重庆市第八中学校2025届高三上学期高考适应性月考卷(二)数学试卷(含解析)

重庆市第八中学2025届高考适应性月考卷（二）
数学试卷
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、单项选择题(本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的)1.
设a b ，是非零向量，则“
a b a b -=+ ”是“a b ，共线”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件
2.
若()11i z +=，则z
z
=
A .1i +
B .1i -
C .i
D .i
-3.
已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()()2y x f x =+⋅'的图象如图1，则下列说法正确的是
A .函数()f x 的谱区间是()()202∞-+，
，，B .函数()f x 的减区间是()()22∞∞--+，
，，C .2x =是函数的极大值点D .0x =是函数的极大值点4.
已知2sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则cos2α的值为
A .
23
B .
35
C .
34
D ．
45
5.
设等差数列n a 的前n 项和为n S ，已知774721S a =-，则3a =A .-2
B .-1
C .1
D .2
6.
已知函数()()()()0110e x h x x f x x ⎧≤⎪
=⎨⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎩，，.将函数()h x 向左平移一个单位，再向上平移一个单位
后得函数4y x
=-，若()()2
2f x f x +<，则实数x 的取值范围是
A .(-1，2)
B .()()12∞∞--⋃+，
，C .()21)2∞--⋃+，
，D .][()12∞∞--⋃+，
，7.
如果数列n a 对任意的*
211n n n n n a a a a +++∈->-N ，，则称n a 为“速增数列”，若数列n
a 为“逆增数列”，且任意项12132023n k a a a a ∈===Z ，，，，则正整数k 的最大值为A .62B .63
C .64
D .65
8.
已知2e 00a b c >>>，，，当0x >
时，e 0x b x c x x ⎛⎛⎫
+-≥ ⎪⎝
⎭⎝恒成立，则3ab c 的最小值为
A .3
e 27
B .127
C .
3e 9
D .
19
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.
已知点()()0110i i A x i i ≤≤∈N ，
，与点()()10110i i B y i i ≤≤∈N ，，关于点(2，5)对称.若1x ，210x x ⋯，，的平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ，则1210y y y ⋯，，，这组数满足A .平均数为4a -B .中位数为b
-C .方差为2
c D .极差为d
10.若Ox Oy ，是平面内两条相交成120 角的数轴，1e 和2e
是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，
若向量12OP xe ye =+ ，则规定有序数对(x ，y )为向量OP
在坐标系xOy 中的坐标，记作()OP x y = ，，设()()()11111OA OB OC t ==-= ，，，，，，则
A
.OA =
B .OA OB
⊥ C .若//BC OA
，则3
t =D .若ABC 构成锐角三角形，则()25t ∈，
11.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有
A .ω的取值范围是(4，5)
B .若()f x 的图象关于点5018π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，则()f x 在09π⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调递增C .()f x 在04π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最小值不可能为
12D .若()f x 的图象关于直线3x π=
对称，函数()()252024g x f x b x b π⎡⎤
=+∈⎢⎥⎣⎦
，，，是常数，()g x 有奇数个零点()12221n n x x x x n +⋯∈N ，，，，，则()1232212523
n n x x x x x π
++++⋯++=
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知双曲线22
2:14y x C b
-=的虚轴长为2，则双曲线C 的渐近线方程是_____.
13.设等比数列n a 的前n 项和为21
1n n n S S m m m -=+++⋯+，.令2n n b S =+，若n b 也是等比数
列，则m =_____.
14.曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为()0r r >的圆，定义其曲
率1
K r
=
，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线()y f x ≡在点()()00x f x ，处的密切圆半径计算公式为()()()
12
2
001f x R f x ⎡⎤
+⎥⎦='''⎢⎣
，其中()f x '表示()y f x =的导数，()f x ''表示()f x '的导数.已知曲线():ln C g x x =，则曲线
C 在点()()11g ，处的曲事为_____；C 上任一点处曲率的最大值为_____.四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)
ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、、已知22cos a b c B -=.(1)求角C ；
(2
)若3h c CD ==，平分ACB ∠交AB 于点D ，求CD 的长.
已知正项数列n a 的前n 项和为n S 、且()112311n n n a a S a +=-=，.(1)求数列n a 的通项公式;
(2)若数列n b 的前n 项和为n T ，且()32n n n b a a =
+，证明:4
3
n T <.
17.(本小题满分15分)
在平面直角坐标系中，已运动点()P x y ，到直线43
:3
l x =的距离与点P 到点)
F 的距
离的比是
23
3
(1)求动点P 的轨迹方程E ；
(2)若轨迹E 与x 轴的交点分别为A B 、。

过点()()40T t t ≠，的直线AT BT 、分别与轨迹E 相交于点M 和点N ，求四边形AMBN 面积的最大值.
