2021届新高考小题 (25)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（25）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()U
A B ⋂=（ ）
A. {}1,4,5
B. {}2,3
C. {}5
D. {}1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据交集和补集的运算即可求出． 【详解】由题意可得，{}2,3A B ⋂=，所以()U
A B ⋂={}1,4,5．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查交集和补集的运算，属于容易题．
2. 已知()2
11i i z -=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 12i -+ B. 12i -- C. 12
i +
D.
12
i
- 【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数代数形式的除法法则计算可得；
【详解】解：因为()2
11i i z -=+，所以()()22
1111122221i i i i z i i
i i ---====--+ 故选：B
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
3. 已知平面内三点()2,1A ，()6,4B ，()1,16C ，则向量AB 在BC 的方向上的投影为（ ） A.
16
5
B.
335
C.
1613
D.
3313
【答案】C 【解析】 【分析】
先求得(4,3)AB =，(5,12)BC =-，得到16AB BC ⋅=，13BC =，再结合投影的概念，即可求解.
【详解】由题意，平面内三点()2,1A ，()6,4B ，()1,16C ，
可得(4,3)AB =，(5,12)BC =-，则4(5)31216AB BC ⋅=⨯-+⨯=，13BC =，
所以向量AB 在BC 的方向上的投影为1613
AB BC BC
⋅=
. 故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的定义及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和投影的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ） A. 25 B. 26
C. 46
D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】
作出示意图，设F 为1BB 的中点，连接1,,AF FC EF ，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E ，再计算其面积.
【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，
由//EG AB 且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则//AE BG 且AE BG =， 又1//BG C F 且1BG C F =，得1//AE C F 且1AE C F =，则1,,,A E C F 共面， 故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E .
又11AF FC EC EA ===，123AC =22EF =1EF AC ⊥， 故1AFC E 的面积为1
2223262
S =⨯=故选：B.
【点睛】本题考查了正方体中线面位置关系，截面问题，属于中档题
A. 1m
B. 2m
C. 3m
D. 4m
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出1m 比3m 快，再求出1m 比4m 快，然后求出2m 比1m 快，即可得2m 是疏散乘客最快的一个安全出口. 【详解】同时开放1m ，2m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（s ），同时开放2m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（s ），得1m 比3m 快；
同时开放3m ，4m 两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190（s ），同时开放1m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s ），得1m 比4m 快，
同时开放2m ，3m 两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（s ），同时开放1m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s ），得2m 比1m 快， 故选：B
【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，考查推理论证能力，属于基础题.
6. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin 3
α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】B 【解析】 【分析】
说明命题1cos 23α=
⇒sin α=和sin α=⇒1
cos 23α=是否为真即可．
【详解】2
1cos 212sin 3a α=-=
，则sin 3
α=±，因此“1cos 23α=”是
“sin 3α=
”的必要不充分条件． 故选：B ．
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 7. 一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A. 2.3小时 B. 3.5小时 C. 5.6小时 D. 8.8小时
【答案】A 【解析】 【
分析】
根据指数函数模型列出方程，解之可得．
【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x
=，lg 0.8lg 0.6x =，
6
lg
lg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011
lg 10
x +-+-====≈-⨯-．
故选：A ． 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查对数的运算，根据已知模型列出方程是解题关键． 8. 若()f x 为偶函数，满足()()32020f x f x ⋅+=，()11f -=，则()2020f 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 1010
D. 2020
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知式变形，得出周期性，然后计算函数值． 【详解】函数为偶函数，∴(1)(1)1f f =-=，又2020
(3)()
f x f x +=
，
∴
20202020
(6)()2020(3)
()
f x f x f x f x +=
==+，∴()f x 同周期函数，且周期为6， 又2020
(4)2020(1)
f f =
=， ∴()()()20206336442020f f f =⨯+==． 故选：D ．
【点睛】本题考查函数的周期性，一般地函数()f x 满足()()0f x f x a m +=≠，0a ≠，m 是常数，则2a 是函数的一个周期．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则()f x ( ) A.
是
偶函数
B. 在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 C. 最大值为2 D. 其图象关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】AD 【解析】 【分析】
利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可. 【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛
⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭. 选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，正确；
选项B ：0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误； 选项C ：()2f x x =
，错误；
选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称， 错误.
故选：AD
【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，动点P
与两个定点()1F
和)
2
F 连线的斜率之积等于1
3
，记点
P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）
A. E
的方程为2
21(3
x y x -=≠
B. E
C. E 的渐近线与圆()2
221x y -+=相切 D.
满足AB =l 仅有1条
【答案】AC 【解析】 【分析】
根据已知求得曲线E 的方程，求得曲线E 的离心率，其渐近线与圆()2
221x y -+=的位置关系，以及弦长AB ，逐一判断选项即可.
