菏泽市选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数Y ，则（ ） A ．()()()(),E X E Y D X D Y >> B ．()()()(),E X E Y D X D Y => C ．()()()(),E X E Y D X D Y >=
D ．()()()(),
E X E Y D X D Y ==
2．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩(
)2
~90,X N σ
，已知
(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概
率为（ ） A ．0.15
B ．0.50
C ．0.70
D ．0.85
3．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +，B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100，[81,90]，[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、
[]31,40、[]21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X ～()50,256N ，那么D 等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若X ～()2
,N
μσ，X Y μ
σ
-=，则Y ～()0,1N ；②当Y ～()0,1N 时，()1.30.9P Y ≤≈.
A ．23
B ．29
C ．36
D ．43
4．若X ～B （20，0.3），则（ ）
A ．E （X ）＝3
B ．P （X ≥1）＝1﹣0.320
C ．
D （X ）＝4
D ．P （X ＝10）10
10
200.21C =⨯
5．已知随机变量X 的取值为1,2,3，若()136P X ==，()5
3
E X =，则()D X =（ ） A ．
1
9
B ．
39
C ．
59
D ．
79
6．随机变量X 的分布列如下：
其中a ，b ，c 成等差数列，则D X 的最大值为（ ）
9
9
4
37．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2
B ．
52
C ．
94
D ．4
8．在由直线1x =，y x =和x 轴围成的三角形内任取一点(,)x y ，记事件A 为3y x >，B
为2
y x >，则(|)P B A =（ ）
A ．
16
B ．
14
C ．
13
D ．
23
9．从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（ ） A ．
715
B ．
12
C ．
710
D ．
79
10．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，方差24s =，则数据
1232,32,
,32n x x x +++的平均数、方差分别为（ ）
A ．9,12
B ．9,36
C ．11,12
D ．11,36
11．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数
2
2
22()x f x e
-μ-σ
=
π⋅σ
（）x ∈R （）
曲线如图所示，正态变量X 在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，
则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是（ ）
A ．997
B ．954
C ．683
D ．341
12．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为2
15
，既刮风又下雨的概率为
1
10
，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）
225
2
4
8
二、填空题
13．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.
14．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
15．下列说法中，正确的有_______．
①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；
②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而(
)
2
6.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；
③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；
④某项测量结果ξ服从正态分布(
)2
1,N a
，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．
16．从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为_____.
17．设01P <<，若随机变量ξ的分布列是：
则当P 变化时，()D ξ的极大值是______.
18．某种袋装大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，则质量在49.850.1kg ~的概率为__________．
（()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）
三、解答题
19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀. （1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；
（2）设随机变量X 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X 的分布列及数学期望，并求出A 校为优秀的概率.
20．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.
（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；
（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分
E X.
以上的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望()
21．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:
(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；
(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X 的分布列及均值E(X);
(3)试比较男生学习时间的方差21s与女生学习时间的方差22s的大小.(只需写出结论)
22．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄､蓝两种颜色的单车，已知黄､蓝两种颜色单车的投放比例为1:2.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.
（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；
（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽
取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用ξ表示，求ξ的分布列及数学期望.
23．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数3839404142
天数101510105
送餐单数3839404142
天数51010205
（1）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
24．足球训练中：现有甲､乙､丙､丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙､丙､丁中的任何一个人，依此类推.通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.
