2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷(理科)(解析版)

2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷(理科)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={x|−3<x <3}，B ={x|x −2<0}，则A ∩B =( )
A. (−2,2)
B. (−3,2)
C. (−3,3)
D. (−2,3) 2. 已知复数z =4i 1+i ，则z 对应的点在复平面内位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 要得到函数y =sin2x 的图象，只需将函数y =sin(2x −1)的图象( )
A. 向左平移1个单位
B. 向右平移1个单位
C. 向左平移12个单位
D. 向右平移12个单位 4. 已知等比数列的前n 项和S n =4n +a ，则a 的值等于( )
A. −4
B. −1
C. 0
D. 1
5. 在△ABC 中，若点D 满足BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为AC 的中点，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
7. 已知数列{a n }满足：a 1=−1，a n+1=a n +1，则a 100=( )
A. 100
B. 99
C. 98
D. 97
8. 在(x +3y)(x −2y)5的展开式中，x 2y 4的系数为( )
A. −320
B. −160
C. 160
D. 320 9. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则f(−1)=( )
A. −2
B. 0
C. 1
D. 2
10. 在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB =CD ，AB ⊥CD ，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为( )
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2 11. 已知双曲线x 24−y 22=1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A(0,√2)，则△APF 周长的最
小值为( )
A. 4+√2
B. 4(1+√2)
C. 2(√2+√6)
D. √6+3√2 12. 已知e 1x −lnx >e +a 1−x
x 对任意x ∈(0,1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A. (0,e +1)
B. (0,e +1]
C. (−∞,e +1)
D. (−∞,e +1]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设函数f(x)={x,x ≥1(x −1)2,x <1，则_______，若f(a)=4，则实数a =________
14. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤5
2x +y −1≥0x +2y −2≤0
，则z =3x +y 的最小值为______．
15. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为________．
16. 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，斜率为√3的直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，则
|AB|=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =7，c =3，cosC =13
14．
(Ⅰ)求sin A 的值；
(Ⅱ)求△ABC 的面积．
18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形且AD =2AB ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E 是AD 中点．
(1)证明：CE⊥平面PBE；
(2)求二面角D−PC−B的余弦值．
19.已知函数f(x)=(x−2)e x+a(lnx−x+1)．
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)若函数f(x)的最小值为−e，求a的取值范围．
20.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√5
5
，且右准线方程为x=5．
(1)求椭圆方程；
(2)过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB 面积的最大值．
21. 甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为12，两人各投一次称为一轮投
篮．
(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；
(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t (t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．
(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；
(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求
|PQ|的最大值．
23.已知函数f(x)=|x−a|+2|x+b|(a>0,b>0)的最小值为1．
(1)求a+b的值；
(2)若m≤1
a +2
b
恒成立，求实数m的最大值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：B ={x|x <2}；
∴A ∩B =(−3,2)．
故选：B ．
可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．
2.答案：A
解析：
此题考查复数的除法运算，属于基础题．
根据复数的除法运算进行化简即可．
解：z =4i 1+i =4i (1−i )
1+i 1−i =2+2i ，则z 在复平面内对应的点为(2,2)位于第一象限， 故选A ． 3.答案：A
解析：解：将函数y =sin(2x −1)的图象向左平移12个单位，可得y =sin[2(x +12)−1]=sin2x 的图象，
故选：A ．
由条件利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 4.答案：B
解析：解：∵等比数列的前n 项和S n =4n +a ，
∴a 1= S 1=4+a ，
a 2=S 2−S 1=(16+a)−(4+a)=12，
a 3=S 3−S 2=(64+a)−(16+a)=48，
∴122=48(4+a)，
解得a =−1．
故选：B ．
由a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2
，利用S n =4n +a ，能求出a 1，a 2，a 3，再由等比数列的性质能求出a 的值．
本题考查公式由a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2
的应用和等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
5.答案：B
解析：
由平面向量基本定理及共线向量的运算得：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．
解：ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选 B ．
6.答案：C
解析：
本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．
画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．
解：画出截面图形如图
显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形
可以画出五边形但不是正五边形；
故选：C ．
7.答案：C。