九年级数学上册阶段方法技巧训练专训可化为一元二次方程的分式方程的应用
中考数学专题复习 一元二次方程与分式方程的应用
一元二次方程与分式方程的应用教学目标：1一元二次方程和解的概念．2．考“方程思想”，根据具体问题中的数量关系和变化规律，列出一元二次方程，解决实际问题，养成用“方程思想”解决问题的习惯．【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项。
提醒：①在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件②将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =，则2x = ， 1x = ，2x = 。
2、配方法：解法步骤：①化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数；②移项：把 项移到方程的 边；③配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
3、公式法：如果方程()200ax bx c a ++=≠满足240b ac -≥，则方程的求根公式为 4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B =g 的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法三、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根③当 时，方程没有实数根提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数四、一元二次方程根与系数的关系：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个根分别为12x x 、则12x x += ，12x x = 。
方程有两个实数跟，则五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型：① 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数21a x b +=（）② 利润问题：总利润= × 或总利润= —③ 几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件【考点精练】考点1：一元二次方程概念及一元二次方程的解例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+xx C 02=++c bx axD 1222+=+x x x 例2：若方程2)1(432-=+++m m x m 是一元二次方程，则m 的值是（ ）A. －2或－1B.－1C.－2D.3变式练习1.下列方程是一元二次方程的是( ) A.ax 2+bx+c=0 B.3x 2-2x=3(x 2-2) C.x 3-2x-4=0 D.(x-1)2+1=02．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
人教版数学九年级上学期课时练习-可化为一元二次方程的分式方程专题(人教版)
专题21.28 可化为一元二次方程的分式方程专题（专项练习）一、解答题1．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1）231x =+ （2）131x x =-（3）22x x+（4）2211x x x =--2．解方程：2311x x x =+-．3．解方程： （1）241142x x =--- （2）11222x x x-+=--4．解方程： (1)3222xx x=---； (2)4x 2－8x +1＝0．5．解方程（1）21133x xx x =-++ （2）2227361x x x x x x +=+--6．解方程： (1)2430x x --= (2)213111x x x +-=--．7．解方程：(1)x 2+6x ＝﹣1（配方法） (2)263111x x -=--8．解方程：（1）2420x x --=； （2）53212x x =+-．9．解方程：(1)解方程：x 2－6x ＋9＝（2x －1）2(2)化简：2122(1)x x x --÷．10．解方程（组）：(1)28124x x x -=--(2)11232(3)3(2)x xx x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩11．解方程：(1)()()2240x x +-+=；(2)214123x x+=+．12．（1）计算：101|1()(2021)2π--+---（2）解不等式组：3(2)41213x x x x --≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩；（3）解方程：322112x x x=---； （4）解方程：x 2﹣4x +4＝3x ﹣6．13．解分式方程：224124xx x -=-+-14．解方程：2412x x x x--=-．15．解分式方程：252112x x x +-＝3．16．解方程214124x x +=-+-．17．解方程： (1)2x －6x －4＝0 (2)x －12x -＝+23x +118．解方程： (1)13012x x+=++(2)22440x x +-=19．解方程： (1)2340x x +-=(2)2269(52)x x x -+=-(3)(1)(3)12x x -+= (4)221111x x +=--20．解分式方程21211x x x -=++21．解方程(组)：(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩(2)213111x x x --=+-；(3)x (x －7)＝8(7－x ).22．解方程： (1)2230x x --=； (2)21124x x x -=--．23．解方程：22321=011x x x x x --+--.24．解方程：1y =25．解方程：2231224x xx --=--．26．解方程(1)21111x x x +=-- (2)x 2＋4x －1＝027．解方程： （1）225x x +=； （2）14733x x x-+=--．28．解方程： （1）24142x xx x +=-+ （2）22530x x +-=（3）2(2)36x x +=+29．解方程：（1）（x ﹣1）（x +3）＝2x +4； （2）2311x x x x-+--＝0．30．解方程： （1）31144x x x-+=--； （2）x 2﹣4x +2＝0；（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）．31．解方程：（1）2(5)360x --=； （2）230x x +-=．（3）214111x x x +-=---．32．（1）化简：a b a b b a +-- （2）解方程：261393x x x x -=+--33．计算题（1）分解因式：x 3﹣2x 2y +xy 2；（2）解不等式组：()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜；（3）解方程：2411x x x =+--1； （4）解方程：x （2x +1）＝8x ﹣3．参考答案1．（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．解：（1）231x =+是分式方程，去分母可转化为3x +3=2，不是一元二次方程，（2）131x x =-是分式方程，去分母可转化为3x =x -1，不是一元二次方程， （3）22x x+是分式，不是分式方程，（4）2211x x x =--是分式方程，去分母可转化为x 2+x =2，是可化为一元二次方程的分式方程，∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点拨】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．2．x 1=-12，x 2=3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：2x (x -1)=3(x +1)，整理得：2x 2-5x -3=0，即(2x +1)(x -3)=0， 解得：x 1=-12，x 2=3，检验：把x 1=-12，x 2=3代入得：（x +1）（x -1）≠0，∴x 1=-12，x 2=3都是方程的解．【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．（1）1x =-；（2）无解 【分析】先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 解：（1）去分母，得()()()4222x x x =+-+-，整理，得220x x --=， 解得11x =-，22x =，经检验，11x =-是原方程的根，22x =是增根，故原方程的根为1x =-．（2）去分母，得()1221x x +-=-， 去括号，得1241x x +-=-， 移项，合并同类项，得2x =， 检验：把2x =代入20x -=， 所以此方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，解题关键是熟练运用分式方程的解法进行求解，注意：分式方程要检验．4．(1)73x =(2)x x ==【分析】（1）去分母，合并同类项，即可解出； （2）先配方，再求解(1)解：去分母得，32(2)()x x =---去括号得，334x =- 73x =(2)解：原方程变为，()22810x x -+=()222284410x x -+-+=()22415x -=x =x =x =【点拨】本题考查分式方程和一元二次方程的解法，掌握去分母、配方是本题关键． 5．（1）34x =；（2）37x = 【分析】（1）把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．（2）两边同乘以最简公分母(1)(1)x x x +-，即可把分式方程转化为整式方程，即可求解，再验根即可．解：（1）21133x xx x =-++，()()312131x xx x x +-=++ ， ()()()3163131x x xx x +-=++ ，两边同时乘以()31x +得： 633x x x =+- ， 43x = ， 34x =， 经检验34x =是原方程的根． （2）2227361x x x x x x +=+--， ()()()()73611+11x x x x x x x +=+-- ，两边同乘以(1)(1)x x x -+得：()()()()()()()()71316111111x x x xx x x x x x x x x -++=+-+-+- ，7(1)3(1)6x x x x -++=， 277336x x x x -++= ， 271030x x -+= ，()()1730x x --= ，10x -=或730x -=，解得：1231,7x x ==， ∴220,10x x x -≠-≠ ， ∴1x ≠ ， ∴37x =， 经检验37x =是原方程的根． 【点拨】本题考查求解分式方程，一元二次方程．