25．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：
（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
26．根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并
根据p 的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
有放回地摸出一个球，它是白球的概率是
47，它是黑球的概率是3
7，因此4
(5,)7
X
B ，
3
(5,)7
Y
B ，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．
【详解】 有放回地摸出一个球，它是白球的概率是
47，它是黑球的概率是3
7，因此4
(5,)7
X
B ，
3(5,)7
Y
B ，
∴420()577E X =⨯
=，315()577
E Y =⨯=， 4360()57749D X =⨯⨯=，3460
()57749
D Y =⨯⨯=．
故选：C 【点睛】
结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量(,)X
B n p ，则
()E X np =，()(1)D X np p =-．
2．D
解析：D 【分析】
根据正态密度曲线的对称性得出()()()110700.57090P X P X P X ≥=≤=-<≤，于是可计算出()()1101110P X P X <=-≥，于此可得出结果． 【详解】 由于(
)2
~90,X N σ
，
由正态密度曲线的对称性可得
()()()110700.570900.15P X P X P X ≥=≤=-<≤=，
因此，()()110111010.150.85P X P X <=-≥=-=，故选D. 【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．
3．B
解析：B 【分析】
由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由(P 等级分≥40)0.9=即有(P 原始分
≥
50
16
x -)0.9=，结合原始分满足X ～()50,256N 的正态分布即可得均值和标准差，而X Y μ
σ
-=
且()1.30.9P Y ≤≈知( 1.3)0.9P Y ≥-≈，即有
50
16
x - 1.3=-求解即可 【详解】
由题意知：X ～()50,256N 则有50μ=，16σ=
设D 等级的原始分最高大约为x ，对应的等级分为40 ，而(P 等级分
≥40)1(7%3%)0.9=-+=
∴有(P 原始分≥
50
16
x -)0.9= 而()1.30.9P Y ≤≈，由对称性知( 1.3)0.9P Y ≥-≈
∴有
50
16x - 1.3=-，即29.229x =≈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。

注意正态分布的对称性应用
4．D
解析：D 【分析】
根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可. 【详解】
因为20,0.3n p ==，所以()200.36E X =⨯=，()()200.310.3 4.2D X =⨯⨯-=
()()()20
2020110110.310.7P X P X C ≥=-==--=- ()()10
101010102020100.310.30.21P X C C ==-=⋅
故选：D 【点睛】
本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.
5．C
解析：C 【分析】
设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(3)6P X ==
，5
()3
E X =，列出方程组，求出p ，q ，即可求得()D X ．
【详解】
设(1)P X p ==，(2)P X q ==，
15
63
()23E X p q =++⨯=——①，
又1
6
1p q ++=——② 由①②得，1
2p =
，13
q =， 222111()(1)(25555
333(9
))2336D X ∴=-+-+-=
故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
6．D
解析：D 【分析】
分别运用等差数列的中项性质和概率的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值． 【详解】
解：因为a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，∴13b =，2
3
c a =-， ∴()823
E X a =
-，2422
()4969833E X a b c a a a =++=++-=-
则()()()2
2
D X
E X
E X =-
2
2
821224439333a a a ⎛
⎫=-++=--+≤ ⎪⎝
⎭，
当1
3
a b c ===
时取等号． 则()D X 的最大值为
23
.
故选：D. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望和方差的求法，考查等差数列的中项性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
7．C
解析：C 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不
等式即可得到11
p q
+的最小值.
【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p ，，
所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +=，（0p >，0q >） 所以
11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题． 8．D
解析：D 【分析】
由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解．同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解． 【详解】 图形如下图所示：
直线1x =，y x =和x 轴围成的三角形的面积为111122
⨯⨯=； 直线1x =，3
y x y x =>，和x 轴围成的三角形的面积为
1
3
2
1410
111()2
4
4
x x dx x x -=-=
⎰； 直线1x =，2
y x y x =>，和x 轴围成的三角形的面积为
1
2
2
1310
111()2
3
6
x x dx x x -=-=
⎰； 1
1
4()122
P A == ,116()132P AB =
= 1
()23()1()32
P AB P B A P A ∴===故本题选D. 【点睛】 本题考查了几何概型、条件概率、定积分的应用.
9．D
解析：D 【分析】
运用条件概率计算公式即可求出结果 【详解】
令事件A 为第一次取出的球是白球，事件B 为第二次取出的球是红球
，则根据题目要求得()()()37
7
109|3910
P AB P B A P A ⨯=
==， 故选D 【点睛】
本题考查了条件概率，只需运用条件概率的公式分别计算出事件概率即可，较为基础．
10．D
解析：D 【解析】
分析：由题意结合平均数，方程的性质即可求得新数据的平均数和方差.