某企业生产的产品的质量指标值为[]()70100M M ∈，
，其质量指标等级划分如下表:质量指标值M [)7075，
[)7590，[]90100，质量指标等级
废品合格欧品
为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值M 的数据作为样本，绘制如图2的频率分布直方图:
(1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求a b c ，，的值;
(2)若每件产品的质量指标值M 与利润y (单位:万元)的关系如下表02x π⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭:
质量指标值M [)7075，[)7580，[)8085，[)8590，[]90100，利润y (万元)
10
x
-
10cos x x
2x
5
x 53x
以频率作为概率，期望作为决策依据，若0.01c =，对任意的02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，生产该产品一定
能盈利，求a 的取值范围.
已知函数()()()2
22e e f x x x mx =--+在()1∞+，
上有两个极值点12x x ，.(1)求m 的取值范围;(2)求证:123ln24x x +<+<.
数学参考答案·第1页（共9页）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A
C
D
D
B
C
B
A
【解析】
1．由||||||a b a b -=+ ，可得向量a b ，的方向相反，此时向量a b ，共线，当向量a b
，同向时，
不能得到||||||a b a b -=+
，故选A ．
2．因为i(1)1z +=，所以21i
1i i i z +===-，1i z =--，所以1i z =-+，1i i 1i
z z --==-+，故选C ．
3．根据(2)()y x f x '=-的图象可知：当2x <-时，()0f x '>；20x -<<时，()0f x '>，当
02x <<时，()0f x '<，当
2x >时，
()0
f x '
>，所以()f x 在(0)-∞，上单调递增，在(02)
，上单调递减，(2)+∞，上单调递增，因此函数()f x 在0x =时取得极大值，2x =时取到极小值，故ABC 错误，D 正确，故选D ．
4．由两角和差的正弦公式得2cos 2222αααα⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭
，化简得cos 3sin αα-=，则sin 1tan cos 3ααα=-=，故2
2
2
2221
1cos sin 1tan 49cos 21cos sin 1tan 5
19
ααααααα-
--=
===+++，故选D ．
5．设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得，47334772147()7(4)a a a d a d ⨯=-⇒⨯+=+
21-3321211a a ⇒=-⇒=-，故选B ．
6．∵将函数()h x 向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得到函数4
y x
=-
，∴当0x ≤时，3()1x h x x +=-．∴函数30
1()110e x
x
x x f x x +⎧⎪-⎪
=⎨⎛⎫⎪-
-> ⎪⎪⎝⎭
⎩，，， ∴当0x 时，3()1x f x x +=-为单调递增函数，
数学参考答案·第2页（共9页）
且()1f x >-；当0x >时，1()1e x
f x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
为单调递增函数，且()1f x <-．∵
2(2)()f x f x +<，∴222002x x x x +<<+<≤或，∴(21)(2)x ∈--+∞ ，，，故选C ． 7．当2k ≥时，112211322023()()()()k k k k k a a a a a a a a a a ---==-+-++-+-+ ，因为数列{}
n a 为“速增数列”，所以11232212k k k k a a a a a a a a --->>--->-= ，且n a ∈Z ，所以11232211()()()()1321
k k k k a a a a a a a a a k k ----+-++-+-++-++++ ≥，即
(1)20232k k k +∈Z ≥
，，当63k =时，(1)20162k k +=，当64k =时，
(1)
20802
k k +=，故正整数k 的最大值为63，故选B ．
8．0x >
时，即2e ()0x x cx b x ⎛-+ ⎝≥
恒成立，设e ()x
f x x =，2()
g x x cx b =-+，则
2
e (1)
()x x f x x -'=，∴()f x 在(01)，上单减，在(1)+∞，
上单增，且(1)e 0f =<，0
x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞，故()f x 在(0)+∞，上有两个零点，记为1x ，212()x x x <假设，显然1x x <或2x x >时，()0f x >，12x x x <<时，()0f x <，要使
()()0f x g x 恒成立，则1x ，2x 也是()g x 的两个零点，故12c x x =+，12b x x =，
又1212e e x x x x ==，∴1212e x x a x x +=，
∴e c a b =，∴33e c ab c c =，令3e ()c h c c =，则4e (3)
()c c h c c -'=，()h c 在(03)，上单减，在(3)+∞，上单增，∴()h c 的最小值为3
e (3)27
h =，故选A ．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 答案
AD
BCD
BCD
【解析】
