河北省安平县安平中学高一数学寒假作业3实验班2

河北安平中学实验部高一数学寒假作业三
2020年2月2日
一、单选题
1、设，定义符号函数则（）．
A:B:C:D:
2、下列函数中，在（-∞，0）上单调递减的是（）
A:B:C:D:
3、若函数为奇函数，且在上是增函数，又
的解集为（）
A:B:C:D:
4、函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为( )
A:(0,1) B:(0，＋∞) C:(1，＋∞)D:(－∞，0)∪(1，＋∞)
5、已知是定义在上的奇函数，且.若，则
（）
A:-2020 B:0 C:2 D:2020
6、已知函数满足，，且时，
，则（）
A:0 B:1 C:D:
7、已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则
A:B:C:-2 D:0
8、已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）
A:B:C:D:
二、填空题
9、若函数满足，则的解析式为 .
10、若是定义在上的函数，，当时，，则.
三、解答题
11、函数为奇函数．
⑴判断函数的奇偶性；⑵时，，求函数的解析式．
12、已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y, f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
13、已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
河北安平中学实验部高一数学寒假作业三答案
1.D
分析：根据函数，逐一验证选项中等式是否成立即可.
详解：对于选项，右边，而左边，显然不正确；
对于选项，右边，而左边，显然不正确；
对于选项，右边，而左边，显然不正确；
对于选项，右边，而左边，显然正确；
故选．
点睛：本题考查分段函数的解析式、新定义问题，属于中档题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
2.B
分别根据解析式的性质判断单调性，将分式型解析式化为反比例型函数，一次函数由斜率判
断，二次函数由对称轴与开口方向判断.A选项：，定义域错误；B选项：一次函数斜率为负数，故单调递减，正确；
C选项：对称轴为，定义域不在对称轴一侧，所以错误；
D选项，图像开口朝下，对称轴为y轴，所以在该定义域内单调递增，所以错误.
故选B.
本题考查单调性的判断，首先可根据定义域进行判断，其次常见的分式类型可考虑化简为反比例型函数分析，一次函数与二次函数都有固定的分析方式.
3.A
由函数奇偶性性质，结合特殊值，在坐标系中作出函数简图，由奇函数性质化简不等式，借助图像即可求出解集.由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：
由奇函数定义化简解析式：，即与x异号即可，
由图像可知当或时与x异号.
故选A.
本题考查奇函数的定义以及图像特点，由题意作出图像可极大降低题目的难度，便于快速求出结果.
4.A
求出函数的导数为，再解得的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．函数的导数为
令，得∴结合函数的定义域，得当时，函数为单调减函数．因此，函数的单调递减区间是.
故选：A．
本题考查考查函数的单调区间的求法，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．
5.C
分析：根据题意，分析题中的条件，确定出函数是周期为4的周期函数，进而结合函数的周期性以及函数的奇偶性，将2020个函数值的和简化，最后求得结果.
详解：根据题意，函数满足，
则，则函数的周期为4，
又由是定义在上的奇函数，
则有，，，，，所以
，故选C.
点睛：该题考查的是有关函数值的求和问题，涉及到的知识点有函数的周期性，函数的奇偶性，函数值的求解，最后转化函数值的问题，在解题的过程中，熟练的转化题的条件是解题的关键.
6.D
根据，可判断出函数的对称轴；由函数
可得函数的单调性与奇偶性，进而通过函数周期性和对称性求得。

因为，
所以函数关于x=1与x=4轴对称
当时，
因为
所以当时，即为奇函数，且在上为单调递增函数
根据函数对称性与周期性，可知的周期为T=6
所以
所以
所以选D
本题考查了函数的对称性和奇偶性及其综合应用，关键是对函数性质能够很好的理解和应用，属于中档题。

7.B
通过计算前几项，利用归纳推理，可得的函数值以为周期，利用周期计算可得其和.定义域为的奇函数，可得，
当时，满足，
可得时，，
则，，
，，
，，
，，
，故选B.
本题主要考查归纳推理、函数的奇偶性、周期性的应用，属于难题.函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
8.B
根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.
函数为对称轴开口向上的二次函数，
在区间上是单调增函数，
区间在对称轴的右面，即，
实数的取值范围为.故选B.
本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.
9.
试题分析：由题意得，设，则，又，所以
，所以的解析式为.
考点：函数的解析式.
10.7
试题分析：由可知函数周期为2，所以
考点：函数求值
11.⑴奇函数；⑵．
试题分析：对问题⑴，首先说明函数的定义域是关于原点对称的，再根据奇函数的定义以及函数
为奇函数，从而证明，进而可证函数的是奇函数；对问题⑵，根据问题⑴的结论以及题目条件时，，求出函数的解
析式，进而可以求出函数的解析式．
试题解析：⑴任给，，
因为为奇函数，
所以，所以，
所以为奇函数．
⑵当时，，……………………7分
当时，，所以，因为为奇函数，
所以，……………………10分
又因为奇函数．……………………11分
所以……………………12分
考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数．
【方法点晴】本题是一个关于函数的奇偶性以及分段函数方面的综合性问题，属于难题．解决本题的基本思路及切入点是，对问题⑴，首先说明函数的定义域是关于原点对称的，再根据奇函数的定义以及函数
为奇函数，从而证明，进而可证函数的是奇函数；对问题⑵，根据问题⑴的结论以及题目条件时，，求出函数的解析式，进而可以求出函数的解析式．
12.（1）（2）奇函数
试题分析：解决抽象函数问题有两种方法，一是赋值法，另一种方法就是“打回原形”，本题解答采用赋值法，先令，求出，再令求出，令得出f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，再把代入得出f(－x)＝－f(x), 从而判断出函数的奇偶性 .
试题解析：
(1)∵f(x)对任意x，y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)，
∴令x＝y＝1时，有f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)，∴f(1)＝0;
∴令x＝y＝－1时，有f[(－1)·(－1)]＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)．∴f(－1)＝0.
(2)∵f(x)对任意x，y都有f(x·y)＝yf(x)＋xf(y)，∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1) .
将f(－1)＝0代入，得f(－x)＝－f(x),∴函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数.
13.(1)-2；（2）.
⑴由奇函数的概念代入求出的值
⑵结合函数图像给出单调增区间，从而计算出实数的取值范围
（1）∵函数是奇函数；∴，.
（2）由（1）知如图
当时，,
∴当时，单调递减；当时，单调递增.
当时，，∴当时，单调递减；
当时，单调递增.综上：函数在上单调递增.
又函数在区间上单调递增.
∴或，解得故实数的取值范围是.
本题考查了函数的奇偶性和增减性，按照定义求出奇函数的参数值，画出图像有助于判定增区间的范围。