把分式方程转化为整式方程是解题关键，且需要注意验根．6．(1)1x =22x =x ＝12【分析】（1）首先把常数项夫－3移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数－4的一半的平方，配方完成后，开方求解即可求得答案；（2）首先去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求得答案，再检验即可．(1)解：2430x x --=243x x -=24434x x -+=+2(2)7x -=∴2x -=∴1x =22x =(2)解：213111x x x +-=-- 方程两边同乘以（x +1）（x ﹣1）得：（x +1）2﹣3＝（x +1）（x ﹣1），整理得：x 2+2x +1﹣3＝x 2﹣1，解得：x ＝12 ，检验，当x ＝12时，（x +1）（x ﹣1）＝（12+1）（12﹣1）≠0，∴x ＝12是原方程的解． 【点拨】此题考查了配方法解一元二次方程与分式方程的求解方法．解题的关键是注意配方法的步骤与分式方程需检验．7．(1)x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣(2)x ＝﹣4【分析】（1）利用配方法求出解即可；（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．(1)解：配方得：x 2+6x +9＝8，即（x +3）2＝8，开方得：x +3＝，所以x 1＝﹣，x 2＝﹣3﹣； (2)263111x x -=-- 解：方程两边都乘（x +1）（x -1），得6-（x +1）（x -1）=3（x +1），解得：x =-4或x =1，检验：当x =1时，（x +1）（x -1）=0，所以x =1是原方程的增根，当x =-4时，（x +1）（x -1）≠0，所以x =-4是原方程的解，即原方程的解是x =-4．【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．8．（1）12x =，22x =；（2）13x =-【分析】（1）按配方法解一元二次方程即可；（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对结果进行检验．解：（1）2420x x --=，24424x x -+=+，2(26)x -=，2x -=∴12x =，22x =；（2）解：53212x x =+-， 去分母，得 ()()52321x x -=+，去括号，得 51063x x -=+，移项、合并同类项并系数化为1，得 13x =-，经检验，13x =-是该方程的解．【点拨】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键．9．(1)143x =，22x =-(2)2x 【分析】 （1）先对方程进行变形，用因式分解法解方程即可；（2）先根据异分母分式相加减对括号中的分式进行运算，然后用分式除法法则进行运算即可．(1)x 2－6x ＋9＝（2x －1）2解：方程可变为：()()22321x x -=-，移项得：()()223210x x ---=，因式分解得：()()3420x x ---=，∴340x -=或20x --=， 解得：143x =，22x =-． (2)2122(1)x x x --÷ ()2211x x x x x -⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ ()2121x x x x -=⋅- 2x =． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和分式混合运算，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．10．(1)1x =-(2)30x -<<【分析】（1）方程两边同时乘以()()22x x +-，然后解整式方程即可，（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：(1)28124x x x -=-- 2248x x +-+=220x x -+=()()210x x -+=解得122,1x x ==-经检验，1x =-是原方程的根，2x =是原方程的增根∴方程的解为1x =- (2)11232(3)3(2)x x x x -⎧->-⎪⎨⎪->-⎩①②解不等式∴得：3x >-解不等式∴得：0x <∴不等式的解集为：30x -<<【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．11．(1)10x =，23x =-(2)113x =-，23x = 【分析】（ 1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （ 2）整理后求出24b ac -的值，再代入公式求出答案即可．解：(1)()()2240x x +-+=，24440x x x ++--=，230x x +=，(3)0x x +=， 0x =或30x +=，解得：10x =，23x =-； (2)214123x x +=+， 23386x x +=+，23830x x --=，这里3a =，8b =-，3c =-，()()22484331000b ac -=--⨯⨯-=>，x ∴==解得：113x =-，23x =． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．12．（1）4- ；（2）1x ≤；（3）13x =- ；（4）122,5x x == 【分析】（1）先根据绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂化简，再合并，即可求解；（2）先分别求出两个不等式，即可求解；（3）先去分母化为整式方程，解出整式方程，然后检验，即可求解；（4）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法解答，即可求解．解：（1）101|1()(2021)2π--+---121=----4=- ；（2）3(2)41213①②--≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩x x x x 解不等式∴，得：1x ≤ ，解不等式∴，得：4x < ，所以不等式组的解集为1x ≤；（3）322112x x x=--- 两边同时乘以21x - ，得：()2213x x =-+ ， 解得：13x =- ， 检验：当13x =-时，152121033x ⎛⎫-=⨯--=-≠ ⎪⎝⎭ ， 所以原方程的解为13x =-； （4）x 2﹣4x +4＝3x ﹣6整理得：27100x x -+= ，所以()()250x x --= ，解得：122,5x x == ．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式方程，一元一次不等式组，二次根式混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．13．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可． 解：224124x x x -=-+-， 两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点拨】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．14．x ＝4或x ＝1．【分析】设y ＝2x x -，方程变形为：y ﹣2y ＝1，将分式方程转化为整式方程，再解方程，注意结果要进行检验． 解：2412x x x x--=-， 整理，可得()2212x x x x --=- 设y ＝2x x -， 方程变形为：y ﹣2y＝1， 去分母得：y 2﹣y ﹣2＝0，即（y ﹣2）（y +1）＝0，解得：y ＝2或y ＝﹣1， ∴2x x -＝2或2x x -=-1， 解得：x ＝4或x ＝1，经检验x ＝4或x ＝1都为分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝4或x ＝1．【点拨】本题考查解分式方程，因式分解法解一元二次方程，应用换元法解方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键，特别注意：分式方程结果要进行检验．15．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18， 检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0． 即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18． 【点拨】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 16．1x =【分析】根据解分式方程的步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，因式分解法解一元二次方程，再检验即可． 解：214124x x +=-+-， 去分母，得x -2+4=-x 2+4，移项，合并同类项，得x 2+x -2=0，即(x +2)(x -1)=0，则x 1=-2，x 2=1．经检验，2x =-是原分式方程的增根，1x =是分式方程的解，所以1x =．【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．注意：解分式方程时要检验．17．(1)13x =23x =x =7【分析】（1）用一元二次方程的求根公式求解即可；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1，即可求得方程的解． 解：(1)∴2(6)41(4)52∆=--⨯⨯-=∴3x =即13x =23x =解：(2)去分母得：63(1)2(2)6x x x --=++去括号得：633246x x x -+=++移项得：632463x x x --=+-合并同类项得：x =7【点拨】本题考查了解一元一次方程及解二元一次方程，解二元一次方程时，要根据方程的特点灵活选取解方程的方法．18．(1)54x =-(2)11x ，21x = 【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意结果要进行检验；（2）原方程化简后，使用配方法解一元二次方程．解：(1)13012x x+=++ 方程两边都乘以()()12x x ++，得()2310x x +++= 解得54x =-．检验：当54x =-时，()()120x x ++≠ 所以54x =-是原分式方程的解 解：(2)22440x x +-=整理，可得：2220x x +-=222x x +=x 2+2x +1=2+1，()213x +=1x +=11x =，21x =【点拨】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程的步骤，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．19．