9．由于1210(0)(0)(0)x x x ，，，，，
，，它们分别与1210(10)(10)(10)y y y ，，，，，，关于点(25)，对称，则有4(110)i i x y i i +=∈Z ，≤
≤，即有4(110)i i y x i i =-∈Z ，≤≤，则由平均数的性质可
数学参考答案·第3页（共9页）
得1210y y y ，，
，这组数的平均数为4a -，结合中位数性质可知中位数为4b -，结合方差性质可得方差为c ，结合极差性质可得极差为d ，故选AD ．
10．对于A
，||1OA ==== ，故A 错误；
对于B ，22
121221()()110OA OB e e e e e e =+-+=-=-= ，故B 正确；对于C ，(21)BC t =- ，，由BC OA
∥，()(21)BC OA t λλλλ∃∈===-R ，使得，，，故3t =，故C 正确；对于D ，(20)(01)AB AC t =-=-
，，，，(20)(21)BA BC t ==- ，，，，(21)CB t =-- ，， (01)CA t =- ，，由题有()121121221222(1)10
002(2(1))42(1)500(2(1))1320
e t e t AB AC BA BC e e t e t e e t CA CB e t e t e t t ⎧⎧--=->>⎪⎪⎪⎪
>⇒+-=+-=->⎨⎨⎪⎪>-+--=-+>⎪⎪⎩⎩
，
解得(25)t ∈，，故D 正确，故选BCD ．
11．A ：因为π()sin (0)6f x x ωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的图象在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有且仅有两条对称轴，π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，
所以ππππ6626x ωω⎛⎫+
∈+ ⎪⎝⎭
，，所以3πππ5π2262ω<+≤，所以814
33ω<≤，故A 错误；B ：
因为()f x 的图象关于点5π018⎛⎫
⎪⎝⎭对称，则5πππ186k k ω+=∈Z ，，即5318k k ω=-+∈Z ，，
因为81433ω<≤，所以3ω=，当π09x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，πππ3662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，则()f x 在π09⎛⎫
⎪⎝⎭，上单
调递增，故B 正确；C ：当π04x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，ππππ6646x ωω⎡⎤+∈+
⎢⎥⎣⎦
，，因为814
33ω<≤
，所以πππ8π5π464366ω+>⨯+=，所以()f x 在π04⎡⎤
⎢⎣⎦
，上的最小值小于12，故C 正确；D ：因为()f x 的图象关于直线π3
x =
对称，则πππ
π362k k ω+=+∈Z ，，即13k k ω=+∈Z ，，又
81433ω<≤，
所以4ω=，由()0g x =可转化为|()|f x 与2b y =-交点横坐标，而2425π0x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
上有奇数个零点，知1222b -≤，此时共有9个零点，12π
212x x +=、235π224
x x +=
、
数学参考答案·第4页（共9页）
34π23x x +=、4511π224x x +=、5614π224x x +=、6717π224x x +=、785π26x x +=
，8923π
224
x x +=，所以1289325π
2(...)3
x x x x x +++++=
，D 正确，故选BCD . 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．虚轴长221b b =⇒=，所以2222121y x C -=： ，其渐近线是2222021
y x -=，即2y x =±． 13．11S =，21S m =+，231S m m =++，∵2n n b S =+，若{}n b 是等比数列，∴2
2
13b b b =，即22(3)(12)(3)m m m +=+++，即2230m m -=，解得3
2
m =或0m =，由于数列{}n a 为等比数列，0m =不符合，故答案为3
2
m =
． 14．已知
()ln g x x =，所以211()()g x g x x x
'''==-，，故(1)
1(1)1g g '''==-，，所以密切圆半径
3
322
2(1(()))21|1()|
g R g ''==='+，故曲率14K R ==；设C 上任一点(())x g x ，，所以密切圆半径为3
23
3222222
211(1(()))11|()|
1g x x R x g x x x ⎛⎫+ ''⎪+⎛
⎫⎝⎭===+ ⎪⎝
⎭' ，设函数32
221()1h x x
x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ ，
所以3
1
1
2
2
2
2
222212
233111131()111212221h x x x x
x x x x x x x ⎛⎫+-=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
'=++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎪⎝⎭ ⎭
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故当02x ⎛∈ ⎝⎭，
时，
()0h x '<，()h x 单调递减；当2x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，
()0h x '>，
()h x 单调递减增；所以min
()2
h x h ==所以
