球与多面体的内切、外接

设为1
A1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R1 =
2
球内切于正方体的棱
D A B C
中截面
O
D1

.
S乙 4 R2 2 =2
C1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。
球外接于正方体
D A
O D1 A1 B1
C 对角面
B

A
C
2R 3
设为1
A1
O
C1
2
6 a 3
P
3 a 2
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
O
A
O1
G
D
3 a 6
6 aR R 3 3 3 a a 2 6
6 R a 4
E
3 2 S表 a 2
解法2：
A B
A B
O
D C C 求正多面体外接球的半径
O
D
求正方体外接球的半径
A
。求棱锥的
解法1： 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
1
O B O1 C
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
F D
E
作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
球内切与正方体
则球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？
r
.
a
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27 D C A B 中截面 O D1 C1
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
S丙 4 R3 =3
2
练习：
1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， PA=1， PB PC 2 ，已知空间中有一 个点到这四个点距离相等，求这个距离； 沿对角面截得：
A
C
O
A1
C1
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 全面积和它的内切球的表面积。
球与多面体的内切、外接
D A D1
A1 O C1 B
C
B1
东营河口

一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V球 R 3
二、球与多面体的接、切
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
1、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的 底面圆内，若正方体的边长为 6 ，求半球的表面积和体 积。
P
O
A
O1
G D
2、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
第二题截图
E
3.
A
1. C
2. C
8 52 6



V多面体
1 S全 r内切球 3
练习
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
解法1： 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α 截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示, 连 AO 延长交 PD 于 G
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
A VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
2 1 3 VA BCD 2 6 1 2 3 3 4 1 r S全 3 2 2 3 r D 3


O


B C
注意：①割补法，②
r 6 2 S球