7投入产出模型

Tx + d = x
或 记
(I − T )x = d
A = I − T , 则有
Ax = d
（1）
T （*）式称为实物型开放的投入产出模型， = ( t ij ) 称为投入矩阵。
模型应用： 当直接消耗系数保持不变，社会最终需求确定，确定各部门 的总产出。或者社会的最终需求改变，相应的总产出应如何 改变？
则模型为可行的。 证明：
Q T 1 <1
(*)
∴ A −1 = ( I − T ) −1 = ∑ T k
k =0
∞
∴ x = A d = ∑T k ⋅ d
−1
k =0
∞
推论 满足（ *）式条件的投入产出模 型是有利的。
v T = pT A ⇒ AT p = v
作业：试判断投入系数矩阵为
⎛ 0.3 0.4 0.2 ⎞ ⎟ ⎜ T = ⎜ 0.1 0.2 0.2 ⎟ ⎜ 0.5 0.1 0.3 ⎟ ⎝ ⎠
投入产出数学模型
一 、问题
国民经济各个部门之间存在着关系，一个经济部门的生产 依赖于其它部门的产品或者半成品，如何在确定的经济环境下 确定各经济部门的投入产出水平以满足整个社会的经济需要。
U.S.A经济学家Leontief（列昂节夫）最早提出， 在 1936 发表《美国经济系统中的投入和产出的数量关系》 我国于70年代开始应用该模型编制国民经济预算 ， 1974 目的：①编制国民经济预算 ②经济结构分析等
模型假设：
H1：
国民经济划分成为 n 个物质生产部门，每一个部门生产 一种产品。
H2： 每一个生产部门的生产意味着将其它部门的产品经过加工
或“变换”，变成一定数量的单一的本部门产品。在这个过 程中消耗的产品称为“投入”，生产所得的本部门的最终产 品称为“产出”。对每个部门而言，投入-产出的关系是不变 的。
p j : 第 j 种产品的价格；
单位产品 j 的增值。 vj：
∴ v j = p j − ∑ t ij pi
i =1 n
单位产量的增值
记 p = ( p1 , p2 ,L , pn )T , v = (v1 , v 2 ,L, v n )T .
p、v 分别称为投入产出模型的价格向量和增值向量。
∴ v T = pT − pT T
方法： 给定 d ， 从方程 Ax = d 中解出 x 。
定义1. 如果对任意的外部需求 d ，投入产出模型（1）都有 非负解 x ， 则称此经济系统是 可行的 。
例. 某经济系统有农产品、制造业、服务业组成，其投入产出 矩阵为
⎛ 0.15 0.1 0.2 ⎞ ⎟ ⎜ T = ⎜ 0.3 0.05 0.3 ⎟ ⎜ 0.2 0.3 0.0 ⎟ ⎠ ⎝
x i 1 + xi 2 + L + x in + d i = x i
其对应的技术投入产出表为：
消耗部门 生产部门 农 工 . . . 服务业 n 业 业 1 2 农业 工业 … 服务业 1 2 … n
t 11 t 12 ... t 1 n t 21 t 22 ... t 2 n
. . .
t n 1 t n 2 ... t nn
x11 x 21
x n1
x12 x 22
xn 2
... ...
. . .
x1 n d 1 x2 n d 2
x nn
dn
. . .
x1 x2
xn
. . .
...
其中： x i : 部门 i 的总产出； d i : 对部门 i 的最终需求；
x ij : 生产过程中部门 j 消耗部门 i 的产值；
投入产出关系：
AB 1 ≤ A 1 ⋅ B 1
1 k 1
∴ Tk ≤ T
→0
(Q T 1 < 1 )
∴ (T k ) ij → 0
引理 2 设 T = ( t ij ) 是元素皆为非负实数的 方阵，若成立 T 1 < 1或 T
∞
< 1，则 I − T的逆矩阵存在且元素皆 非负。
证明： ( I − T )( I + T + T 2 + L + T k ) = I − T k +1 Q T 1 <1
定义 3 设 T = ( t ij ) 为 n 阶方阵，称
T 1 = max ∑ | t ij | ,
1≤ j ≤ n n i =1 n
T
∞
= max ∑ | t ij | ,
1≤ i ≤ n j =1
为矩阵 T 的范数。 引理1 若 T 1 < 1或 T 证明： Q
∞
< 1 成立，则当 k → ∞ 时 T k → 0。
T （1） Q d = (100,200,300)
∴ x 1 = A−1d = ( 287.96,457.76,494.91)T
T （2） 记 d ' = ( 300,200,300) , 则
x 2 = A−1d ' = ( 557.14 , 570.44 , 582.55 )T
2. 价格—价值系统
投入产出表
作为消耗部门 作为生产部门
农业
制造业 服务业
外部 需求 35 115 70
总产出
农业 制造业 服务业 投入产出关系：
15 30 20
20 10 60
30 45 /
100 200 250
15 + 20 + 30 + 35 = 100
技术投入产出表
作为消耗部门
农业
制造业
服务业
作为生产部门
农业 制造业 服务业
(1) 若最终需求向量 d = (100,200,300)T ，求总产出。 ( 2) 若农产品的社会需求产 值增加为 300，则总产出如何变化？
模型求解： 由实物型开放的投入产出模型
Ax = d ∴ x = A −1d
⎛ − 0.85 − 0.1 − 0.2 ⎞ ⎟ ⎜ Q A = I − T = ⎜ − 0.3 0.95 − 0.3 ⎟ ⎜ − 0.2 − 0.3 1.0 ⎟ ⎠ ⎝ ∴ A −1 ⎛ 1.345 0.250 0.344 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 0.563 1.268 0.493 ⎟ ⎜ 0.438 0.430 1.217 ⎟ ⎠ ⎝
其中：
t ij : 生产一个单位产品 j 需消耗的产品 i 的产值 . t ij = x ij / x i
建立模型： 投入产出关系：
t i 1 x1 + t i 2 x 2 + L + t in x n + d i = x i , i = 1 , 2 ,L , n .
记 x = ( x1 , x 2 ,L, x n )T , d = ( d1 , d 2 ,L , d n )T , T = (t ij )n×n . 则投入产出关系可表示为：
的投入产出模型是否是可行的。
0.15 0.15 0.08
0.2 0.05 0.24
0.30 0.225 0.0
表格中元素称为投入系数或直接消耗系数。由各部门的投入 除以该部门的总产出得到。
20 / 100 = 0.2
二、数学模型
1. 设某经济系统的投入产出关系如下表所示。
消耗部门 生产部门 农 工 . . . 服务业 n 业 业 1 2 农业 工业 … 服务业 最终 总产出 1 2 … n 需求
价格---价值系统
或v T = pTFra bibliotekA（2）
Q Ax = d
∴ v T x = pT d
或
∑ vi xi = ∑ p j d j
i =1 j =1
n
n
国民经济产生的价值
国民经济的收入
定义2. 如果对任意非负增值向量 v ，价格—价值系统（2） 都有非负解 p ， 则称此经济系统是 有利的 。
3. 模型为可行和有利的判别准则
∴T k → 0 ∴ ( I − T )∑ T k = I
k =0
∞
∴(I − T )
−1
= ∑ T k 且元素非负。
k =0
∞
定理 1 若投入产出模型的投入 系数矩阵 T = ( t ij ) 元素满足
⎧ t ij ≥ 0 , i , j = 1,2,L , n ⎪ n ⎨ t < 1 , j = 1,2,L, n ⎪ ∑ ij ⎩ j =1