【详解】设点(),P x y
13=，整理得2213
x y -=，所以点P 的轨迹为曲线E 的
方程为2
21(3
x y x -=≠，故A 正确；
又离心率e =
=，故B 不正确； 圆()2
221x y -+=的圆心()20，到曲线E
的渐近线为y x =的距离为
1
d ==，
又圆()2
221x y -+=的半径为1，故C 正确；
直线l 与曲线E
的方程联立()
22
21(3
y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩整理得()2222
13+121230k x x k k ---=， 设()()1122,,A B x y x y ，， (
)()()2
2
4
214441312312+1>0k
k k
k ∆=----=，且2130k -≠，
有212222
1212123
+,1313x x x k x k k k ---==
--
，所以
)
22
1+13k AB k
===-，
要满足AB=
)2
2
1+
13
k
k
=
-
，解得0
k=或1
k=或1
k=-，当0
k=
,此时
)()
A B
，，而曲线E
上x≠D不正确，
故选：AC.
【点睛】本题考查求点的轨迹方程，双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，以及直线与双曲线相交的弦长，属于中档题.
11. 若0
a>，0
b>，2
a b
+=，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（）
A. 1
ab≤
B. 2
≤ C. 222
a b
+≥ D.
11
2
a b
+≥
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
A.
由2
a b
+=≥判断； B.
由
()
2
2
=+++
a b a b判断； C.由
()2
222
a b a b ab
+=+-判断；D.由()
111111
1
22
⎛⎫⎛⎫
+=++=++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
b a
a b
a b a b a b
判断.
【详解】因为0
a>，0
b>，2
a b
+=，
所以2
a b
+=
≥1
≤，故A正确；
因为
()
2
24
=++≤+=
a b a
b
2，故B正确；
因为()2
222422
+=+-≥-=
a b a b ab，故C正确；
因为()
1111111
1122
222
⎛⎫⎛⎫
+=++=++≥+⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
b a
a b
a b a b a b
，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
12. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布2
(,30)
Nμ和2
(280,40)
N，则下列选项正确的是（）
附：若随机变量X服从正态分布2
(,)
Nμσ，则()0.6826
P X
μσμσ
-<<+≈.
A. 若红玫瑰日销售量范围在(30,280)
μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D. 白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413 【答案】ABD 【解析】 【分析】
利用正态分布的知识点，μ代表平均数，图像关于X=μ对称，σ代表标准差，σ越小图像越集中，选出正确答案.
【详解】对于选项A ：+30=280，=250μμ，正确；
对于选项B C ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确； 对于选项D ：(280320)=<<P X 1
()0.68260.34132
μμσ<<+≈⨯≈P X ，正确. 故选：ABD.
【点睛】本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）. 【答案】20 【解析】 【分析】
先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，结合组合数的运算公式，即可求解.
【详解】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位， 可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，
再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有3
620C =种不同方法.
故答案为：20
【点睛】本题主要考查了组合的应用，其中解答中熟记组合的概念，以及组合数的计算公式，合理应用插空法求解是解答的关键，其中本题的解答中注意座位是相同元素，防止出错，着重考查分析问题和解答问题的能力.
14. 棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是 _________．
【答案】84π
【解析】
【分析】
首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可.
【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为
161
2sin602
r=⨯=⨯
=
则外接球的半径R===
则外接球的表面积为2
442184
S R
πππ
==⨯=.
【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15. 已知直线l：()1
y k x
=-与抛物线C：()
220
y px p
=>在第一象限的交点为A，l过C的焦点F，3
AF=，则抛物线的准线方程为_______；k=_______.
【答案】
(1). 1
x=-(2).
【解析】
【分析】
由直线方程求得焦点坐标，得准线方程，利用焦半径公式得A点横坐标，结合图形可得直线斜率，
【详解】易知直线l与x轴的交点为(1,0)，即抛物线的焦点为(1,0)
F，∴准线方程为1
x=-，
设11
(,)
A x y，则
11
13
2
p
AF x x
=+=+=，
1
2
x=，作AC x
⊥轴于点C
，如图，
则(2,0)
C
，1
FC=，∴
AC=
=，
∴直线l的斜率为tan
1
k
AFC
=∠==
故答案为：1
x=-；
【点睛】本题考查抛物线的准线方程和焦半径公式，掌握抛物线的定义是解题关键．涉及到抛物线 上的点到焦点的距离时利用焦半径公式可以很快的求解．
16. 把数列{}21n +中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 【答案】1992 【解析】 【分析】
先由题意得到从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，得到前99个括号内的数字个数，再由所有括号内的数字构成等差数列{}n a ，首项为3，公差为2；即可求解.
【详解】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第100个括号内共4个数； 故前99个括号内共有数字个数为25(1234)4246⨯+++-=； 又因为所有括号内的数字构成等差数列{}n a ，首项为3，公差为2； 因此第100个括号内的数字分别为247248249250,,,a a a a ，
所以24724824925043(246247248249)21992a a a a +++=⨯++++⨯=. 故答案为：1992.
【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于中档题.。