华中师范大学高等代数教学大纲

第二章行列式（18课时，教材第2章）
内容：排列的奇偶性，行列式概念；行列式的对称性、线性性质、交错性质；行列式展开，克拉默定理；行列式计算。

重点：行列式的概念与计算。

难点：奇偶性；拉普拉斯展开。

第三章矩阵与向量（42课时，教材第3章）
内容：从线性系统、线性方程组到数域、向量，矩阵概念；矩阵的各种运算及其运算性质，分块运算；数组空间的子空间，向量的线性关系；矩阵的秩，初等变换；矩阵可逆的等价条件；等价标准型定理；线性方程组理论和操作技术。

重点：线性系统与向量、矩阵概念；初等变换技术与应用；等价标准型及其应用；线性方程组。

难点：向量的线性关系；矩阵可逆及其逆矩阵。

第四章多项式（14课时，教材第5章）
内容：多项式的整除理论；因式分解，多项式的根。

重点：整除理论，因式分解。

难点：因式分解。

第五章特征值和相似对角化（16课时，教材第6章＋第7.1节）
内容：特征值，特征向量，特征多项式；特征子空间概念；矩阵相似对角化的判定与操作计算；矩阵的零化多项式，凯莱－哈密顿定理，极小多项式。

重点：特征值的几何重数与代数重数，特征子空间，矩阵相似对角化。

难点：特征多项式与极小多项式。

第六章二次型（21课时，教材第8章）
内容：二次型的函数形式和矩阵形式，基本问题；逐步配方法，合同变换法；实向量空间的内积，正交矩阵，主轴定理；惯性定理；实二次型的正负性。

重点：二次型的两种形式及其平方和变换，正交化方法及应用，正交矩阵；正定性。

难点：正交概念，正交化思想方法。

第七章二次曲面（24课时，教材第10章）
内容：空间曲线与曲面及其方程，几类曲面；平面欧氏变换与二次曲线的欧氏分类；空间欧氏变换与二次曲面的欧氏分类；仿射变换与二次曲面的仿射分类。

重点：空间观念与代数形式；空间变换，二次曲线二次曲面分类；具体计算方法。

难点：空间变换与坐标变换的关系。

第八章射影几何初步（10课时，教材第11章）
内容：射影平面，齐次座标；对偶命题，对偶原理及其应用；摄影变换，二次曲面射影分类。

重点：射影概念，齐次座标，对偶原理，射影分类。

难点：射影平面和射影变换概念。

第九章向量空间与线性映射（30课时，教材第4章）
内容：一般向量空间概念，线性映射和线性变换；线性映射和线性变换在基底下的矩阵；基底变换、坐标变换和矩阵变换；子空间，子空间直和；线性变换的不变子空间，一维不变子空间。

重点：线性概念，基底及其变换，坐标变换和矩阵变换；空间分解，线性变换下的空间性质。

难点：抽象向量空间概念，线性映射概念。

第十章欧式空间，酉空间（26课时，教材第9章）
内容：高维空间的欧氏度量，复空间的埃尔米特型，酉空间；内积空间的变换及相应的矩阵，谱定理及有关计算；正交矩阵的实标准形；最小平方逼近和广义逆。

重点：抽象实向量空间复向量空间的度量结构，实二次型和埃尔米特型；正交变换下的标准形问题；欧氏度量逼近。

难点：抽象欧氏度量和酉度量。

第十一章矩阵相似标准型（16课时，教材第7章）
内容：多项式矩阵与矩阵多项式，多项式矩阵的初等变换，三组不变量；矩阵相似的判定定理；若尔当标准形定理的证明和应用。

重点：多项式矩阵的初等变换，多项式矩阵的三组不变量；若尔当标准形定理的证明和应用。

难点：三组不变量及矩阵标准型。