高考数学压轴专题渭南备战高考《不等式选讲》技巧及练习题附答案解析

高考数学《不等式选讲》练习题
一、14
1．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112
x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个
C ．20个
D ．21个
【答案】D 【解析】
从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又
001()sin()sin()(1)222
k f x x k ππ
ππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，
12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则
0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。

点睛：解答本题的关键是如何理解“设0x 为函数()sin f x x π=的零点”这一题设信息，通过函数零点的概念建立三角方程，进而得到00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，为求解下面的不等式001112x f x ⎛
⎫
++
< ⎪⎝⎭
提供了附加条件，最后运用分类整合的思想使得问题获解。

2．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U
【答案】B 【解析】 【分析】
利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。

【详解】
根据绝对值三角不等式，得
1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+
∴()1f x x x a =++-的最小值为1a +
()2f x ≥Q 恒成立，∴等价于()f x 的最小值大于等于2，即12a +≥ ∴12a +≥或12a +≤-，1a ≥或3a ≤-，故选B 。

【点睛】
本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a 的取值范围。

3．若函数()(0)1
a
f x ax a x =
+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.
A ．2
B ．6
C ．4
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】
当1x >，0a >时，()()111
=
+=+-+--a a f x ax a x a x x
≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当
()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.
故选：C 【点睛】
本题主要考查基本不等式：)0,0a b a
b +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝
对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.
4．设2sin1sin 2sin 222n n n
a =
++⋅⋅⋅+，对任意正整数m 、n （m >n ）都成立的是（ ）. A ．1
2
n m m a a -< B ．12
n m m a a ->
C ．12
n m n a a -<
D ．12n m n
a a ->
【答案】C 【解析】 【分析】
先作差，再根据三角函数有界性放缩，进而根据等比数列求和确定选项. 【详解】
212sin1sin 2sin sin(1)sin(2)sin 222222n m n n n n m
n n n m
a a a ++++=
++⋅⋅⋅+∴-=++⋅⋅⋅+Q 12sin(1)sin(2)sin ||||222m n n n m
n n m
a a ++++∴-=++⋅⋅⋅+ 12sin(1)sin(2)sin |
|||||222
n n m
n n m ++++≤++⋅⋅⋅+
11211(1)11111122122222212
n m n n n m n m n +-++-≤++⋅⋅⋅+==-<- 故选：C 【点睛】
本题考查三角函数有界性、等比数列求和以及放缩法，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.
5．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( ) A ．a ＋
＋1) B ．a ＋
＋1 C ．a －
1)2 D ．a ＋b ＞
＋1)
【答案】A 【解析】 【分析】
2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以1
4
(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】
2a b +.所以ab≤1
4
(a ＋b)2. 所以
1
4
(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.
因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋
故答案为：A 【点睛】
本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则2221
4a b a b
-+-的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】
a ，
b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21
a b
+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值
即可．
【详解】
∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴
21
a b
+=1． 则22214a b a b
-+- 24
a =+
b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b
=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．
∴（2
4
a +
b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．
∴2
4
a +
b 2≥8， ∴224a a
-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．
故选：B ． 【点睛】
本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．
37
200
B ．
200
7
C ．36
D ．40
【答案】B 【解析】 【分析】
根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】
根据柯西不等式得到
()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()2
222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦
进而得到最小值是：200
7
故答案为B. 【点睛】
这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.
8．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()
2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，
B ．(]1∞-，
C ．14∞⎛
⎤- ⎥⎝⎦， D ．12，∞⎛
⎤- ⎥⎝
⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】
2212,21n n a a S n +==++ ()
*n N ∈，可得2n ≥时，
()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，
212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ
的取值范围． 【详解】
2212,21n n a a S n +==++Q ()
*n N ∈，
2n ∴≥时，()22
112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222
121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．
11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，
1n =时，212224a a +==，解得11a =．
∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．
11n a n n ∴=+-=． 12111111
12n n a n a n a n n n n
∴
++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =
++⋯++++，1111
111211
n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()
11111
022*******n n b b n n n n n +-=
+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112
n b b ≥=
,即121111111
122
n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++.
Q 对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤
，解得1
4
λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛
⎤- ⎥⎝
⎦，．
故选C ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45
[,)33
B ．2112(,][,)3333
-
-⋃ C ．12
[,)33⋃45(,]33
D ．随a 的值而变化
【答案】C 【解析】
试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=1
3
，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-
，又当2
03
x <≤时,()f x 单调递增，∴11113
(1)()(1)(){23313
x f x f f x f x ->
->⇔->⇔-≤
，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以
不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33
⋃45(,]33
，故选C
考点：本题考查了抽象函数的运用
点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用