(1)1241x x =-=，(2)12823x x ==，(3)1253x x =-=，(4)12x x ==【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）方程左边利用完全平方公式变形，再直接开平方即得出两个一元一次方程，求解即可；（3）方程整理，再利用因式分解法解方程即可；（4）将分式方程改为整式方程，再根据公式法求一元二次方程的解，最后检验即可．(1)解：2340x x +-=(4)(1)0x x +-=∴1241x x =-=，；(2)解：2269(52)x x x -+=-整理，得：22(3)(52)x x -=-∴352x x -=-或3(52)x x -=-- ∴12823x x ==，； (3)解：(1)(3)12x x -+=整理，得：22150x x +-=(5)(3)0x x +-=∴1253x x =-=，；(4)解：221111x x +=-- 方程两边同时乘21x -，得：22(1)1x x ++=-，整理，得：240x x --=∴12x x ==经检验12x x =是原分式方程的根，∴原方程的解为12x x ==． 【点拨】本题考查解一元二次方程和解分式方程，掌握解一元二次方程和解分式方程的步骤和方法是解题关键．20．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可． 解：21211x x x -=++ 化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1≠0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点拨】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．21．(1)11x y =-⎧⎨=⎩(2)x ＝－12(3)x 1＝7，x 2＝－8 【分析】（1）根据代入消元法，可得方程组的解；（2）根据等式的性质，化为整式方程，根据解整式方程，可得答案；（3）先移项，再提公因式，再求解即可．(1)3423x y x y -=-⎧⎨-=-⎩①②解：由∴，得y ＝3x ＋4∴将∴代入∴，得x －2(3x ＋4)＝－3，解得x ＝－1，将x ＝－1代入∴，解得y ＝1.所以原方程组的解为11x y =-⎧⎨=⎩； (2)213111x x x --=+-； 解：方程两边都乘(x ＋1)(x －1)，得(x －1)2－3＝(x ＋1)(x －1)，解得x ＝－12.经检验，x ＝－12是原方程的解．(3)x (x －7)＝8(7－x ).解：原方程可变形为x (x －7)＋8(x －7)＝0，(x －7)(x ＋8)＝0.x －7＝0，或x ＋8＝0.∴x 1＝7，x 2＝－8.【点拨】本题考查了解二元一次方程组、分式方程及一元二次方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验分时方程的根．22．(1)11x =-；23x =(2)32x =- 【分析】(1)利用因式分解法求方程的根．(2)化成整式方程，计算，注意验根．解：(1)2230x x --=，因式分解，得(3)(1)0x x -+=，解得11x =-；23x =，故方程的两个根为11x =-；23x =．解：(2)21124x x x -=--， 去分母，得2(2)14x x x +-=-， 解得32x =-， 经检验，32x =-是原方程的根． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是解题的关键．23．x =13- 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x -1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：因式分解得：()()()321=0111x x x x x x --++-- 方程的两边同乘（x +1）（x -1），得：()()()32110x x x x -+-+=整理得23210x x --=，因式分解得：(1)(31)0x x -+= 解得1211,3x x ==-．检验：把x =1代入（x +1）（x -1）=0，x =1是增根，把x =13-代入（x +1）（x -1）≠0． ∴原方程的解为：x =13-． 【点拨】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．24．y =2【分析】利用平方法整理方程，进而再根据因式分解法求一元二次方程的解．解：1y =1y =-两边进行平方，得23(1)y y -=-2321y y y -=-+220y y --=∴（y -2）（y +1）=0解得y 1=2，y 2=-1又3-y ≥0，y -1≥0∴1≤y≤3∴ y =2综上可知∴ y =2【点拨】本题考查了平方法解方程，利用因式分解法求一元二次方程的解，二次根式有意义的条件．25．3x =-【分析】由去分母、去括号、移项合并，求出分式方程的解，然后进行检验，即可得到答案． 解：2231224x xx --=--， 去分母，得：223(2)2(4)x x x -++=-，去括号，得：223228x x x -++=-，移项合并，得：260x x +-=，整理得：(3)(2)0x x +-=，解得：13x =-，22x =； 检验：当22x =时，240x -=，则22x =是增根；当13x =-时，240x -≠；∴原分式方程的解为3x =-．【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确地进行解题，注意解分式方程需要检验．26．(1)2x =-(2)12x =-22x =-【分析】（1）确定方程最简公分母后，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）利用配方法求解即可．(1)解：（1）方程两边同乘(1)(1)x x +-得：2(1)11x x x ++=-，整理得：2x =-，经检验2x =-是原方程的根；(2)解：2410x x -=+，241x x +=，24414x x ++=+，即2(2)5x +=，2x ∴+=12x ∴=-22x =-【点拨】本题主要考查解分式方程、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程和分式方程的方法是解题的关键．27．（1）11x =-21x =-2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--，解得3x =，检验：当3x =时，30x -=，∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．【点拨】本题考查用配方法解一元二次方程，分式方程的解法，掌握用配方法解一元二次方程，分式方程的解法与步骤是解题关键．28．（1）原方程无解；（2）112x =，23x =-；（3）12x =-，21x =． 【分析】（1） 方程两边都乘以公分母得()2424x x x x +-=-，解方程得2x =-检验分母为零即可；（2）因式分解得()()2310x x +-=分别解每一个一元一次方程即可；（3）先因式分解()()210x x +-=在分别解每一个一元一次方程即可．解：（1）24142x x x x +=-+ ， 方程两边都乘以()()22x x +-得()2424x x x x +-=-，整理得24x =-，解得2x =-，当2x =-时，()()()()2222220x x +-=-+--=，∴2x =-时原方程的增根，∴原方程无解；（2）22530x x +-=，因式分解得()()2130x x -+=，当210x -=，解得112x =， 当30x +=，解得23x =-；∴方程的解为112x =，23x =-； （3）2(2)36x x +=+，()2(2)320x x -++=，()()2230x x ++-=，()()210x x +-=，当20x +=，解得12x =-，当10x -=，解得21x =．∴方程的解为12x =-，21x =．【点拨】本题考查可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法，掌握可化为一元一次方程的分式方程与一元二次方程的解法与步骤是解题关键．29．（1）x 1x 2；（2）原分式方程无解【分析】（1）先将方程整理成一般式，再利用直接开平方法求解即可；（2）两边都乘以x （x ﹣1），将分式方程化为整式方程，再进一步求解即可． 解：（1）整理，得：x 2﹣7＝0，∴x 2＝7，则x ＝，即x 1x 2（2）两边都乘以x （x ﹣1），得：2x 2﹣4x +3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，∴方程无解，故原分式方程无解．【点拨】此题考查计算能力：解一元二次方程，解分式方程，正确掌握各自的特点及解法是解题的关键．30．（1）3x =；（2）1222x x ==3）121,2x x ==-【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据配方法解一元二次方程；（3）根据因式分解法解一元二次方程．解：（1）31144x x x-+=-- 两边同乘以最简公分母(4)x -，得：314x x --=-解得：3x =当3x =时，43410x -=-=-≠所以3x =是原方程的解；（2）x 2﹣4x +2＝02442x x -+=2(2)2x -=2x -=解得1222x x =+=（3）x （x ﹣1）＝2（1﹣x ）(1)(2)0x x -+=解得121,2x x ==-．【点拨】本题考查了解分式方程，配方法和因式分解法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．31．（1）1211,1x x ==-;（2）12x x ==；（3）2x =- 【分析】（1）根据直接开平方法解方程；（2）利用配方法解方程；（3）根据分式方程的步骤化简为整式方程，再解一元二次方程．解：（1）2(5)360x --=2(5)36x -=56x -=±解得1211,1x x ==-（2）230x x +-=211344x x ++=+ 2113()24x +=12x +=解得：12x x == （3）214111x x x +-=--- 去分母得：22(1)41x x +-=-220x x +-=21944x x ++= 219()24x += 1322x +=± 解得：121,2x x ==-当1x =时，210x -=当2x =-时，2130x -=≠∴原方程的根为2x =-【点拨】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．32．（1）1；（2）x =1【分析】（1）直接利用分式的性质化简即可得到答案；（2）先利用平方差公式去分母，然后利用因式分解的方法解方程即可.解：（1）a b a b b a +-- a b a b a b =--- a b a b-=- 1=；（2）∴261393x x x x -=+--， ∴()()336133x x x x x +=+-+-， ∴()363x x x -+=+，∴2430x x -+=，∴()()130x x --=，解得1x =或3x =，经检验3x =是方程的增根，故3x =不符合题意；经检验1x =是方程的根，∴1x =.【点拨】本题主要考查了解一元二次方程和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.33．（1）x （x ﹣y ）2；（2）﹣1≤x ＜2；（3）x ＝3；（4）x 112=，x 2＝3． 【分析】（1）先提公因式x ，再利用完全平方公式分解即可；（2）根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．（3）根据解分式方程的步骤依次计算可得．（4）先将方程整理成一般形式，再运用因式分解法转化为两个一元一次方程求解． 解：（1）原式＝x （x 2﹣2xy +y 2）＝x （x ﹣y ）2； （2）()214137136x x x x ⎧++⎪⎨---≤⎪⎩＜①② 解不等式①得：x ＜2，解不等式②得：x ≥﹣1，∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜2，（3）两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得：x （x +1）＝4+（x +1）（x ﹣1）， 解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解．（4）将方程整理，得2x 2-7x +3＝0，将方程左边因式分解，得（2x -1）（x ﹣3）＝0，所以2x -1＝0或x ﹣3＝0，所以x 112=，x 2＝3． 【点拨】本题主要考查解分式方程、解不等式组、一元二次方程及因式分解，熟练掌握解运算法则是解题的关键．。