()ln g x x =密切圆半径最小值为，此时曲率最大为1K R ==
，故答案为：4．
数学参考答案·第5页（共9页）
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由22cos a b c B -=可得2sin sin 2sin cos A B C B -=， 即2sin()sin 2sin cos B C B C B +-=，
即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos 2sin cos sin 0B C B C B C B B C B +-=⇒-=， ∵sin 0B ≠，∴1
cos 2
C =
， ∵(0π)C ∈，，∴π
3
C =
． ……………………………………（6分）
（2）在ABC △中，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，
即223913340a a a a -+=⇒--=，解得4a =或1a =-（舍去），…………………（9分） 又π
6
ACD BCD ∠=∠=
，ABC ADC BDC S S S =+△△△，
所以111113434222222CD CD ⨯⨯⨯
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，
解得7CD =. ……………（13分） 16． （本小题满分15分）
解：（1）∵12(31)n n n a a S +=-，① 当2n ≥时，112(31)n n n a a S --=-，②
由①−②可得：11116()06n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-≠⇒-=，且，
数列{}n a 的奇数项是以1为首项，6为公差的等差数列，2116(1)3(21)2k a k k -=+-=--，
令214n a =⇒=，偶数项是以4为首项，6为公差的等差数列：246(1)322k a k k =+-=- ， ∴*32n a n n =-∈N ，． …………………………………………………………（7分） （2）3111111(2)(2)(32)3(1)31n n n b n a a n n n n n n ⎛⎫
=
=<=- ⎪+---⎝⎭
≥，11b =，
12111111
11141113223133n n T b b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
…………………………………………………………（15分）
数学参考答案·第6页（共9页）
17． （本小题满分15分）
解：（1）点P 到l
的距离d x =P 到点F
的距离PF =
根据题意得
3d PF
=
=，化简得2244x y +=， 所以动点P 的轨迹是椭圆2
214
x E y +=：． …………………………………（5分）
（2）易知(20)A -，，(20)B ，，不妨设()M M M x y ，， 由6AT t k =
，设6
2AT l x y t
=-：， 直线AT 与椭圆相交于A M ，两点，由22621
4
x y t
x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22243624t y y t t +=，解得2
69M t y t =+； 设()N N N x y ，，由2
BT t k =
，设2
2AT l x y t =+：，
直线BT 与椭圆相交于B N ，两点，由2
2221
4
x y t
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222448t y y t t +-=，解得221N t y t -=+； 四边形AMBN 面积12
AMBN
M N S y y AB =⨯⨯-22222116(3)6242(9)(1)91t t
t t t t t t +-=⨯⨯=-++++
2
242
2233161616(3)1694391031043t t t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭====++⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭+， 令3t t λ=+
，则)λ∈+∞
，43λλ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭
，所以16(04AMBN S λλ
=∈+
，， 即四边形AMBN
面积的最大值是． …………………………………………（15分） 18． （本小题满分17分）
解：（1）由中位数为87.5，则(9087.5)(9590)0.04(10095)0.020.5b -+-⨯+-⨯=，解得
数学参考答案·第7页（共9页）
0.08b =；
又频率和为1，则0.04a c +=；
由平均数为87，72.5577.50.182.5587.50.492.50.297.50.187c a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.03a =，0.01c =． …………………………………………………………（7分） （2）利润y 的期望为
cos 1
(10)x a b x x
-++，其中0.11a b +=，0a >； 设10(0.111.1)t a b =+∈，
，2cos 1
0cos 10x tx x tx x
-+>⇔-+>， 设2()cos 1f x x tx =-+，()sin 2f x x tx '=-+，()cos 2f x x t ''=-+，
①当1
2
t ≥时，()0f x ''>，则()f x '单调递增，(0)0f '=，()0f x '>，则()f x 单调递增，
()0f x >；此时生产该产品一定能盈利； ②当12t <
时，由()cos 2f x x t ''=-+单增，(0)12f t ''=-+，故存在π02δ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，当(0)x δ∈，
