2019年江西省宜春市操都中学高二数学文期末试题含解析

2019年江西省宜春市操都中学高二数学文期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 《新课程标准》规定，那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生，除了修完必修内容和选修系列一的全部内容外，基本要求是还要在系列三的6个专题中选修2个专题，高中阶段共获得16个学分。

则一位同学的不同选课方案有（）种
A．30 B．15 C．20 D．25
参考答案：
B
2. 将长度为1米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形（三段的端点相接）的概率为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
3. 函数的最小值
为（）
A．210 B．105 C．100 D．50
参考答案：
C
4. 已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则xy的最大值是（）
A．B．C．4 D．8
B
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，
∴xy==，当且仅当2x=y＞0，2x+y=1，即，y=时，取等
号，此时，xy的最大值是．
故选B．
【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
5. 若，则x的值为（）
A. 4
B. 4或5
C. 6
D. 4或6
参考答案：
D
因为，所以或，所以或
，选D.
6. 命题“，≥0”的否定是（）
A．，≥0 B．，
C．， D．，
参考答案：
C
略
7. 已知且,则的最大值为( )
A. B. C. 3 D. 1
A
【分析】
根据绝对值三角不等式可知；根据可得，根据的范围可得，根据二次函数的性质可求得结果.
【详解】由题意得：
当，即时，
即：，即的最大值为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数最值的求解，难点在于对于绝对值的处理，关键是能够将函数放缩为关于的二次函数的形式，从而根据二次函数性质求解得到最值.
8. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
【考点】共线向量与共面向量．
【分析】一般地如果M，A，B，C四点共面，那么=a，（a+b+c=1）．【解答】解：若M，A，B，C四点共面，
则=a，（a+b+c=1），
在A中，，不成立；
在B中，1﹣，不成立；
在C中，，不成立；
在D中，，成立．
故选：D．
9. 已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象大致形状是
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】3O：函数的图象；62：导数的几何意义．
【分析】先根据图象可知二次函数的二次项系数为负，由于对称轴为y轴可知一次项系数为0，然后写出它的导函数即可直接判断．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下
∴二次函数的二次项系数为负，
∵对称轴为y轴
∴一次项系数为0，
设其为y=ax2+c，且a＜0，
∴y′=﹣2ax，且a＜0，过原点与第二四象限；
故答案为B．
【点评】本题考查了根据图象写出函数式的知识和导函数的写法．
10. 在四面体中，点在上，且，为的中点，若
，则使与共线的的值为（）
A．1 B．2 C. D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列四个结论：
其中所有正确结论的序号为_____________.
参考答案：
①、②、③、④
略
12. _______.参考答案：
略
13. 如图,在正三棱柱中,,异面直线与所成角的大小为,该三棱柱的体积为。

参考答案：
14. 某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．
参考答案：
6.42
15. 下列命题中：①在中，若，则是等腰直角三角形；
②奇函数在区间上是单调减函数．
③如果正实数满足，则；
④设数列{a n}的前n项和为S n，且a n为复数isin ＋cos (n∈N*)的虚部，则S2 014＝1
⑤复数，若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0 则z1=z2=z3;
其中正确的命题是_______．
参考答案：
②③④
16. 已知命题:,;命题:,.则
是命题
参考答案：
真
17. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=6．直线l：mx﹣y+1﹣m=0（m∈R）
（1）求证：无论m取什么实鼓，直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】（1）求出直线经过定点，判断定点在圆内即可；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，定点为圆心在直线上的射影．
【解答】证明：（1）由mx﹣y+1﹣m=0得y=mx+1﹣m=m（x﹣1）+1，则直线过定点A（1，1），
∵圆心C（﹣1，2），半径r=，
∴|AC|=，
则A在圆内，
即无论m取什么实鼓，直线l与圆C恒交于两点；
（2）若直线l被圆C截得的弦长最小，
则此时满足AC⊥l，
则AC的斜率k=，
则l的斜率k=2，
即对应的方程为y﹣1=2（x﹣1），
即2x﹣y﹣1=0．
19. 已知函数.
（1）判断的单调性；
（2）求函数的零点的个数；
（3）令，若函数在内有极值，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）单调递增;（2）2；（3）
试题分析：判断零点的个数问题，一般利用函数的单调性，然后判断极大值、极小值的正
负情况，从而判断出个数；当在给定区间上单调递增或单调递减时，常利用零点的存在性定理判断有无零点，此时最多一个．函数在某区间上有极值即导数等于零在区间上存在变号零点，从而转化为方程有解问题或函数图像与x轴的交点问题．
试题解析：（1）∵，∴为的一个零点．
当时，，设
，∴在单调递增．
（2），，故在内有唯一零点．
因此在有且仅有2个零点．
（3）
定义域是
则
设，要使函数在内有极值，则有两个不同的根
∴，得或，
且一根在，不妨设，又，∴，
由于，则只需，即．
解得．
【方法点睛】对于函数在某区间内有极值求参数范围题目，首先应做好等价转化，如本题转化为有两不等根．接下来有两种思路：（1）把参数移到一边
转化为形如的形式，则问题等价于直线与曲线有两个交点，利用数形结合去求解；（2）不移项，利用一元二次方程根的分布去求解，但当不是一元二次函数时，问题复杂，可能要讨论．
20. 如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.
（1）求证：平面；（5分）
（2）求证：平面平面；（5分）
（3）求三棱锥的体积. （5分）
参考答案：
1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.
因为平面ABD，平面ABD，所以平面.（5分）
（2）因为在菱形ABCD中，，所以在三棱锥中，.
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因为O为BD的中点，
所以.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.
因为，所以，即.
因为平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.
因为平面DOM，所以平面平面.（5分）
（3）由（2）得，平面BOM，所以是三棱锥的高.
因为，，
所以.（5分）
略
21. （2016秋?湛江期末）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，
（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；
（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1N∥平面AMD1．
（Ⅱ）求出平面ADD1的一个法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系．…（1分）则A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）．
．…（2分）
设平面AMD1的法向量是．
则．…（3分）取x=1，得．…（4分）
所以，即．…
又A1N?平面AMD1．∴A1N∥平面AMD1．…（6分）
解：（Ⅱ）平面ADD1的一个法向量为，…（8分）
平面AMD1的法向量是．
由（Ⅰ）得．…（11分）
由图形得二面角M﹣AD1﹣D的平面角是锐角，
所以二面角M﹣AD1﹣D的余弦值是．…（12分）
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
22. 已知椭圆的焦距为，短半轴长为2，过点P（﹣2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求弦AB的长．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得即可得出．
（2）直线l的方程为：y﹣1=x+2，即y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与题意方程联立化为：4x2+18x+15=0，利用弦长公式|AB|=即可得出．
【解答】解：（1）由已知可得：2c=4，b=2，a2=b2+c2，联立解得：c=2，b=2，
a2=12．
∴椭圆C的标准方程为=1．
（2）直线l的方程为：y﹣1=x+2，即y=x+3．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：4x2+18x+15=0，
∴x1+x2=﹣，x1?x2=，
∴|AB|===．
【点评】本题考查了题意的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。