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--巩固练习
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--巩固练习一、一元二次方程的解法及应用1.解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程可以通过以下步骤进行：- 求解判别式D = b^2 - 4ac的值，判别式D的值决定了方程的根的情况。
-当D>0时，方程有两个不相等的实数根。
-当D=0时，方程有两个相等的实数根。
-当D<0时，方程没有实数根。
-根据判别式D的值分情况讨论：-当D>0时，设方程的两个根为x1和x2，则有：x1=(-b+√D)/(2a)，x2=(-b-√D)/(2a)。
-当D=0时，有一个重根，设方程的根为x，则有：x=-b/(2a)。
-当D<0时，方程没有实数根。
2.应用一元二次方程的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等领域。
-物理：一元二次方程可以用于描述自由落体运动的高度、抛物线的轨迹等问题。
-工程：在建筑、土木等工程领域中，一元二次方程可以用于解决各种问题，如建筑物的最大高度、桥梁的弯曲等等。
-经济：在经济学中，一元二次方程可以用于解决收入、支出以及市场需求等问题。
二、分式方程的解法及应用1.解法分式方程是指含有分式表达式的方程。
解分式方程可以通过以下步骤进行：-化简分式方程，将其转化为简单的方程。
-求解方程，得到未知数的值。
-检验所得解是否满足原方程，若满足则为方程的解，否则无解。
2.应用分式方程的应用也非常广泛，主要用于解决涉及到分数的问题，如比例、扇形的面积等。
-比例：分式方程可以用于解决比例的问题，如已知两个量的比例关系，可以通过设未知数，列方程，求解来计算其中一个未知数的值。
-扇形的面积：分式方程可以用于求解扇形的面积。
通过设未知数，列方程，求解来计算扇形的半径、弧长等。
三、巩固练习以下是一些巩固练习题，以帮助你巩固一元二次方程和分式方程的解法及应用。
1.求解一元二次方程-2x^2+3x-2=0-x^2-5x+6=02.求解分式方程-(x+1)/(x-2)=1/3-(2x-3)/(x+4)-1/2=1/(x+4)3.应用题-一个矩形的长是宽的3倍，如果矩形的周长是32，求矩形的长和宽。
2021年九年级中考数学第二轮复习专题 一元二次方程和分式方程的解法及其应用
2021年九年级中考数学第二轮复习专题：【一元二次方程和分式方程的解法及其应用】 解答题1. 如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？2. 在“情系海啸”捐款活动中,某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计,得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.3. 当x 满足条件时，求出一元二次方程x 2-2x-4=0的根.4. 如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780. (1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．5. 某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600 m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化;(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天?6. 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？7. 某工程队修建一条长1200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？8. 某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，售价每台也上调了200元．(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？9. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？10. 已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数.（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围.11. 已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．12. A 、B 两种型号的机器加工同一种零件，已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件，A 型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同，求A 型机器每小时加工零件的个数．13. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子．根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．14. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2019年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2019年到2021年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？15. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.16. 关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值.17. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(参考数据：0.9≈0.95)(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．18. 甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？19. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？20. 根据要求，解答下列问题.(1)解下列方程(直接写出方程的解即可):①方程x 2-2x+1=0的解为 ;②方程x 2-3x+2=0的解为 ;③方程x 2-4x+3=0的解为 ;…(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想:①方程x 2-9x+8=0的解为 ;②关于x 的方程 的解为x 1=1，x 2=n.(3)请用配方法解方程x 2-9x+8=0，以验证猜想结论的正确性.21. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．22. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设k t βα+=，求t 的最小值．题乙：如图（16），在矩形ABCD 中，P 是BC 边上一点，连结DP 并延长，交AB 的延长线于点Q ．（1）若31=PC BP ，求AQ AB 的值； （2）若点P 为BC 边上的任意一点，求证1==BQAB BP BC ．我选做的是_______题．23. 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．24. 莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．25. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？。
初三数学教案-可化为一元二次方程的分式方程 精品
第17课可化为一元二次方程的分式方程教学目的1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．2．使学生了解解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法．3．结合教学对学生进行化归转化思想的培养．教学重点将分式方程转化为一元二次方程．教学难点分式方程验根的必要性的认识．教学过程一、复习1．我们学过分式方程，同学们还记得怎样解分式方程吗？2．请同学们解下列方程：3．请同学们结合上面两个题，回答下列问题：(1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法与步骤是什么？(2)在解分式方程过程中，容易犯的错误是什么？应当怎样避免？(3)解分式方程为什么必须验根，应当怎样验根？指出：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程，解分式方程的一般步骤是：(1)把方程中各分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母．(2)用最简公分母去乘方程两边，约去分母，使分式方程化为整式方程．(3)解这个整式方程，得到此整式方程的根．(4)检验．解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．根据方程同解原理：方程两边都乘以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解．而我们在解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母，它是一个整式，当此整式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必须验根．验根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去，否则是原方程的根．二、新课讲解例1讲解例2三、练习 P49 1、2四、小结1．分式方程的定义．2．分式方程的一般解法及解方程步骤．3．用换元法解分式方程时，方程具备的特点，验根的方法．五、作业习题12.7 A组1、2、3、4。
