)
1(11122
a a a -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
145212
，,021<<-a Θ01>-∴a ，0452********
2<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--<-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-a ，D B >∴。

综上：D B A C >>>。

例2 （1）比较x 2+3与3x 的大小，其中x ∈R ； （2）比较x 5+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ； （3）比较316⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n -3
16⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-n 与2的大小(n≠0). 解：（1）(x 3+3)-3x=x 2-3x+3=[x 2-3x+2
23⎪⎭⎫ ⎝⎛]-2
23⎪⎭
⎫ ⎝⎛+3=2
23⎪⎭⎫ ⎝⎛
-x +43≥43>0.∴x 2+3x>3x.
（2） (x 6+1)-(x 4+x 2)=x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1)=(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)=(x 2-1)2(x 2+1)
∴当x=±1时，x 6+1=x 4+x 2；当x≠±1时，x 6+1>x 4+x 2.
（3）设a=6n
，则3
16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n -3
16⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-n =(a+1)3-(a-1)+3=(a 3+3a 2+3a+1)-(a 3-3a 2+3a-1)=6a 2+2=n 2+2。

∴316⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n -316⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n -2=n 2，∵n≠0,∴n 2>0,∴316⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n -3
16⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-n >2. 例3 （1）若x<y<0，试比较(x 2+y 2)(x-y)与(x 2-y 2)(x+y)的大小； （2）设a>0, b>0且a≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小。

解：（1）(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)=(x-y)[(x 2+y 2)-(x+y)2]=-2xy(x-y). ∵x<y<0,∴xy>0, x-y<0, ∴-2xy(x-y)>0, ∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y).
（2）根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。

b a a b b
a a
b b a b a b a b
a b a ---=⋅=)(。

当a>b>0时，b a >1,
当a-b>0. 则(
b a )a-b >1，于是a a b b >a b b a 。

当b>a>0时，0<b a <1, a-b<0，则(b
a
)a-b >1，于是a a b b >a b b a 。

综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a 。

例4 设f(x)=ax 2+bx ，且1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围。

解：因为f(-1)=a-b, f(1)=a+b ，而1≤a -b≤2, 2≤a+b≤4；又a+b 与a-b 中的a 、b 不是独立的，而相互制约的，因此，若将f(-2)用a-b 和a+b 表示，则问题得解。

设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m 、n 为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)，即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b 。

于是，得⎩⎨
⎧=-=+2,4n m n m 解得⎩⎨⎧==.
1,
3n m ∴f(-2)=3f(-1)+f(1)。

∵1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10。

故5≤f(-2)≤10。

以上过程简化如下：由⎩⎨⎧=+-=-),1(),1(f b a f b a 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=-+=)],
1()1([21)],
1()1([21f f b f f a ，∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)。

(略) 例5 已知a>b>c ，a +b +c =0方程ax 2+bx +c =0的两个实根为x 1，x 2。

（1）证明：－
121<<a
b ； （2）若x 12+x 1x 2+x 22=1，求x 12－x 1x 2+x 22； （3）求2
221x x -。

解：（1）Θa>b>c ，a +b +c =0,∴3,a a b c >++,∴a >0，1>a b a b -->1，∴121<<-a
b。

（2）Θa +b +c =0，∴a x 2+b x+c =0有一根为1，不妨设x 1=1,则由x 12+x 1x 2+x 22=1可得x 2(x 2+1)=0，
而x 2=x 1x 2=a
c
<0(3c<a +b +c =0)，∴ x 2=－1，∴x 12－x 1x 2+x 22=3。

方法二： x 1+x 2=－a b ，x 1x 2=a c
，x 12+x 1x 2+x 22=(x 1+x 2)2－ x 1x 2 =1222222++=++
=-a b a
b a b a a b a
c a b =1，∴,0,121,022=∴<<-=+a b
a b a b a
b Θ∴x 12－x 1x 2+x 22= x 12+x 1x 2+x 22－2x 1x 2
=1－2x 1x 2=1+
3)
(2=+a
b a 。

（3）由（2）知，2
2
2
1x x -=1)1()(1122
2
2
2
-+=+-
=-a
b
a b a a c ，
Θ
4)1(41,21212<+<∴<+<a b a b ，∴－31)1(432<-+<a
b ，∴[)3,02
221∈-x x 例6 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<a
1
．
（1）当x ∈(0, x 1)时，证明：x <f (x )<x 1； （2）设函数f (x )的图像关于直线x =x 0对称，证明x 0<2
1
x ． 证: (1) 令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x =0的根，所以F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．
当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a >0，得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)>0，即x <f(x)．
1111212()[()]()()()[1()]x f x x x F x x x a x x x x x x a x x -=-+=-+--=-+-，a
x x x 1021<
<<< ∴x 1－x >0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0．得x 1－f(x)>0．∴f(x)<x 1． （2）依题意知：a
b
x 20-=，∵x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0 的根．∴a
b x x 1
21--
=+，a ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-=，∵ax 2<1，∴22110x a ax x =<． 例7 已知实数a,b,c 满足条件：
012=++++m
c
m b m a ，其中m 是正数，对于f(x)=ax 2+bx+c 。

（1）如果0≠a ，证明：01<⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅m m f a ； （2）如果0≠a ，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。

解：（1）
()()()()22
222
11111,()0.21112m m m am b c a f a a b c am m m m m m m am a a m m am a f m m m m m ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-=-∴⋅<⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
（2）由于f(0)=c,f(1)=a+b+c,当a>0时, 因为01<⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅m m f a ,所以01<⎪⎭
⎫
⎝⎛+m m f 。

若c>0,,f(0)=c>0,所以方程f(x)=0在⎪⎭
⎫
⎝⎛
+1,
0m m 内有解； 若c≤0，()()02211>-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=++=m c m a c m a m c m a c b a f ，∴方程在⎪⎭
⎫ ⎝⎛+1,1m m 内有解。

当a<0时,同理可证。

故0≠a 时,方程f(x)=0在(0,1)内有解。