详解：由题意结合平均数，方程的性质可知： 数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为：3211x +=，方差为22336s ⨯=.
本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查平均数的性质，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．C
解析：C 【解析】
分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数.
详解：由图得8μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%， 对应人数为68.3%1000683⨯=， 选C.
点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.
12．D
解析：D 【解析】
分析：根据条件概率求结果.
详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨
天里，刮风的概率为1
3104815
=， 选D.
点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.
二、填空题
13．【分析】设抽得次品数为列出随机变量的分布列进而可求得的值【详解】设抽得次品数为则随机变量的可能取值有则所以随机变量的分布列如下表所示： 所以故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机
解析：3
5
【分析】
设抽得次品数为X ，列出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】
设抽得次品数为X ，则随机变量X 的可能取值有0、1、2，
则()272107
015C P X C ===，()11372
107115C C P X C ===，()232101215
C P X C ===， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
所以，()0121515155
E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：35
. 【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
14．05【解析】依题意有解得
解析：0.5 【解析】
依题意有()10.25p p -=，解得0.5p =.
15．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小时只能
解析：②④ 【分析】
由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】
回归直线ˆˆˆy
bx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误； 由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；
2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；
(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；
故答案为：②④ 【点睛】
本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.
16．【分析】令事件求出即可求出选出4号球的条件下选出球的最大号码为6的概率【详解】令事件依题意知∴故答案为【点睛】本题考查古典概型理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性掌握列 解析：
114
【分析】
令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}
46B =选出的个球中最大号码为，求出
()3
9n A C =，()6n AB =，即可求出选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概
率． 【详解】
令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}
46B =选出的个球中最大号码为，
依题意知()3
9=84n A C =，()2
4
6n AB C ==， ∴()61|8414P B A ==，故答案为1
14
. 【点睛】
本题考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，还要应用排列组合公式熟练，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题，属于中档题.
17．【解析】分析:先求出再求利用二次函数的图像求的极大值详解:由题得所以所以当时的极大值是故答案为点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力(2) 解析：
12
【解析】
分析:先求出()E ξ,再求()D ξ,利用二次函数的图像求()D ξ的极大值. 详解:由题得113()0122222
p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-, 所以2222311111
()()()()(01)2222224
p p D p p p p p p ξ-=-+-++=-++<< 所以当12p =时,() D ξ的极大值是12
. 故答案为
12
. 点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，
2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211
()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2
()n n x E p ξ-⋅
18．08185【解析】分析：先求出再求得从而可得结果详解：因为（单位：）服从正态分布所以根据正态分布的对称性可得故答案为点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用属于中档题有关正态分布的应用题考查知识点
解析：0.8185. 【解析】
分析：先求出()49.950.10.6826P X <<=，再求得()49.849.90.1359P X <<=，从而可得结果.
详解：因为X （单位：kg ）服从正态分布()50,0.01N ， 所以，50,0.1μσ==，
根据正态分布的对称性，可得()49.950.10.6826P X <<=，
()()1
49.849.90.95440.68260.13592
P X <<=
-=， ()49.850.10.68260.13590.8185P X ∴<<=+=，故答案为0.8185.
点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.
三、解答题
19．（1）310；（2）分布列见解析，期望值245，
33
50
. 【分析】
（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知3,4,5,6X =,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率. 【详解】
（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件A ，则
()()111122324124
2
25
310C C C C C C P M C ⋅⋅⋅+⋅=
=
（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为3、4、5、6，
()()
2112
24153
251
325C C C C P X C ⋅⋅⋅==
=
()()3410
P X P M ===
()()
2112112
2
341532453
2512
525C C C C C C C C P X C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅===
()()
222
345325
9650C C C P X C ⋅⋅==
=
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
13129243456251025505
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= A 校为优秀的概率()()12933
56255050
P X P X =+==
+=. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题.