初中数学最新-可化为一元二次方程的分式方程的应用 精品
第18课可化为一元二次方程的分式方程的应用
教学目的
1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．
2．会列出可化为一元二次方程的分式方程，解应用题．
3．在教学中培养学生分析问题与解决问题的能力．
教学重点:列方程．
教学过程
一、复习
1．什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法过程中应分别注意什么？
二、新课
今天我们学习利用分式方程解应用题．
例1 甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走几千米？
讲解例1
例2 某农场开挖一条长960m的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少？
讲解例2
三、练习
1．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米；快车到达乙站此慢车早25分，快车和慢车每小时各走几千米？
2．某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧少吨？
3．甲、乙两队学生绿化校园．如果两队合作，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需多少天完成？
四、小结
1．列方程解应用题的一般步骤．
2．列分式方程解应用题验根的两个目的．
五、作业习题12.7A组4、5。
中学数学 一元二次方程、分式方程的解法及应用(含答案)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ．abB ．abC ．a b +D ．a b - 2．（2015•泰安模拟）方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( ). A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13-4．如果关于x 的方程2313x mx m -=--有增根，则的值等于（）A.B.C.D. 35．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米6．关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题7．（2015•平房区二模）方程﹣1=的解为8．关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．9．已知x 1=－1是方程的一个根，则m 的值为 ；方程的另一根x 2= . 10．某市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72x 2(6)860a x x --+=a 052=-+mx x元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为_____ ___． 11．若关于ｘ的方程11-+x ax －１＝０有增根，则ａ的值为 . 12．当 k 的值是 时，方程1-x x =xx x k --22 只有一个实数根.三、解答题 13．（2015•宝应县校级模拟）解下列分式方程： （1）；（2）．14. 若关于x 的方程 12-x k － xx x -2 ＝x kx 1+ 只有一个解，试求ｋ值与方程的解．15．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2010年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以 后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元． （1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2010年到2012年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？16. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、． （1）求实数k 的取值范围； （2）设kt βα+=，求t 的最小值．图（16）PQD CBA题乙：如图（16），在矩形ABCD 中，P 是BC 边上一点，连结DP 并延长，交AB 的延长线于点Q ． （1）若31=PC BP ，求AQ AB的值；（2）若点P 为BC 边上的任意一点，求证1==BQABBP BC ． 我选做的是_______题．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】将－a 代入20x bx a ++=中，则a 2－ab+a=0，则a －b+1=0∴a－b=－1（恒为常数）.2.【答案】C ；【解析】∵方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根， ∴（a+1）x+a+1=0， 解得x=﹣1， 当x=﹣1时， a=2，故选C ． 3.【答案】B ； 【解析】121212113=31x x x x x x ++==--. 4.【答案】B ；【解析】把方程两边都乘以若方程有增根，则x=3,即5+m=3,m=-2. 5.【答案】A ；【解析】如图将路平移，设路宽为x 米，可列方程为：（30－x ）（20－x ）=551，解得：x=1或者x=49（舍去）.6.【答案】C ；【解析】由题意得方程有实数根，则分两种情况，当a －6=0时，a=6,此时x=34，当a －6≠0时，△=b 2－4ac≥0，解得a≤263， 综合两种情况得整数的最大值是8.二、填空题 7．【答案】x=；【解析】方程的两边同乘2（3x ﹣1），得4﹣2（3x ﹣1）=3，解得x=． 检验：把x=代入2（3x ﹣1）=1≠0． ∴原方程的解为：x=． 8．【答案】2m ≠且1m ≠； 【解析】 △＞0且m-1≠0. 9．【答案】m=－4；x 2=5；【解析】由题意得： 解得m=－4当m=－4时，方程为 解得：x 1=－1 x 2=5 所以方程的另一根x 2=5.10．【答案】272(1)56x -=；【解析】平均降低率公式为(1)na xb -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.) 11．【答案】－１；【解析】原方程可化为：（ａ－１）ｘ＝－２． ∵分式方程有增根, ∴ ｘ=1 把ｘ=1代入整式方程有ａ＝－１. 12．【答案】 －１，０，３；【解析】原方程可化为：ｘ２＋２ｘ－ｋ＝０当⊿=２２＋４ｋ＝０，即ｋ＝－１时，ｘ１＝ｘ２＝－１当⊿=２２＋４ｋ＞０，即ｋ＞－１时，方程有两个不等实数根．由题意可知： ① 当增根ｘ＝0时，代入二次方程有k ＝０，方程唯一解为ｘ＝－２；② 当增根ｘ＝１时，代入二次方程有k ＝３，方程唯一解为ｘ＝－３. 所以ｋ＝－１，０，３.三、解答题13.【答案与解析】 解：（1）方程的两边同乘（x+1）（x ﹣1），得 a 05)1()1(2=-⨯-+-m 0542=--x x2﹣（x+1）=（x+1）（x ﹣1）， 解得x=﹣2或1．检验：把x=1代入（x+1）（x ﹣1）=0． x=1是原方程的增根， 把x=﹣2代入（x+1）（x ﹣1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=﹣2．（2）方程的两边同乘x 2，得2（x+1）2+x （x+1）﹣6x 2=0， 解得x=﹣或2．检验：把x=﹣代入x 2=≠0． 把x=2代入x 2=4≠0．∴原方程的解为：x 1=﹣，x 2=2．14.【答案与解析】原方程可化为：ｋｘ２－（３ｋ－２）ｘ－１＝０当ｋ＝０时，原方程有唯一解 ｘ＝21 当ｋ≠０时,⊿=（3k －2）2＋4k=5k 2＋4（k －1）2＞０，知方程必有两个不等实数根． 此时由题意可知：一元二次方程两根，一根是分式方程的根，另一根是分式方程的增根０或１． 当ｘ＝０时，不符合舍去；当ｘ＝１时，代入得ｋ＝21，分式方程的解是ｘ＝－２． 所以当ｋ＝０时，原方程有唯一解ｘ＝21；当ｋ＝21时，原方程有唯一解ｘ＝－２．15.【答案与解析】（1）设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则 2600(1)1176x +=．解之，得0.4x =或 2.4x =-（不合题意，舍去）． 所以，A 市投资“改水工程”年平均增长率为40%． （2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）． A 市三年共投资“改水工程”2616万元．16.【答案与解析】题甲：（1）∵一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、，∴0≥∆，即0)12(4)2(422≥---k k ， 解得2-≤k ．（2）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα，∴2424-=-=+=kk k kt βα， ∵2-≤k ，∴0242<-≤-k， ∴2244-<-≤-k， 即t 的最小值为－4． 题乙：（1）四边形ABCD 为矩形，∵AB =CD ，AB ∥DC ， ∴△DPC ∽△QPB ，∴31==CP PB DC BQ ， ∴BQ DC 3=，∴4333=+=BQ BQ BQ BQ AB ． （2）证明：由△DPC ∽△QPB ，得BP PCBQ DC =， ∴BPPCBQ AB =， 11=-+=-+=-BQABBP PC BQ AB BP PC BP BQ AB BP BC ．。
初三数学第一学期 一元二次方程的解法 因式分解法、分式法 一元二次方程的应用 华东师大版
初三数学第一学期 一元二次方程的解法 因式分解法、分式法 一元二次方程的应用一. 本周教学内容：一元二次方程的解法——因式分解法、分式法； 一元二次方程的应用 二. 重点、难点 重点：1. 因式分解法、公式法解一元二次方程2. 一元二次方程的应用 难点：一元二次方程的应用知识精讲与例题分析： （一）知识精讲1. 一元二次方程的解法（1）因式分解法：把一元二次方程通过分解因式化成一边是两个一次式的积，另一边是零的形式，再化成两个一元一次方程，从而求出一元二次方程的解的方法叫做因式分解法。
①因式分解法根据的是a b ⋅=0，则a ＝0或b ＝0。