10．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】
由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】
本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y ，
()22,Q x y 之间的“折线距离”.则下列命题中：
①若C 点在线段AB 上，则有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=
②若点A ，B ，C 是三角形的三个顶点，则有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=. ③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x =.
④若A 为坐标原点，B 在直线0x y +-上，则(),d A B 的最小值为 真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据“折线距离”的定义，证明①③④为真命题，②为假命题，由此确定正确选项. 【详解】
对于①，C 点在线段AB 上，设C 点坐标为()00,x y ，0x 在12,x x 之间，0y 在12,y y 之间，不妨设102102,x x x y y y <<<<，
则(,)(,)d A C d C B +=01012020x x y y x x y y -+-+-+-
01012020x x y y x x y y =-+-+-+-21212121x x y y x x y y =-+-=-+-(),d A B =成
立，故①正确.
对于②，在三角形ABC 中，
()()01012020
,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()()()()01200120x x x x y y y y ≥-+-+-+-()2121,x x y y d A B =-+-=，故②错
误.
对于③，到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的集合是
(){},|11x y x y x y ++=-+，即11x x +=-，即0x =.所以到(1,0),(1,0)M N -两
点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x =，即③正确. 对于④，设(),B x y ，则
(),d A B 1212252525x x y y x x x x =-+-=+-≥+-=，即(),d A B 的最小
值为25，故④正确.
综上所述，正确的有①③④，共3个. 故选：C. 【点睛】
本小题主要考查新定义运算的理解和运用，属于中档题.
12．不等式的解集是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.
【详解】
恒成立.
故答案选B 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.
13．不等式842x x --->的解集为( ) A ．{}|4x x ≤ B ．{|5}x x <
C ．{|48}x x <≤
D ．{|45}x x <<
【答案】B 【解析】 【分析】
分三种情况讨论：4x ≤，48x <<以及8x ≥，去绝对值，解出各段不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】
当4x ≤时，()()848442x x x x ---=-+-=>成立，此时4x ≤； 当48x <<时，()()84841222x x x x x ---=---=->，解得5x <，此时
45x <<；
当8x ≥时，()()848442x x x x ---=---=-<，原不等式不成立. 综上所述，不等式842x x --->的解集为{}
5x x <，故选B. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，常用零点分段法，利用取绝对值进行分段讨论，进而求解
不等式，也可以采用绝对值的几何意义来进行求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
14．不等式2
1x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5a ≤
B ．5
54a -≤≤
C ．5
74
a -≤≤
D ．7a ≤
【答案】A 【解析】 【分析】
原不等式等价于2
10x x a ---<，设()2
1f x x x a =---，则由题意得
()()350
370
f a f a ⎧-=-≥⎪⎨
=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式2
1x x a <-+的
解集是区间()3,3-的子集，所以()()
350
370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.
15．设0x >，则()2
1
42f x x x
=--的最大值为（ ）
A ．42
-
B ．4
C ．不存在
D ．
52
【答案】D 【解析】 【分析】
化简得到()214222x x
f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】
()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--
=-++≤-= ⎪⎝⎭
当
21
222x x x ==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】
本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.
16．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为2
2||||t t a a +-≥.求函数
()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）
代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】
解:解法一:（换元法）
设sin t x =,则原不等式可化为2
2||||t t a a +-≥.
令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2
||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）
当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .
当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】
本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.
17．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有
,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的
函数()=3f x mx --，且()f x 为[
)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B ．[)1+∞，
C ．(],0-∞
D ．][()
,01,-∞⋃+∞ 【答案】D
【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0
x ≥
都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.
考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.
18．已知(),0A a ，()0,C c ，
2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r ，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）
A 1-
B
C 1
D
【答案】C
【解析】
【分析】
设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放
.
【详解】
设(),B x y ，则224a c +=，()2
21x y c +-=，
()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+=+ 取等号条件：ay cx =；
令OB d =
=，则212d d ≤+，得1d ≤.
故选：C.
【点睛】
本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.
19．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：
①222
13a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③222
1b c a a b c ++≥；≥.则正确的结论个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式及柯西不等式计算可得；
【详解】
解：①：Q 222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩
………，222a b c ab bc ac ∴++++… 2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++„．
22213
a b c ∴++…，故①不正确． ②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++…，13
ab bc ca ∴++„，故②正确． ③：Q 2
22
222b a b a c b c b a c c c
⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩………，∴2221b c a a b c a b c ++++=… ∴2221b c a a b c
++…，故③正确． ④
：由柯西不等式得2()(111)a b c ++++，
∴≤．则④错误．
故选：B ．
【点睛】
本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．
20．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( )
A ．33()()f x f a a -≤+
B ．24()()f x f a a -≤+
C ．()()5f x f a a -≤+
D ．2
|()()2|(1)f x f a a -≤+ 【答案】B
【解析】
【分析】
先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立
【详解】 令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()
0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立
()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．。