20．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25
E X =. 【分析】
（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；
（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】
（1）甲5次测试成绩的平均分为5558768892369
55
x ++++==甲，
方差为
22
2
2
2
2
13693693693693695704
555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
甲，
乙5次测试成绩的平均分为6582878595414
55
x ++++==乙，
方差为
2
2
2
2
2
2
14144144144144142444
658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=
⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
乙
，
所以，x x <甲乙，22
s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；
（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，
()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2
112525
P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
因此，()0122525255
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
21．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2
2
12s s >. 【分析】
（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案． 【详解】
(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.
故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×
12
20
=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得
P (X=0)=4448170C C =，
P (X=1)=134448168
7035
C C C ==，
P (X=2)=22444
83618
7035C C C ==， P (X=3)=314448168
7035C C C ==， P (X=4)=4448170
C C =.
∴均值E (X )=0×
170+1×835+2×1835+3×835+4×170
=2.
(3)由折线图可得2
2
12s s >. 【点睛】
方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 首先确定随机变量X 的所有可能取值；
计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确； 进行列表，画出分布列的表格；
最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 22．（1）80
243；（2）分布列答案见解析，数学期望：
4081
. 【分析】
（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列和期望. 【详解】
（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为2
3
，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则X 服从二项分布，即2~5,
3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为3
2
35
218033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）随机变量ξ的可能取值为：0､1､2､3､4.
()203p ξ==，()1221339p ξ==⨯=，()2
122
23327
p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()312233381
p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()4
114381p ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭.
所以ξ的分布列如下表所示：
()012343927818181
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
23．（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析. 【分析】
（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为a ，然后依次求出38a =、39a =、
40a =、41a =、42a =时的工资X 以及概率p ，即可列出X 的分布列并求出数学期
望；
（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果. 【详解】
（1）设乙公司送餐员送餐单数为a ， 当38a =时，386228X =⨯=，515010p ； 当39a =时，396234X =⨯=，101505p ； 当40a =时，406240X =⨯=，10150
5p
； 当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，20250
5
p ； 当42a
=时，40627254X =⨯+⨯=，51
5010
p
，
故X 的所有可能取值为228、234、240、247、254，
故X的分布列为：
故()228234240247254241.8
1055510
E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：
380.2390.3400.2410.2420.139.7
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8
+⨯=元，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8
<，
所以推荐小王去乙公司应聘.
【点睛】
关键点点睛：
（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，
（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.
24．分布列答案见解析，数学期望：22 27
.
【分析】
由题意分析0,1,2
ξ=，利用独立事件同时发生的概率求解概率，再求分布列和数学期望.【详解】
由题意得ξ的取值为0，1，2，
P(ξ=0)
2228
33327
=⨯⨯=，P(ξ=1)
122122116
11
333333327
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
P(ξ=2)
111
1
339
=⨯⨯=，∴ξ的分布列为：
∴E(ξ)122
012
2727927
=⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
思路点睛：本题的关键是弄清ξ的取值，以及随机变量的每一个取值对应的事件的过程，正确写出概率.
25．（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解
答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，3
8
.
【分析】
（1）根据平均数公式和方差公式计算结果，并根据平均数和方差的意义，得到结论；
（2）甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝3
8，P 2＝12，并计算12
3138216
PP =⨯=,由条件可知32,16X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据二项分布计算分布列和均值. 【详解】
（1） 1=
8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1
=8
x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
21
=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
21
=8
s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．
（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝3
8
，P 2＝
12
， 两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝
316
， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ()22313,0,1,21616k
k
k P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则X 的分布列为
X 的均值E (X )＝2168
⨯=. 【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是判断X 服从二项分布，并计算在每次周练两人失分均超过15分的概率，这样就容易写错分布列.
26．（1）分布列见解析，()1E X =；（2）0.01p ≈，答案见解析.
【分析】
（1）先分析X 的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出X 的概率分布以及数学期望；
（2）先分析新药无效的情况：10中1人痊愈、10中0人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性.
【详解】
解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2
252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9
C P X C === ∴X 的分布列如下：
()0121999
E X =⨯+⨯+⨯=． （2）新药无效的情况有：10中1人痊愈、10中0人痊愈，
∴0109
110101111110.015%22221024p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.
【点睛】
易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：
（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；
（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；
（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.。