②运用因式分解法解一元二次方程时，必须先将方程变形为□＝0的形式，再将左边分解因式变形为a b ⋅=0的形式，然后得到两个一元一次方程，并分别求两个一元一次方程的解，从而求出原方程的解。
③因式分解法解一元二次方程的本质是将一元二次方程降次变形为两个一元一次方程。
由此求解一元二次方程。
④能用直接开平方法求解的一元二次方程，都可用因式分解法来求解。
（2）公式法：把一元二次方程化成一般形式后，把各项系数a 、b 、c 的值代入求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240()中，直接求得方程的解。
这种解方程的方法叫做公式法。
①运用公式法求解一元二次方程时，需先将其转化成一般形式ax bx c 20++=（a ≠0），再明确a 、b 、c 的值，并求出b ac 24-的值，当b ac 240-≥时，即可将a 、b 、c 及b ac 24-的值代入公式x b b ac a=-±-242中求出方程的解。
②因为负数没有平方根，故当b ac 240-<时，b ac 24-无意义，从而原方程无实数根。
③求根公式的推导运用的是配方法，还可用另一种方法推导：在方程ax bx c 20++=的两边都乘以4a ，得444022a x abx ac ++=。
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。
2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。
3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。
4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。
二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。
在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。
2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。
如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。
3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。
在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。
4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。
5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。
通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。
总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。
部编人教版九年级数学上册21.3.4 用可化为一元二次方程的分式方程解应用问题 (习题课件)
m 3
)≤64，解得m≥36.
故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队
合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．
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若设第一次买了x本资料，列方程正确的是( D )
A. Bx2－.4200－12x0＝4
240 x+20
－ 120 ＝4 x
C.
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
Dx.
－
240 x－20
＝4
120－ 240 ＝4 x x 20
返回
应用 2 营销问题
2．商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件， 共获毛利润3万元(每件商品的毛利润＝每件商品 的销售价格－每件商品的成本价格)．五月份商场 在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销 售价降低了4元，但销售量比四月份增加了500件，
由题意得
20(
1 x
＋
x＋130 )＝1，
整理，得x2－10x－600＝0，
解得x1＝30，x2＝－20. 经检验，x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解， 但x2＝－20不符合题意，应舍去．故x＝30，x＋30＝60. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天、30天．
(2)若甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队 合作____(2_0___a3_) ___天(用含a的代数式表示)可完成此 项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工 程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队 至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合 作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
设甲工程队单独施工m天后，再由甲、乙两工程队合作施
工完成剩下的工程．
由题意得1×m＋(1＋2.5)(20－
【学案】 可化为一元二次方程的分式方程及其应用(2)
第4课时可化为一元二次方程的分式方程及其应用【学习目标】1、掌握可化为一元二次方程的分式方程应用题的解法。
2、通过对实际问题的剖析，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力．3、结合分式方程的应用题，向学生灌输实践—理论—实践这一观点，使学生进一步认识理论知识来源于实践，反过来去更好地指导实践这一论点．重点难点重点：掌握分式方程应用题的分析方法和解决问题的方法。
难点：找等量关系列方程。
【预习导学】学生自主预习教材，完成下列各题.1、列方程解应用题的步骤是什么？2、例5的等量关系分别是什么？3、例5列出的方程是什么方程？4、如何看待求出的未知数的值？5、为什么要验根，怎样验根？【探究展示】(一)合作探究例5：一组学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元。
问原来这组学生的人数是多少？分析：本题涉及的量有：总费用120元，春游参加的人数和分摊的费用。
若设原来学生人数有x人，原来每人分摊的费用为元；现在每人分摊的费用为元。
等量关系式是：原来这组学生每人分摊的费用—现在每人分摊的费用=3元（二）展示提升印刷一张长方形的张贴广告，如图：它的印刷面积是322，上下空白各1，两边空白各0.5，当要求四周空白的面积是182时,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽。
【知识梳理】以“本节课我们学到了什么”启发学生谈谈本节课的收获.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。
典中点一元二次方程专训6 可化为一元二次方程的分式方程的应用
典中点一元二次方程专训6 可化为一元二次方程的分式方程的应用 ◐名师点金◑可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛,一般应用于营销、行程、工程等问题中,解分式方程的基本思路就是化归,去掉分母后转化为一元二次方程,但最后一定要验根,有时可能会产生增根或不符合题意的根。
应用1：营销问题1.小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意。
一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150 元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出54时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果。
请你帮小明的爸爸算一算，这一天卖水果是赔钱了还是 赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？应用2：租车问题2.十一期间,几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩,中巴车的租价为480元,出发时又有4名学生参加进来,结果每位同学比原来少分摊了4元车费。
设原来游玩的同学有x 名,则可得方程（ ） A.44804480=-+x x B.44480480=--x x C.44804480=--x x D.44480480=+-x x应用3:行程问题3.电动车每小时比自行车多行驶了25千米,自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时,求两车的平均速度各为多少?设自行车的平均速度为x 千米/时,应列方程为( ) A.2540130-=-x x B.2540130+=-x x C.2540130-=+x x D.2540130+=+x x应用4:工程问题4.施工队要铺设一段全长2000米的管道,因在中考期间需停工两天,实际每天施工量需比原计划多50米,才能按时完成任务,求原计划每天施工多少米.设原计划每天施工x 米,则根据题意所列方程正确的是( ) A.25020002000=+-x x B.22000502000=-+x x C.25020002000=--x x D.22000502000=--x x5.某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成。
初三中考数学专项提升——一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(提高)名校资料【word精编版】