时，()0f x ''<，则()f x '单调递减，(0)0f '=，()0f x '<，则()f x 单调递减，()0f x <；此时生产该产品不能盈利； 故当
1311300100a <≤时，对任意的π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，生产该产品一定能盈利． …………………………………………………………（17分）
19． （本小题满分17分）
解：（1）222()(1)e 2e (1)(e 2e )(2e )x x f x x x m x m '=--+=--+-， …………………（1分） 令2()(1)(e 2e )x h x x =--，2()e 2e x h x x '=-，()(1)e 0x h x x ''=+>， 则()h x '在(1)+∞，单调增，又(2)0h '=，所以0(12)
()0(2)x h x x <<<⎧'=⎨
>>⎩
， 即()h x 在(12)，单调减，在(2)+∞，单调增． ………………………………（4分）
又(1)0h =，2(2)e h =-，(2ln 2)0h +=，所以22e 2e 0m -<-<，故22(2e 3e )m ∈，
． ………………………………………………………………（6分）
（2）不妨设12x x <，由（1）知：12122ln 2x x <<<<+．
数学参考答案·第8页（共9页）
①先证124x x +<，只需214x x <-，由()h x 在(2)+∞，单调增，只需证21()(4)h x h x <-， 因为21()()h x h x =，所以只需证111()()(4)0H x h x h x =--<．
……………………………………………………………（8分）
则42()()(4)e (4)e 4e x x H x h x h x x x -'''=+-=+--，4()(1)e (5)e x x H x x x -''=++-，
4()(2)e (6)e 0x x H x x x -'''=++->，则()H x ''在(12)，单调增，所以()(2)0H x H ''''<=， 则()H x '在(12)，单调减，所以()(2)0H x H ''>=，故()H x 在(12)，单调增，
于是1()(2)(2)(2)0H x H h h <=-=，即证．……………………………………………（11分） ②再证123ln 2x x +>+，若11ln 2x +≥，由22x >，即证； 若111ln 2x <<+，13ln 22x +->，只需证213ln 2x x >+-， 由()h x 在(2)+∞，单调增，只需证21()(3ln 2)h x h x >+-，
由21()()h x h x =，所以只需证111()()(3ln 2)0F x h x h x =-+->． …………………（13分） 则32()e 2(3ln 2)e 4e x x F x x x -'=++--，3()(1)e 2(4ln 2)e x x F x x x -''=++--， 由3()(2)e 2(5ln 2)e 0x x F x x x -'''=+++->，知()F x ''在(12)，单调增， 又2(1)2e 2e (3ln 2)0F ''=-+<，2(2)3e 2e(2ln 2)e(3e 6)0F ''=-+>->， 则存在唯一(12)s ∈，使得()0F s ''=，则()F x '在(1)s ，单调减，(2)s ，单调增， 又2(1)e 2ln 2e 0F '=+> ，()(2)2e(1ln 2e)0F s F ''<=+-<， 所以存在唯一(1)r s ∈，，使得()0F r '=，即0(1)
()0(2)x r F x r x ><<⎧'=⎨
<<<⎩， 故()F x 在(1)r ，单调增，在(2)r ，单调减，
所以1()min{(1)(2)}F x F F >，，由(1)(1)(2ln 2)0F h h =-+=，即证．
………………………………………………………………（17分）
②的法二：令2()ln 2e 2ln 2x g x x -=-+- ，则2()ln 2e 1x g x -'=- ， 则()g x 在()12ln(ln 2)-，单调减，()2ln(ln 2)2ln 2-+，增，于是：
当12x <<时，()(2)0g x g >=；当22ln 2x <<+时，()max{(2)(2ln 2)}0g x g g <+=，．
数学参考答案·第9页（共9页）
所以0(12)()0(22ln 2)x g x x ><<⎧=⎨<<<+⎩，即2
22
e (2ln 2)(12)ln 2e 2e e (2ln 2)(22ln 2)ln 2
x
x x x x ⎧>--<<⎪⎪-=⎨⎪<--<<+⎪⎩， 记2
e ()(1)(2ln 2)ln 2G x x x =---，则有()(12)()()(22ln 2)G x x h x G x x ><<⎧=⎨
<<<+⎩， 记方程2()2e G x m =-的两根为34x x ，，则343ln 2x x +=+； 由上述不等式知1324x x x x >>，，所以有12343ln 2x x x x +>+=+．
②的法三：由12()()h x h x =得21
22121(1)e (1)e 2e x x x x x x ---=-，令112211t x t x =-=-，，
则12011ln 2t t <<<<+，即21
2121
e e 2e t t t t t t -=-．
于是123ln 2x x +>+⇔121ln 2
t t +>+⇔21122121
e e e 2e t t t t t t t t +->=-⇔122121e e t t t t t t --->- ⇔1212121111e e t t t t t t ->-⇔21
21
211e 1e e e t t t t t t -->，故只需证1e ()e x x Q x x -=在(01ln 2)+，单调增．
因为2e 1
()0e x x
x Q x x --'=>，所以()Q x 在(01ln 2)+，
单调增，即证． 注：由于函数结构的特殊性，本题无法使用“切割线夹”或是“差值代换”来解决，于是目前只有以上三种方法．。