初三中考数学专项提升——一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆．△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，． 要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．（2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x - 看作一个整体，然后设21x y -=， 那么原方程可化为2540y y -+=……①，解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，22x ∴=，2x ∴=±； 当4y =时，214x -=，25x ∴=，5x ∴=±，故原方程的解为12x =，22x =-，35x =，45x =-．解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程4260x x --=．【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．【答案与解析】（1）换元法；（2）设2x y =，那么原方程可化为260y y --=解得13y =；22y =-当3y =时，23x =；3x ∴=±当2y =-时，22x =-不符合题意，舍去．所以原方程的解为13x =，23x =-．【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.举一反三：一元二次方程、分式方程的解法及应用【变式】设m 是实数，求关于x 的方程2320x mx x m --++=的根．【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x 1﹣x 2）2；（2）．【思路点拨】先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1•x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．【答案】解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，∴m≤4；（2）∵x1+x2=4，∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，∴x1=﹣2，把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．类型二、分式方程3．解方程：11765556 222-++=-+-+ x xx xx x【思路点拨】把原方程右边化为x xx xx xx x x x222225556561561156-+-+=-+--+=--+代入原方程求解较为简单.【答案与解析】Θx x x x x x 222561561156-+--+=--+ 原方程变为1176115622-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156765602222x x x x x x x x x经检验，x =0是原方程的根.【总结升华】因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三： 【变式1】解方程：x x x x x x x x ++-++=++-++21436587【答案】原方程化为111113115117++--+=++--+x x x x ∴+-+=+-+11131517x x x x 方程两边通分，得213257()()()()x x x x ++=++ ∴++=++()()()()x x x x 5713化简得832x =-解得x =-4经检验：x =-4是原方程的根.【变式2】解方程：7643165469222x x x x x x ----+=--+ 【答案】设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+去分母化简得：20147111602k k --=∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320当时，k x x =--=126702()()x x -+=710解之得：，x x 1217=-= 当时，k x x =--+=-932065932022012019302x x -+=解此方程此方程无解.1217x x =-=经检验：，是原分式方程的根.4．m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？ 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m 的值.【答案与解析】方程两边都乘以x 24-，得2436x mx x ++=-整理，得()m x -=-110【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为1x，乙的工作效率为13x+，工作总量为1.【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得2113231 ()x xxx+++-+=解得x=6经检验x=6是原方程的根答：规定日期是6天.【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：一元二次方程、分式方程的解法及应用【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，由题意得1000550 240x x=-，解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z ＝ 30，④－②×，得＝，即x ＝ 10，④－③×，得＝，即y＝ 15．经检验，x＝ 10，y＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．。
最新人教版九年级上册数学专训1 一元二次方程的解法归类
专训1 一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．限定方法解一元二次方程方法1 形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x 2－25＝0的解为( )A ．x ＝25B ．x ＝52C ．x ＝±52D ．x ＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2－5＝5B ．－3x 2＝0C ．x 2＋4＝0D ．(x ＋1)2＝0方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x 2＋3＝4x ，配方后的方程变为( )A ．(x －2)2＝7B ．(x ＋2)2＝1C ．(x －2)2＝1D ．(x ＋2)2＝24．解方程：x 2＋4x －2＝0.5．已知x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，求x y的值．方法3 能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．【中考·宁夏】一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和27．解下列一元二次方程：(1)x 2－2x ＝0；(2)16x 2－9＝0；(3)4x 2＝4x －1.方法4 如果一个一元二次方程易化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x 2－14＝2x ，方程的解应是( ) A ．x ＝－2±52 B ．x ＝2±52C ．x ＝1±52D ．x ＝1±329．用公式法解下列方程：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0；(2)4x 2－3x －5＝x －2.选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x 2－49＝0的解为( )A ．x ＝27B ．x ＝72C ．x 1＝72，x 2＝－72D ．x 1＝27，x 2＝－2711．一元二次方程x 2－9＝3－x 的根是( )A ．3B ．－4C ．3和－4D ．3和412．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是()A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝213.解下列方程：(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.用特殊方法解一元二次方程方法1构造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．方法2换元法a．整体换元16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.17．解方程：x 2＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0.b ．降次换元18．解方程：6x 4－35x 3＋62x 2－35x ＋6＝0.c ．倒数换元19．解方程：x －2x －3x x －2＝2.方法3 特殊值法20．解方程：(x －2 015)(x －2 016)＝2 017×2 018.答案1．C 2.C 3.C4．解： x 2＋4x －2＝0，x 2＋4x ＝2，(x ＋2)2 ＝6，x ＋2 ＝±6，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.5．解：x 2－10x ＋y 2－16y ＋89＝0，(x 2－10x ＋25)＋(y 2－16y ＋64)＝0，(x －5)2＋(y －8)2＝ 0，∴x ＝5，y ＝8.∴x y ＝58. 6．D7．解：(1)x 2－2x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.(2)16x 2－9＝0，(4x ＋3)(4x －3)＝0，∴x 1＝－34，x 2＝34. (3)4x 2＝4x －1，4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝12. 8．B9．解：(1)3(x 2＋1)－7x ＝0，3x 2－7x ＋3＝0，∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13.∴x ＝7±132×3＝7±136. ∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (2)4x 2－3x －5＝x －2，4x 2－4x －3＝0，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x ＝4±642×4＝1±22. ∴x 1＝32，x 2＝－12. 10．C 11.C 12.B13．解：(1)3y 2－3y －6＝0，y 2－y －2＝0， ⎝⎛⎭⎫y －122＝94，y －12＝±32， ∴y 1＝2，y 2＝－1.(2)2x 2－3x ＋1＝0，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1.∴x ＝3±12×2＝3±14. 即x 1＝1，x 2＝12. 14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x ＝－15或6x ＝－4.∴x 1＝－52，x 2＝－23. 15．解：因为m －n ＝8，所以m ＝n ＋8.将m ＝n ＋8代入mn ＋p 2＋16＝0中，得n(n ＋8)＋p 2＋16＝0，所以n 2＋8n ＋16＋p 2＝0，即(n ＋4)2＋p 2＝0.又因为(n ＋4)2≥0，p 2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋4＝0，p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，p ＝0.所以m ＝n ＋8＝4， 所以m ＋n ＋p ＝4＋(－4)＋0＝0.16．解：原方程即[(x －1)(x －4)][(x －2)(x －3)]＝48，即(x 2－5x ＋4)(x 2－5x ＋6)＝48.设y ＝x 2－5x ＋5，则原方程变为(y －1)(y ＋1)＝48.解得y 1＝7，y 2＝－7.当x 2－5x ＋5＝7时，解得x 1＝5＋332，x 2＝5－332； 当x 2－5x ＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x 1＝5＋332， x 2＝5－332. 17．解：x 2＋1x2－2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＝0， 设x ＋1x＝y ，则原方程为y 2－2y －3＝0. 解得y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x ＋1x＝3， ∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52. 当y ＝－1时，x ＋1x＝－1无实数根．经检验，x 1＝3＋52，x 2＝3－52都是原方程的根． ∴原方程的根为x 1＝3＋52，x 2＝3－52. 18．解：经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋6x2＝0， 即6⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－35⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋62＝0. 设y ＝x ＋1x ，则x 2＋1x2＝y 2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y 2＝103. 当x ＋1x ＝52时， 解得x 1＝2，x 2＝12； 当x ＋1x ＝103时， 解得x 3＝3，x 4＝13. 经检验，均符合题意．∴原方程的根为x 1＝2，x 2＝12， x 3＝3，x 4＝13. 19．解：设x －2x ＝y ，则原方程化为y －3y＝2， 整理得y 2－2y －3＝0，∴y 1＝3，y 2＝－1.当y ＝3时，x －2x＝3，∴x ＝－1. 当y ＝－1时，x －2x＝－1，∴x ＝1. 经检验，x ＝±1都是原方程的根．∴原方程的根为x 1＝1，x 2＝－1.20．解：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 015＝2 018，x －2 016＝2 017的解一定是原方程的解， 解得x ＝4 033.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2 015＝－2 017，x －2 016＝－2 018的解也一定是原方程的解，解得x＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的根为x1＝4 033，x2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 016＝t，则x－2 015＝t＋1，原方程可化为t(t＋1)＝2 017×2 018，先求出t，进而求出x.。
九年级数学上册 一元二次方程解法的灵活运用教案 新人教版
解：整理得x 2 7 x 10 0 a 1, b 7, c 10 b 2 4ac 7 2 4 1 10 9 7 9 73 2 1 2 x1 2, x2 5 x
教学反思：
方法二：配方法
解：移项得x 5 3x 15 0
解：整理x 2 7 x 10 7 7 配方x 7 x 10 2 2
2 2 2
7 9 x 2 4 7 3 开方x 2 2 x1 2, x2 5
一元二次方程解法的灵活运用
知识与技能：巩固、掌握解一元二次方程的四种解法 过程与 方法：培养计算能 力和计算技巧，渗透换元思想 情感态度与价值观： 培养学生的观察能 力，提高解决问题的能力 教学重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法。 教学难点：选择恰当的解法，要有一定的能力和技巧 教学过程 知 识点复习 1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 备注
（因式分解、直接开平方、公式法、配方法 ） 2、每种解法各自的步骤，注意事项？
学生口述，相互补充 新知学习 用 三种方法解方程： 方法一：因式分解法
x 52 3x 15
2
因式分解x 5x 5 3 0 x 5 0或x 5 3 0 x1 5, x2 2
例：选择适当的方法解下列方程
x 22 9
2
t 2 4t 5
92m 3 42m 5 0
2
学生独立完成，然后展示，并归纳总结 （先 考虑直接开平方，再用因式分解法，最后才用公式和配方法）
课堂练习与展示 题目见课件
课堂小结 你对本节课所学的内容存在疑问吗？
课堂作业 一元二次方程解法试卷
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专训 可化为一元二次方程的分式方程的应用
名师点金：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．
营销问题
1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购某种玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)【导学号：83182030】
2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45
时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
行程问题
3．【中考·青海】穿越青海境内的兰新铁路极大地改善了沿线人民的经济文化生活．该铁路沿
线甲、乙两城市相距480 km ，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4 h 到达．已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160 km /h .设普通列车的平均行驶速度为x km /h ，依题意，下面所列方程正确的是( ) A .480x ＋160－480x ＝4 B .480x －480x ＋160
＝4 C .480x －480x －160＝4 D .480x －160－480x
＝4
工程问题
4．【中考·深圳】施工队要铺设一段全长2 000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是( )
A .2 000x －2 000x ＋50＝2
B .2 000x ＋50
－2 000x ＝2 C .2 000x －2 000x －50＝2 D .2 000x －50
－2 000x ＝2
5．【中考·呼和浩特】某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项维修工程，6天可以完成，共需工程费用385 200元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用5天，每天的工程费用甲队比乙队多4 000元．从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？【导学号：83182031】
答案
1．解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具(x －10)件，由题意得100x －10
＋0.5
＝150x
. 整理得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60.
经检验x 1＝50，x 2＝60都是原方程的解．
当x ＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；
当x ＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意．
因此第二次采购玩具60件．
方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具(x ＋10)件，由题意得100x ＋0.5＝150x ＋10
. 整理得x 2－90x ＋2 000＝0.
解得x 1＝40，x 2＝50.
经检验，x 1＝40，x 2＝50都是原方程的解．
第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去； 第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意． 因此第二次采购玩具60件．
2．解：设小明的爸爸购乙种水果x 千克，则购甲种水果(x －10)千克，所以甲种水果的批发价
为每千克100x －10
元，乙种水果的批发价为每千克150x 元．根据题意得150x －100x －10＝0.5. 整理得x 2－110x ＋3 000＝0.
解之得x 1＝50，x 2＝60.
经检验，x 1＝50，x 2＝60都是方程的根．
当x ＝50时，乙种水果的批发价为每千克15050
＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去． 当x ＝60时，乙种水果的批发价为每千克15060
＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克10060－10
＝2(元)，也符合题意． 因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一
天水果盈利：(50×45×2.8＋50×15×2.8×12
＋60×2.8)－(100＋150)＝44(元)．∴小明的爸爸这一天水果赚钱了，赚了44元．
3．B
4．A 点拨：原计划每天施工x 米，则实际每天施工(x ＋50)米，∴原计划施工
2 000x
天，实际每天施工2 000x ＋50
天，∵原计划施工天数比实际施工天数多2天， ∴2 000x －2 000x ＋50
＝2. 故选择A .
5．解：设甲队单独做x 天完成，则乙队单独做(x ＋5)天完成，根据题意，得1x ＋1x ＋5＝16
. 整理，得x 2－7x －30＝0.
解得x 1＝10，x 2＝－3.
经检验，x 1＝10，x 2＝－3都是原方程的根，但x 2＝－3不合题意，舍去，此时x ＋5＝15，即单独做甲、乙两队分别需要10天、15天完成任务．
设乙队每天工程费用为y 元，则甲队每天工程费用为(y ＋4 000)元，根据题意，得6(y ＋y ＋4 000)＝385 200.
解得y ＝30 100.∴y ＋4 000＝34 100.
即甲、乙两队每天的工程费用分别为34 100元、30 100元．
∵34 100×10＝341 000(元)，
30 100×15＝451 500(元)，
∴从节省资金的角度考虑，应选甲工程队．
--------------------- 赠予---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
--------------------- 谢谢喜欢--------------------。